专题13平方根立方根实数压轴题八种模型全

专题13平方根、立方根、实数压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【类型一利用算术平方根的非负性解题】 1【类型二利用数轴化简根式】 2【类型三求算术平方根的整数部分和小数部分】 4【类型四与算术平方根有关的规律探索题】 5【类型五算术平方根和立方根的综合应用】 8【类型六实数的大小比较】 10【类型七程序设计与实数运算】 11【类型八新定义下的实数运算】 13【过关检测】 14【典型例题】【类型一利用算术平方根的非负性解题】例题：（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）若，则．【答案】2【分析】根据非负数的性质求出，的值，代入代数式计算即可得出答案．【详解】解：由题意得，，，，，，故答案为：2．【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值，利用非负数性质求出，的值是解题关键．【变式训练】1．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）若a，b为实数，且，则．【答案】【分析】首先根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，然后代入求解即可．【详解】∵∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（2023春·河南·七年级校联考阶段练习）已知x，y满足，求的算术平方根．【答案】3【分析】由算术平方根的含义可得，再解方程，求解代数式的值及算术平方根即可．【详解】解：，且，∴，当时，，∴9的算术平方根是3．【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，熟记非负数的性质与算术平方根的含义是解本题的关键．【类型二利用数轴化简根式】例题：（2023春·云南曲靖·七年级校考期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：．【答案】b【分析】根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．【详解】根据数轴可知，则可知，，故答案为：b．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）已知点在数轴上表示的数的位置如图所示，化简【答案】【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点的距离大小即为绝对值的大小，判断出的正负，利用绝对值的代数意义、算术平方根及立方根的性质化简所求式子，合并同类项即可得到结果．【详解】由数轴可知：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查数轴、整数的运算、绝对值的性质、算术平方根及立方根的性质,掌握运算法则是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为．【答案】【分析】先判断和的正负，然后根据绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义化简，再合并同类项即可．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．【类型三求算术平方根的整数部分和小数部分】例题：（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．【答案】【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．【详解】解：，，则．故答案是：3，．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）的整数部分是______．小数部分是_______．【答案】3【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为3，∴的小数部分为；故答案为3，．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．【答案】．【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.【详解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案为．【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.【类型四与算术平方根有关的规律探索题】例题：（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则；②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．当时，；当时，；当时，．【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②(3)；或0；【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．【详解】（1），，．故答案为：0.1；10，100；（2）①∵，∴．②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，∴．故答案为：31.6；；（3）由表格中数据可知：当时，；当或0时，；当时，，故答案为：；或0；．【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：①已知，则．②已知，若，则a＝．【答案】(1)；10(2)①；②25600【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．【详解】（1）解：∵，∴，．故答案为：；10．（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知，则，故答案为：；②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，已知，则，∵，∴．故答案为：25600．【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．2．（2023春·广东东莞·七年级东莞市东莞中学校考期中）（1）填空：__________，__________；__________，__________．（2）请按以上规律计算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【答案】（1），，，；（2）①，；（3）【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解；（2）根据（1）的规律即可求解；（3）根据（1）的规律即可求解．【详解】解：（1）填空：，；，，故答案为：，，，（2）①，②；（3）∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了求一个数是算术平方根，算术平方根规律题，找到规律是解题的关键．【类型五算术平方根和立方根的综合应用】例题：（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分．(1)求和的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得和的值；（2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解．【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，即，；（2）解：∵，∴∵是的整数部分，∴，由（1）知，，所以，那么9的算术平方根是3，即的算术平方根是3．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算等知识内容，难度较小，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．【变式训练】1．（2023秋·甘肃定西·七年级校考期末）已知的两个平方根分别是，的立方根为2．(1)求的平方根；(2)若的算术平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求的平方根即可；（2）求出的值，再求的立方根即可．【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的立方根为2．∴，，解得，，，，∵，∴的平方根是．（2）解：∵的算术平方根是3，∴，

∵，∴，，∵，∴的立方根是．【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．2．（2023·浙江·七年级假期作业）已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整数部分为m，的小数部分为n，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据立方根与算术平方根，平方根的含义可得：，，，从而可得答案；（2）由，，可得，的值，从而可得答案.【详解】（1）解：由题得：，，，解得，，∴．则的平方根为：（2）由（1）可求，∵，，

∴，，

则.【点睛】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分，熟记基本概念是解本题的关键.【类型六实数的大小比较】例题：（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小：______，______；【答案】【分析】根据被开方数越大，其算术平方根越大可比较的大小，根据比较近似值的方法可比较的大小，从而可得答案．【详解】解：，，故答案为：，【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较的方法是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根据无理数的估算得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查比较实数大小．熟练掌握无理数的估算，是解题的关键．2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小：_____．（填写“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法进行求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小是解题的关键．【类型七程序设计与实数运算】例题：（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【答案】【分析】根据程序框图进行运算求解即可．【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，8是有理数，取立方根，2是有理数，取算术平方根，是无理数，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________【答案】【分析】将代入程序进行计算即可求解．【详解】解：当时，，当时，，当时，，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．2．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．【答案】【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．【详解】解：第一次运算，输入，取算术平方根为4，返回继续运算；第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算；第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果．故答案为：．【点睛】本题考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算顺序是解题的关键．【类型八新定义下的实数运算】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【答案】【分析】读懂新定义，利用新定义计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【答案】【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用当时，当时，分别得出等式，进而得出答案．【详解】解：，当时，，故，解得：，当时，，，故，解得：，综上所述：或．故答案为：或．【点睛】此题主要考查了新定义运算，实数的运算，正确分情况讨论是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知实数m，n满足，则的值为（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．1【答案】A【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求解．【详解】解：依题意得，，解得，，∴，故选：A．【点睛】此题主要考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是熟知二次根式的非负性．2．（2023春·江西南昌·七年级校考期中）下列等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据算术平方根和立方根的求法进行计算，再得出选项即可．【详解】解：A．，故本选项符合题意；B．无意义），故本选项不符合题意；C．，而，故本选项不符合题意；D．，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，能熟记相应的求法是解此题的关键．3．（2023春·河南漯河·七年级统考期中）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把各数化简，进而可得，，的大小关系．【详解】解：，，，∵，∴．故选D．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根和立方根的意义，正确化简各数是解答本题的关键．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．5．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，，由，可得，分别计算，时代数式的值即可．【详解】解：由题意知，，，∵，∴，当，，当，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了相反数，倒数，平方根，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．二、填空题5．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）比较大小：．（填“>”“<”或“=”）【答案】<【分析】根据，，再进行实数的大小比较即可．【详解】解：∵，，又∵，∴，故答案为：<．【点睛】本题考查实数的大小比较，把二次根式通过平方的方法，平方的值越大，算术平方根越大．6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）设a是的整数部分，b是的小数部分，则，．【答案】6/【分析】根据无理数的估算方法，求得介于整数2和3之间即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，故答案为：6，．【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答的关键．7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：当输入的时，输出的y等于．【答案】【分析】根据转换程序把4代入求值即可．【详解】解：4的算术平方根为：，则2的算术平方根为：．故输出的值为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握运算规律是解题关键．8．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示，已知，化简．【答案】0【分析】利用实数，，在数轴上的对应点的位置确定，，的符号，利用已知条件得到，再利用算术平方根的性质化简运算即可．【详解】解：由题意得：，∴，，∵，∴，∴．∴原式．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，绝对值的意义，利用实数，，在数轴上的对应点的位置确定，，的符号是解题的关键．9．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）数学小组的同学在研究数的变化规律时，得到如下的等式：，则第个等式是.【答案】【分析】观察发现，被开方数的整数部分与分子相同，分母比分子的平方小1，然后根据被开方数的整数部分可以直接放到分号外面写出第个等式即可.【详解】解：∵；∴第个等式为．故答案为：【点睛】本题主要考查算术平方根中的规律题，理解题意掌握题中规律是解题的关键．10．（2023秋·四川绵阳·八年级统考开学考试）已知：，当，取不同的值时，也有不同的值，当最小时，的算术平方根为．【答案】1【分析】结合已知条件，根据算术平方根的非负性确定a，b的值，然后求得ba的算术平方根即可．【详解】解：已知，，，当，时，有最小值0，则，，那么，则的算术平方根为1，故答案为：1．【点睛】本题考查算术平方根的非负性及算术平方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．三、解答题11．（2023春·安徽池州·七年级统考期中）已知的立方根是，，是的算术平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由“的立方根是”可求，由可求，由“是的算术平方根”即可进一步求；（2）根据，，的值即可求解．【详解】（1）解：因为的立方根是，所以，解得．因为，所以，即，解得．因为是的算术平方根，所以，所以．（2）解：因为，，，所以，所以的平方根是．【点睛】本题综合考查立方根和平方根问题．掌握相关定义及计算方法是解题关键．12．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数c和d，且有与为相反数，求的平方根．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由题意解得，再运用绝对值的知识求解此题结果；（2）先运用非负数的性质求得c，d的值，再运用平方根知识求解此题结果即可．【详解】（1）由题意得，，，，；（2）由题意得，，，，解得，，，的平方根是，的平方根为．【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示实数、非负数和平方根解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．13．（2023·浙江·七年级假期作业）如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答；（3）根据题意写出两个满足要求的x值即可．【详解】（1）解：∵，，，∴输入的x为16，输出的y值是，故答案为：（2）∵1和0的算术平方根还等于它本身，∴输入0或1后，始终输不出y值，故答案为：0或1（3）∵，5的算术平方根是，∴两个满足要求的x值可以是25或5．故答案为：5，25（答案不唯一）【点睛】此题考查了算术平方根、实数的分类，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．14．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）阅读下列解题