四川省南充市蓬安县第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省南充市蓬安县第二中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（

）A.(－∞,1) B.[0,1) C.(－∞,0) D.[0,+∞)参考答案：A【分析】在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围.【详解】画出函数图像如下：当时，函数的图像与的图像有两个交点，即方程有且只有两个不等的实根.故选：A【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.2.已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是(

)A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥bC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可．【解答】解：若a∥b、b?α，则a∥α或a?α，故A错误；若a∥α、b?α，则a∥b或a，b异面，故B错误；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确若b⊥α，a⊥b，则a∥α或a?α，故D错误；故选：C【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．3.定义在R上的偶函数，满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.定义一种运算，若函数，是方程的解，且，则的值

（

）A．恒为正值

B．等于

C．恒为负值

D．不大于参考答案：A5.我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立.下面给出的平面几何中的四个真命题：

①平行于同一条直线的两条直线必平行；

②垂直于同一条直线的两条直线必平行;

③一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；

④一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.在空间中仍然成立的有

(

)

A.②③

B.①④

C.②④

D.①③参考答案：D6.若e是自然对数的底数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x等于

()A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D8.有下面四个判断：其中正确的个数是(

)

①命题：“设、，若，则”是一个真命题②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题③命题“、”的否定是：“、”A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B9.在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．5 B．10 C．15 D．20参考答案：B【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，则圆心坐标为（2，2），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC?BD=×2×2=10．故选B【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．10.给出下列命题,其中正确命题的个数为：（

）①在区间上，函数，，，中有三个增函数；

②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有两个实数根.A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：【知识点】单元综合B14C对①在（0，+∞）上，只有函数y=，y=x3是增函数；∴①错误；

根据对数函数的图象性质0＜m、n＜1，且n＜m，∴②正确；

∵函数f（x）是奇函数，图象关于点O（0，0）对称，∴f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；③正确；

∵函数y=3x与y=2x+3的图象有两个交点，∴方程f（x）=0有2个实数根，④正确。【思路点拨】根据幂函数的图象性质，判断所给四个幂函数的单调区间，从而判断①的正确性；根据对数函数的图象特征及关系，来判断②是否正确；

利用奇函数的图象性质，用代入法求解对称中心，可判断③的正确性；

利用函数y=3x与y=2x+3图象交点个数，来判断方程的解的个数，根据指数函数的图象性质可判断④是否正确．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是

.参考答案：答案：解析：a+b＝（cos＋cos，sin＋sin），a-b＝（cos－cos，sin－sin），设a+b与a-b的夹角为q，则cosq＝0，故q＝12.已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P-ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P-ABC的体积为36，则球O的表面积为__________。参考答案：108π【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，设球O的半径为R，则正方体的边长为，∵正三棱锥的体积为36，∴V=∴R=∴球O的表面积为S=4πR2=108故答案为：108．

13.在数学实践活动课中，某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（1)取正方形中心O及四边中点M，N，S,T；(2)取线段MN靠近中心O的两个八等分点A，B；(3)过点B作MN的垂线l；(4)在直线l(位于正方形区域内）上任取点C，过C作l的垂线l1(5)作线段AC的垂直平分线l2；(6)标记l1与l2的交点P，如图2所示；……不断重复步骤(4)至(6)直到形成图1中的弧线（Ⅰ）.类似方法作出图1中的其它弧线，则图1中实线围成区域面积为

.参考答案：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为.14.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，，则角A的大小为

.参考答案：15.设函数

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．参考答案：16.点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为

．参考答案：2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故答案为：2．17.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义两点之间的“直角距离”为，已知B（1，0），点M为直线上的动点，则的最小值为

。参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求异面直线AD与BE所成角的大小．

参考答案：证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．∴OE为△PAC的中位线．

∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD，∴PA∥平面EDB.

……………6分（Ⅱ）∵AD∥BC，∴就是异面直线AD与BE所成的角或补角.………8分

∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴BC⊥PD.又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DC．又因为PDDC=D，所以BC⊥平面PDC.

在BCE中BC＝，EC＝，∴.

即异面直线AD与BE所成角大小为．

……………12分19.（本小题满分14分）已知函数.（1）当时，求曲线在点（1，）处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性..参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）（2）当时，函数在单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增；在上单调递减.（1）当时，即曲线在点处的切线斜率为0，又曲线在点处的切线方程为（2）∴令①当时，当时此时函数单调递减，当时此时函数单调递增，②当时，由即解得此时当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.综上所述：当时，函数在单调递减，在上单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增；在上单调递减.【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程，讨论参数的范围确定增减性。20.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为，直线的参数方程（t为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2．（1）写出曲线C2的参数方程；（2）设点，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值.参考答案：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，整理得，曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得.，，．21.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．参考答案：【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化为直角坐标方程即可；（2）将A与B的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．【解答】解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（Ⅱ）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），∴|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），∴P点到直线l的距离为d==，∴dmin==2，则△P