第25章锐角的三角比（知识清单典型例题素养提升）九年级数学讲义

第25章锐角的三角比（知识清单+典型例题+素养提升）【知识导图】【知识清单】1锐角的三角比1．如图，在△中，，直角边和分别叫做的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．．【记忆技巧】【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．1．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由锐角的余切定义，即可求解．【详解】解：如图，∵点，∴．故选∶A【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．2．（2023·上海松江·统考一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理求得斜边长，进而根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：如图∵中，，，，∴,∴，，，，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．2特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：30°45°60°11【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法30°45°60°113．（2023·上海崇明·统考一模）计算：【答案】【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案．【详解】，，，，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键．4．（2023·上海·一模）计算：．【答案】【分析】把、、角的各种三角函数值代入计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊三角函数值的计算，特殊三角函数值计算在中考中经常出现，准确记住、、角的各种三角函数值是解题的关键．5．（2023·上海宝山·一模）计算：．【答案】【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】解：【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．3解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在△中，90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：90°；（2）三边之间的关系：；（3）边角之间的关系：；；；．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）已知条件解法步骤一边和一角斜边和一锐角斜边和一个锐角1．；2．；3．．一直角边和一锐角一条直角边和一个锐角1．；2．；3．．一条直角边和一个锐角1．；2．；3．．类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）已知条件解法步骤两边斜边和直角边1．；2．利用，求；3．．两条直角边和1．2．利用，求；3．．6．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD＝4k，则AD＝3k，从而利用勾股定理求出AC＝5k，进而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cosB＝＝＝，∴∠B的余弦值为．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023·上海·一模）如图，在四边形中，平分，，．(1)求证：且求出的值；(2)如果，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)246【分析】（1）先利用两角对应相等判断，再利用直角三角形的边角间关系和相似三角形的性质得结论；（2）利用直角三角形的边角间关系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面积公式得结论．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴＝；（2）∵，∴＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴＝．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性质、直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．8．（2023•普陀区二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，DE∥AC，cosC＝，AC＝10，BE＝2AE．（1）求BD的长；（2）求△BDE的面积．【分析】（1）在Rt△ACD中，由cosC＝＝，求出CD，再由DE∥AC得，即可求出BD．（2）由勾股定理求出AD，根据BE＝2AE得到S△BDE＝S△ABD，即可求出结果．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴cosC＝，∴＝，∴CD＝8，∵DE∥AC，∴，又BE＝2AE，∴，∴BD＝16．（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝6，∵BE＝2AE，∴S△BDE＝S△ABD＝×AD•BD＝××6×16＝32．【点评】本题主要考查了解直角三角形，以及平行线分线段成比例定理，三角形的面积计算，熟练运用三角函数的定义是解题关键．9．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．先判断EF是三角形的中位线，再求出EF、DF、AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tanB＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的边角间关系以及三角形的中位线定理是解决本题的关键．4解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即.坡度通常写成的形式，如1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作.坡度与坡角之间的关系:.知识延伸※方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．的取值范围为.10.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝°，塔顶A的仰角∠ABD＝°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（参考数据：°≈，°≈，°≈．）【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴°＝≈，∴AD≈BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴°＝≈，∴CD≈BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝BD，∴BD＝100（米），∴CD＝BD＝75（米），答：山高CD为75米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．11.（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到m，参考数据：sin33°≈，tan33°≈，sin40°≈，tan40°≈，°≈，°≈，sin20°≈，tan20°≈）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝°，在△ABD中，BD＝AD×°≈×＝（m），∴BC＝2BD＝（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈×＝（m），∴BC＝2BD＝m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为m﹣m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．12．（2022秋•嘉定区校级期末）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17°，即∠ADC＝17°（此时点B、C、D在同一直线上）．求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到米）．（参考数据：sin17°≈，cos17°≈，tan17°≈）【分析】根据坡度的概念，设AB＝5x米，则BC＝12x米，根据勾股定理列出方程，解方程求解，然后根据余切的定义列出算式，求出DC．【解答】解：由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x米，则BC＝12x米，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴，∴CD≈（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2023·上海·一模）如图，高压电线杆垂直地面，测得电线杆的底部A到斜坡C的水平距离长为米，落在斜坡上的电线杆的影长为米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为．已知斜坡的坡比，求该电线杆的高．（参考数据：）【答案】该电线杆的高为17米【分析】过点作垂直的延长线于点，于点，根据斜坡的坡比，米，求出的长度，然后求出和的长度，在中，求出的长度，即可求出的长度．【详解】解：如图，过点作垂直的延长线于点，于点，则四边形为矩形，，∵斜坡的坡比，米，∴设米，则米，，解得，则米，米，米，米，在中，，设米，则米，，解得，（米），米，答：该电线杆的高为17米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．14．（2023•嘉定区一模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上）（1）求FG的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH的长（结果精确到米）．（参考数据：≈，≈）【分析】（1）根据题意可得：CB⊥FH，ED⊥HG，然后分别在Rt△FBC和Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出BF和DG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）设AH＝x米，在Rt△AHF中，利用锐角三角函数的定义求出HF的长，从而求出HG的长，再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义可得HG＝AH，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：CB⊥FH，ED⊥HG，在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2，∴BF＝＝2（米），在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2，∴DG＝＝＝2（米），∵BD＝6米，∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米，∴FG的长为（4+2）米；（2）设AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH＝＝x（米），∵FG＝（4+2）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG＝＝＝AH，∴x+4+2＝x，解得：x＝5+3≈，∴AH＝米，∴山峰高度AH的长约为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键．【核心素养提升】15．（2023·上海浦东新·统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为．【答案】或【分析】分两种情况，结合正方形和正三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，在正方形和正三角形中，连接交于点O，正三角形的中线交于点F，则点O，P分别正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴点O，E均在的垂直平分线上，∴点E，O，P，G四三点共线，∵正方形和正三角形的边长都为6，∴．∴，∴，∴；即中心距为；如图，在正方形和正三角形中，连接交于点O，正三角形的中线交于点F，则点O，P分别正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴点O，E均在的垂直平分线上，∴点E，O，P，G四三点共线，∵正方形和正三角形的边长都为6，∴．∴，∴，∴；即中心距为；综上所述，中心距为或．故答案为：或【点睛】本题主要考查了正方形和正三角形的性质，解直角三角形，利用分类思想解答是解题的关键．16.（2023·上海·一模）如图，在中，，，，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．(1)求证：；(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)y=(3)的长为1或【分析】（1）要证，只需证，只需证到，．由，平分∠ABC可证到；由可证到，问题解决．（2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，易证，从而可以证到，可得．只需用x、y表示出、，问题就得以解决．（3）当是以为腰的等腰三角形时，可分和两种情况讨论．当时，由可得，从而可以得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值；当时，易证，过点F作，垂足为H，则有，结合，就可得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值．【详解】（1）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分线交于点M，交于点N，如图2，则有．在中，，则．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如图3，∵（已证），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．则有．解得：（舍），．②，过点F作，垂足为H，如图4，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．则有．∴，．∵，∴．综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的长为1或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作的垂直平分线交于点M，进而证到是解决第二小题和第三小题的关键．17．（2023·上海·一模）已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，连接，并延长交射线于点P．(1)连接，求证：；(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)(3)或或【分析】（1）连接，根据余切的定义，设，则，，再根据余切的定义即可得证；（2）设，则，，先根据正切的定义可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得；（3）设正方形的边长为，则，分三种情况：、、，先根据余切的定义求出的值，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）证明：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∵的余切值为2，∴，设，则，∴，，∴．（2）解：由（1）可知，设，则，∴，∵的正切值为2，∴，∴，∴，∴，∵四边形是正方形，，∴，，即，解得．（3）解：设正方形的边长为，则，由题意，分三种情况：①如图，当时，为等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，即，解得；②如图，当时，为等腰三角形，∴，，，，又，∴，∴，∵，∴，，即，解得；③如图，当时，为等腰三角形，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，，∴，，即，解得，综上，当为等腰三角形时，线段的长为或或．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切、余切，正确求出与正方形边长的关系是解题关键．18．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数的图像交于A、B两点，(1)当OB与x轴的正半轴的夹角为45°时，求点A、B的坐标．(2)在直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转过程中，∠OAB大小会变化吗？如果不变，请求出tan∠OAB的值如果有变化，请说明理由．(3)如果AB交y轴于点C，若AC=2BC时，求点A，B的坐标．【答案】(1)A（1,1），B（2,2）(2)2(3)【分析】（1）根据OB与x轴的正半轴的夹角为45°，可知点B的横纵坐标相等，则，可得答案；（2）作轴于G，作轴于H，则，再利用，得，从而解决问题；（3）作轴于H，轴于G，由，得到，设，则，再由，得，则，，从而表示出点A、B的坐标．【详解】（1）∵OB与x轴的正半轴的夹角为45°，∴，∵，∴，∴B（2,2）．∵，∴OA与y轴正半轴的夹角为45°．同理得A（1,1）．（2）不变，作轴于G，作轴于H，∵∠BOA的两边分别与函数的图象交于A、B两点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴tan∠OAB的值为2．（3）作轴于H，轴于G，∴，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．19．（2023·上海·一模）如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E．(1)如图，当点D是斜边上的中点时，求的长；(2)连接，如果和相似，求的长；(3)当点F在边的延长线上，且时，求的长．【答案】(1)；(2)和相似，的长为或5(3)的长是【分析】（1）连接，，由，，，得，，而D是中点，，知，从而，证明，可得，，解得，，即可得；（2）分两种情况：①当时，设，则，有，解得；②当时，设，则，可得，解得，即可得出答案；（3）连接，过D作于K，由，有，设，则，在中，得，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：连接，，如图：∵，，，∴，，∵D是中点，∴，∵是的垂直平分线，∴，∵D是中点，，∴，∴，，∵是的垂直平分线，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，，解得，，∴；（2）①当时，如图：设，则，∵，∴，解得，∴；②当时，如图：设，则，∵，∴，解得，∴；综上所述，和相似，的长为或5；（3）连接，过