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文档简介
海南省天一大联考2023届高三下学期数学试题3月开学考试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在的展开式中,含的项的系数是()A.74 B.121 C. D.2.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()A.2 B. C.1 D.3.已知函数,方程有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合,则“函数有两个零点”是“”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知集合,,则等于()A. B. C. D.5.设为等差数列的前项和,若,则A. B.C. D.6.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.7.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为()A. B. C. D.48.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.9.已知复数,则()A. B. C. D.210.已知命题,那么为()A. B.C. D.11.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有()A.17种 B.27种 C.37种 D.47种二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=42,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°14.已知复数z是纯虚数,则实数a=_____,|z|=_____.15.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________.16.已知关于的不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.18.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.20.(12分)已知圆M:及定点,点A是圆M上的动点,点B在上,点G在上,且满足,,点G的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点,与直线和分别交于P、Q两点.当时,求(O为坐标原点)面积的取值范围.21.(12分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.22.(10分)若数列前n项和为,且满足(t为常数,且)(1)求数列的通项公式:(2)设,且数列为等比数列,令,.求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据,利用通项公式得到含的项为:,进而得到其系数,【详解】因为在,所以含的项为:,所以含的项的系数是的系数是,,故选:D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题,2、D【解析】
说明函数是周期函数,由周期性把自变量的值变小,再结合奇偶性计算函数值.【详解】由知函数的周期为4,又是奇函数,,又,∴,∴.故选:D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性,掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.3、A【解析】
作出函数的图象,得到,把函数有零点转化为与在(2,4]上有交点,利用导数求出切线斜率,即可求得的取值范围,再根据充分、必要条件的定义即可判断.【详解】作出函数的图象如图,由图可知,,函数有2个零点,即有两个不同的根,也就是与在上有2个交点,则的最小值为;设过原点的直线与的切点为,斜率为,则切线方程为,把代入,可得,即,∴切线斜率为,∴k的取值范围是,∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查了函数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,试题有一定的综合性,属于中档题.4、B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.【点睛】本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.5、C【解析】
根据等差数列的性质可得,即,所以,故选C.6、A【解析】
基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.7、D【解析】
如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.8、B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.9、C【解析】
根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.10、B【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题,,那么是.故选:.【点睛】本题主要考查特称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.11、D【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.12、C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种;先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角,可求出OD, O1D及OO1,然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上,在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4, AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60º=O1D因为O1到A、B、C三的距离相等,所以,四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力,属于中档题.14、11【解析】
根据复数运算法则计算复数z,根据复数的概念和模长公式计算得解.【详解】复数z,∵复数z是纯虚数,∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案为:1,1.【点睛】此题考查复数的概念和模长计算,根据复数是纯虚数建立方程求解,计算模长,关键在于熟练掌握复数的运算法则.15、20,21【解析】
由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.16、【解析】
先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立,设,求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解:由题可知,不等式对于任意恒成立,即,又因为,,对任意恒成立,设,其中,由不等式,可得:,则,当时等号成立,又因为在内有解,,则,即:,所以实数的取值范围:.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,利用分离参数法和构造函数,通过求新函数的最值求出参数范围,考查转化思想和计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)1【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.(2,由AN=λ,设N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一个法向量,利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,由|cos〈,〉|===求解.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值为1.【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角,线面角的求法及应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.18、(1)(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析【解析】
(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,可得视力在5.0以上的频率,可得全年级视力在5.0以上的的人数;(2)由题中数据计算的值,对照临界值表可得答案;(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,可得X可取0,1,2,分别计算出其概率,列出分布列,可得其数学期望.【详解】解:(1)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有(人)所以后三组频数依次为24,21,18,所以视力在5.0以上的频率为0.18,故全年级视力在5.0以上的的人数约为人(2),因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.(3)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为,这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,X可取0,1,2,,X的分布列X012PX的数学期望.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识,考查学生分析数据与处理数据的能力,属于中档题.19、(1);(2)见解析【解析】
(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得的值,从而求得抛物线的方程;(2)法一:设直线,的方程分别为和且,,,可得,,,的坐标,进而可得直线的方程,根据在直线上,可得,再分别求得,,即可得证;法二:设,,则,根据直线的斜率不为0,设出直线的方程为,联立直线和抛物线的方程,结合韦达定理,分别求出,,化简,即可得证.【详解】(1)抛物线C的焦点坐标为,且该点在直线上,所以,解得,故所求抛物线C的方程为(2)法一:由点F在线段上,可设直线,的方程分别为和且,,,则,,,.∴直线的方程为,即.又点在线段上,∴.∵P是的中点,∴∴,.由于,不重合,所以法二:设,,则当直线的斜率为0时,不符合题意,故可设直线的方程为联立直线和抛物线的方程,得又,为该方程两根,所以,,,.,由于,不重合,所以【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)根据题意得到GB是线段的中垂线,从而为定值,根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,即可求出曲线C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.【详解】(1)为的中点,且是线段的中垂线,,又,∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设椭圆方程为(),则,,,所以曲线C的方程为.(2)设直线l:(),由消去y,可得.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以,.①又由可
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