四川省成都市石室外国语实验学校2022年高三数学文期末试卷含解析

四川省成都市石室外国语实验学校2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（A）一条直线

（B）两条直线

（C）圆

（D）椭圆参考答案：答案：C2.已知双曲线的焦点、，过的直线交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点。设，则下列各式成立的是

（

）A． B．

C． D．参考答案：C略3.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若?=1，则AB的长为（）A． B． C． D．1参考答案：C考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：以为基底，把用表示，代入?=1，结合数量积运算可求得答案．解答：解：如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴====，∴．∵，∴．∴AB的长为．故选：C．点评：求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，属中档题．4.过双曲线上任意点P作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若O为坐标原点，则的面积为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D过双曲线上任意点作双曲线的切线，不妨设点为右顶点.此时易知切线即为.两条渐近线为：.即为等腰直角三角形，则的面积为.故选D.

5.定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】类比推理．【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和．【解答】解：由已知得，∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴an=4n﹣1，∴，∴∴=+（）+…+（）=1﹣=．故选C．6.已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，若2（Sn＋1）＝3an，则＝（

） A．9

B．3

C．

D．参考答案：B7.已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又f（x）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6，故选：B．8.随机变量X的概率分布规律为的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D，故，即.∴.9.对于上的任意函数，若满足，则必有

（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C10.双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，，则双曲线的离心率为

（

）

A．

B．2

C．

D．4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等差数列中，公差，且，则的值是

．参考答案：

略12.设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点为D内的一个动点，则目标函数的最小值为

▲

．参考答案：－

13.已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为___________.参考答案：14.（3分）（2004?福建）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于．参考答案：4考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；数形结合．分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．解答：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．知圆心A为（3，1），r=5．由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC===2，则弦长BD=2BC=4．故答案为：4点评：本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题．15.下列四种说法：

（1）命题：“存在”的否定是“对任意”。

（2）若直线a、b在平面α内的射影互相垂直，则

（3）已知一组数据为20、30、40、50、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系是：众数>中位数>平均数。

（4）已知回归方程则可估计x与y的增长速度之比约为

（5）若A（-2，3），B（3，-2），三点共线，则m的值为2。

其中所有正确说法的序号是

。参考答案：(1)（3）（4）略16.已知数列{an}的首项a1=2，数列{bn}为等比数列，且bn=，又b10b11=2017，则a21=．参考答案：4034【考点】数列递推式．【分析】由已知结合bn=，得到a21=b1b2…b20，结合b10b11=2017，及等比数列的性质求得a21．【解答】解：由bn=，且a1=2，得b1=．b2=，a3=a2b2=2b1b2．b3=，a4=a3b3=2b1b2b3．…an=2b1b2…bn﹣1．∴a21=2b1b2…b20．∵数列{bn}为等比数列，∴a21=2（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=2=4034．故答案为：4034．17.已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．【解答】解：f（x）=|xex|=当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分） 在△ABC中，A，B，C的对边分别为：a，b，c，且。 （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）若·，求a和c。参考答案：略19.设数列{an}，其前n项和Sn=﹣3n2，{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3．（1）求数列{an}，{bn}的通项；（2）若cn=，数列{cn}的前n项和Tn，求证：＜1．参考答案：见解析【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知得a1=﹣3，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣3n2+3（n﹣1）2=﹣6n+3，由此能求出an=﹣6n+3；由已知得，由此能求出bn=2n+1．（2），由此利用裂项求和法能证明＜1．【解答】（1）解：∵数列{an}，其前n项和Sn=﹣3n2，∴a1=﹣3，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣3n2+3（n﹣1）2=﹣6n+3，当n=1时，上式也成立，∴an=﹣6n+3，∵{bn}为单调递增的等比数列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3，∴，解得b1=4，q=2或（舍），∴bn=2n+1．（2）证明：∴Tn=c1+c2+c3+…+cn==∵{Tn}是递增数列，∴20.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知与圆相切于点,经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点.(1)证明:；(2)若,求的值.参考答案：(1)∵PA是切线,AB是弦,∴∠BAP=∠C,…………1分又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,∴∠ADE=∠AED.

………………5分(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA,∴,…………6分

∵AC=AP,∴∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°.………………8分在Rt△ABC中,=,∴=.………………10分21.已知集合A={x|（x﹣a）（x﹣a2﹣1）＞0}，B={x||x﹣3|≤1}．（Ⅰ）若a=2，求A∩B；（Ⅱ）若不等式x2+1≥kx恒成立时k的最小值为a，求（?RA）∩B．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；转化法；集合．【分析】（Ⅰ）若a=2，求出集合A，即可求A∩B；（Ⅱ）若不等式x2+1≥kx恒成立时k的最小值为a，根据一元二次不等式的性质即可求（?RA）∩B．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，A={x|x＜2或x＞5}，B={x|2≤x≤4}，于是A∩B=?．…6（Ⅱ）由x2+1≥kx，得x2﹣kx+1≥0，依题意△=k2﹣4≤0，∴﹣2≤k≤2，∴a=﹣2．…9当a=﹣2时，A={x|x＜﹣2或x＞5}，∴?RA={x|﹣2≤x≤5}，∴（?RA）∩B={x|2≤x≤4}．…12【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.（Ⅰ）证明：直线AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若=1，，求四棱锥P-ABCD的体积.

参考答案：（Ⅰ）连接交与

------1分，

------3分,

-------4分直线⊥平面