新高考一卷逐题搞定之第二十二题教师版

新高考一卷逐题搞定第二十二题真题展示已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.（1）的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个解，当时，由（1）讨论可得、均无根，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的根，此时有两个不同的根，故，，，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，且①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意；②时，此时，故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③时，首先，证明与曲线有2个交点，即证明有2个零点，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，令，则，所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为其次，证明与曲线和有2个交点，即证明有2个零点，，所以上单调递减，在上单调递增，又因为，，，令，则，所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为再次，证明存在b，使得因为，所以，若，则，即，所以只需证明在上有解即可，即在上有零点，因为，，所以在上存在零点，取一零点为，令即可，此时取则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为所以，又因为在上单调递减，，即，所以，同理，因为，又因为在上单调递增，即，，所以，又因为，所以，即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.优秀模拟题1．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求函数在处的切线方程；(2)若和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析2．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析3．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析4．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2)5．（2022·全国·高考真题（理））已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．【答案】(1)(2)证明见的解析6．（2022·全国·高考真题（理））已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)7．（2022·贵州·模拟预测（文））已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有3个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)8．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)答案见解析9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知．(1)求函数的值域；(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．【答案】(1)(2)10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知．(1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围；(2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)记，存在满足，证明：①存在唯一极小值点；②.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析.12．（2022·云南云南·模拟预测）已知函数.(1)求函数的极值；(2)证明：.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)证明见解析13．（2022·河南·模拟预测（理））已知为定义在上的偶函数，，且．(1)求函数，的解析式；(2)求不等式的解集．【答案】(1)；；(2).14．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数在处的切线过点，a为常数．(1)求a的值；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析.15．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二模拟预测（文））已知函数(1)若，求的极小值(2)讨论函数的单