一元二次函数与一元二次方程间的关系

前言一元二次函数是初中数学的重要内容，是初中过渡到高中的衔接点，则它在高中数学中也具有一定地位。那如何将知识之间的联系与认识上的转变结合起来呢？在学生理解一元二次函数与一元二次方程的联系基础上，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际生活中的一些问题，进一步培养学生综合解题的能力;初步了解运用二分法求一元二次函数与轴交点的近似值思想；认识一个新的自变量取值范围,复数域;培养读者自主学习能力和创新能力。一一元二次函数与一元二次方程一元二次函数是初中数学的重要内容,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的[1]。首先，从其形式上来看：一元二次函数与一元二次方程(其中、、为常数):①它们都是关于的二次式，从上面我们可以看出，时，便是一个一元二次方程。所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程。②条件上，都是在保证的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程。如果时,再谈便无意义。③从其表达式上可知道，无论是一元二次函数的值，还是一元二次方程的解应该都与系数、、有关。其次，我们还可以从其内涵上来看：①一元二次方程是求时的某确定值，即方程的根。实质是用、、来表示,如将反代入表达式，则值为0.②一元二次函数是研究变量随自变量的变化情况，反应的是的变化规律。当变化时，也随着以变化。而当时，求出方程的两根、。而此时的、正是一元二次函数与轴的交点.最后，我们知道，无论是一元二次函数还是一元二次方程，其交点或根都与系数、、有关。有交点就说明方程有根。那么，是不是所有的一元二次方程都有根或者说所有的一元二次函数都与轴有交点呢？又是不是只要一元二次方程有根，一元二次函数就与轴有交点呢?先看例题：例1求解一元二次方程的根.解利用配方法，得在初中我们无法解决一个负数的开平方根，也就是说当在实数范围内，不能对一个负数进行开平方。即一个实数的平方是一个非负实数。所以，在实数范围内一个负数的开平方根是不存在的。即此方程无根。例2在平面直角坐标系中画出一元二次函数图象，并观察它与轴的交点。解由可知其开口向上，所以我们应先找出最小值及对称轴由配方法，得图像如图－1所示：所以，该函数与轴无交点。图-1一元二次函数一元二次方程一元二次函数可化为与轴的交点数方程根的个数当22当00当11当00当22当11上面两例题告诉我们，并不是所有的一元二次方程都有实数根，也不是全部一元二次函数都与实数轴轴有交点。既然这样，那怎样的一元二次方程才有实数根，又是什么样的一元二次函数才与实数轴轴有交点呢？上面已经说过，无论是方程的根，还是函数与轴的交点坐标都应该和其系数、、有关。所以，现在我们应该考虑，能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题。有根，有几个根；有交点，又有几个交点；满足有根或有交点时，系数之间是否呈现一定的关系和规律呢？综上，我们可以看到，无论,且时，=1\*GB3①.当时,一元二次函数与轴有两个不同的交点，且相应方程有两个不同的实数根；=2\*GB3②.当时，一元二次函数与轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根（即）;=3\*GB3③.当时，一元二次函数与轴无交点，对应方程无实数根。亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的。它们都有一共同特征：就是一元二次函数与轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于与0的比较。一元二次函数与轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式有关，并把它作为判断有无交点和有无根的依据，所以叫它为判别式,记为△[2]。（注：它只是一个记号.）判别式给了我们一个判别一元二次方程是否有根和一元二次函数是否与轴有交点的方法。那怎样去运用它的呢?例3已知方程没有实数根，其中是实数．判定方程有无实数根．这是一个典型的判别式应用的问题，先通过无实数根，则判别式小于0，求出的取值范围，再对与0的比较，进而对方程有无实数根作出判断。这是纯方程思想的解法，我们已经知道，方程有无根实际上就等价于函数与轴有无交点。既然这样，我们何不用函数的观点去看一元二次方程呢！二用一元二次函数的观点看一元二次方程例4如图－2，以的速度将小球沿以地面成300角的方向击出时，球的路线将是一条抛物线，如果不计空气阻力，球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系图－2(1)球飞行高度能否达到?呢？呢？（2）若能，需多长时间呢？解当时，是球飞行的最大高度。,即球不能达到;能达到，当，则或.此题实际上是求分别满足时,是否存在实数解，但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论,这是很烦琐的。如按以上的解法,就是充分运用了函数的性质,进而将问题就简单化、明了化。它是用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图像和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。还有在一些考题中，我们只一味的用纯数学的方法去解，较为抽象，况且我们已经掌握一些常见函数图象，那我们何不借助图形加以理解呢？例5（12分）一开口向上的抛物线与轴交于、两点，记抛物线顶点为，且.=1\*GB2⑴若为常数，求抛物线的解析式；=2\*GB2⑵设抛物线交轴正半轴于点，问是否存在实数，使得为等腰三角形？若存在，D求出的值.不存在，请说明理由。解=1\*GB2⑴根据根与系数的关系（韦达定理[3])，有AB,,为常数。C所以，,,又由图可知图－3，解得,,.抛物线的解析式为：.=2\*GB2⑵假设存在,使,则有,解得或=1\*GB3①当时，抛物线与轴交于点与轴交于两点和，都满足条件。所以当，是等腰三角形.=2\*GB3②当时，抛物线与轴的交点为原点与已知抛物线与交于正半轴矛盾。所以，不成立，应舍去.综上存在实数，使为等腰三角形。在解一些常见函数时，往往借助其一般图形，更为便捷地对题目进行了解答，这是数与形的结合——即数形结合思想。三数形结合解一元二次函数数形结合思想，在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。在学生理解二次函数与一元二次方程的联系基础上，能够运用二次函数及其图象、性质去解决现实生活中一些问题，进一步培养学生综合解题的能力。下面我们根据数形结合，理解如何用二分法[4]求函数零点的近似值例6探究：观察二次函数的图像（如图－4），我们发现函数在区间上有零点(1)。（1）使变量等于零的自变量的取值。（在笛卡尔坐标系中,函数图像与轴的交点）计算(1)与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？(2)在区间上是否也具有这种特点呢？(3)用二分法验证-1和3是函数的零点.解（1）将－2、1、代入函数中，得,,,由图可知,零点左右的函数值异号,由此我们可以猜想与异号.是不是呢？－103（2）将2和4代入函数，,,则,-3，(1)中猜想成立.图－4(3)现在我来用二分法去验证－1和3是函数的零点.定义通过每次把的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。现任取两数、,且,使与异号,如图，任取,则,那么，即就在上取，就任取此时第一步：将代入函数中，得，取第二步：再将代入函数中，得,…………第步：将代入函数中，讨论=1\*GB3①若，则；=2\*GB3②若，则……第十二步：,所以，第十三步：，第十四步:,则取……直至,即同理由此可以得到以下结论：设二次函数在区间上连续，若存在一个点，使当，且,都有,则必为零点,必有,即为方程的根（其实这对所有连续函数都成立,但我们现在研究的是一元二次函数与一元二次方程的关系,所以只说在一元二次函数中.此结论是二分法求近似值的理论依据）.四二分法在一元二次函数中的应用例7运用二分法求方程的正根，要求误差小于0.05.解把求的转化为求函数与轴的交点.0画图，结合图形分析。如图－5求正根，就是与轴正半轴的交点，所以，我们可把区间取为图－5,所以在区间内有一正根引用公式：[5]取n=6,计算结果列表如下：104212021-161.51.6251.5625所以方程的正根近似值为.由上可知，无论是根与系数，还是二分法，我们都是在一元二次方程或一元二次函数在实数内存在相应的根或相应的零点的前提下进行的运算。此刻，我们在想，一元二次方程可以写成通式的形式，那么，是不是只要我们把根取值的范围扩充、放大，不只局限于实数域，这样来保证形如的方程在这个新范围内有根，这不就让我们的范围更广、性质更为一般了吗！那这个范围如何定义呢？五复数域中的一元二次方程和一元二次函数上面是在实数域上讨论了一元二次函数与轴交点和一元二次方程根的问题,我们知道在实数域中,有些一元二次函数与轴无交点,有些一元二次方程无解。实数域不过是满足某些条件下,的取值范围。那么有没有一个范围,使,都满足一元二次函数与轴有交点,一元二次方程都有解。回答是肯定的,这就是复数域。复数域是如何产生的呢？我们的目标是让这个域满足一定的运算，使一切形如的方程都有根。首先，在实数域内有根这是勿庸置疑的事；然而，当时，根据知，在实数域内无根。所以，要求在当时，在复数域内有根。定义：有一个域,使得在中满足运算，我们叫它复数域。由此可知形如的方程在复数域中有：=1\*GB2⑴当，方程有根;=2\*GB2⑵当，方程有根;所以，形如的方程在我们的复数域内都有解。又因一元二次函数与一元二次方程是密切联系的，所以，形如的一元二次函数应在平面上一定也存在零点，即零点坐标为：=1\*GB2⑴当，函数有零点;=2\*GB2⑵当，函数有零点。综上，在我们的复数域中，无论是形如的一元二次函数还是形如的一元二次方程都有相应的零点或相应的根。结束语通过本文研习，我们更近一步认识了一元二次函数，更清楚地明白了它与一元二次方程间的密切关系,初步掌握了除因式分解、求根公式外的另一种求一元二次函数与轴交点的方法—