套卷福建省福州文博2015届高三上学期期中考试数学（理）试题

福建省福州文博2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（完卷时间：120分钟，总分：150分）页脚页脚注意：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．复数的共轭复数为().A．－i B．－C．1+2iD．1－2i 2．已知全集为，集合，，则（）A.B.C.D.3．命题：，，则().．是假命题，：．是假命题，：．是真命题，：，．是真命题，：4．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为 ()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C.－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)6．将函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后得到图象y=g(x)，若y=g(x)的一个对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，则φ的一个可能取值是()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(7π,12)7．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A.eq\f(3,7)B．13C．6D.eq\f(12,7)8．已知f(x)是R上的偶函数，且最小正周期为，当时，f(x)＝eq\r(x)－cosx，则函数y＝f(x)的图象在区间上与x轴的交点的个数为()A.2 B.4 C.6 9．函数的导函数在区间上的图象大致是（）10．设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，答案填在答卷上）11．＝_______12．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________14．已知函数的部分图像如图所示，若图中阴影部分的面积为，则的值是15.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数如果实数满足时，那么的取值范围是.三、解答题：（本大题共6题，满分80分）16．（13分）已知函数f(x)＝cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)若0<<eq\f(π,2)，且sin＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．17．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)若(eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→)))eq\o(OC,\s\up6(→))，求k的值．18．（13分）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，．（1）若，，求角A；（2）若，，求的值．20．（14分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(2π,3)))(A>0，ω>0)，x∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B(－1,2).赛道的中间部分为长eq\r(3)千米的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EO上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．21．（14分）已知函数f(x)＝lnx－mx（meq\o(\s\up1(),∈)R）．（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．

福州文博2014-2015学年第一学期高三年级期中考理科数学考试（答案）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）12345678910CCCBBDDBAA二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分）11、12、213、2/314、615、(1/e，e)三、解答题16、解：(1)由已知，有f(x)＝cosx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,2)sinx·cosx－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)(1＋cos2x)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,4)sin2x－eq\f(\r(3),4)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，(1)若0<x<eq\f(π,2)，且sinx＝，f(α)=(2)增区间为17、解：(1)由题意，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2k，5＋k)，∴(eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2k，5＋k)·(－2，－1)＝－11－5k＝0.∴18、解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝eq\f(n[2＋（4n－2）],2)＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20、解(1)由条件，得A＝2，eq\f(T,4)＝3.∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴曲线段FBC的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(2π,3))).当x＝0时，y＝OC＝eq\r(3).又CD＝eq\r(3)，∴∠COD＝eq\f(π,4)，即∠DOE＝eq\f(π,4).(2)由(1)，可知OD＝eq\r(6).又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在eq\x\to(DE)上，故OP＝eq\r(6).“矩形草坪”的面积为S＝eq\r(6)sinθ(eq\r(6)cosθ－eq\r(6)sinθ)＝6(sinθco