第五章 数列 分层作业人教B版（2023）高中数学选择性必修第三册（课件版+文档版）（20份打包）

第第页第五章数列分层作业人教B版（2023）高中数学选择性必修第三册（课件版+文档版）（20份打包）(共22张PPT)

第五章

5.2.1等差数列

A级必备知识基础练

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1.[探究点二]已知等差数列{an}的通项公式为an=90-2n,则这个数列中正数项的个数为()

A.44B.45C.90D.无数

A

解析令an=90-2n>0,解得n0,∴an+an-1≠0,

∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2),

∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.

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B级关键能力提升练

9.在数列{an}中,a1=5,a2=9.若数列{an+n2}是等差数列,则数列{an}的最大项为()

B

解析令bn=an+n2.

∵a1=5,a2=9,∴b1=a1+1=6,b2=a2+4=13,

∴数列{an+n2}的公差为13-6=7,

则an+n2=6+7(n-1)=7n-1,

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又n∈N+,

故选B.

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10.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,则下列能判断数列{an}是等差数列的是()

A.Sn=n

B.Sn=n2+n

C.Sn=2n

D.Sn=n2+n+1

AB

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解析对于A,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,而a1=S1=1满足上式,

则an=1(n∈N+),数列{an}是常数数列,是等差数列;

对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=S1=2满足上式,

则an=2n(n∈N+),数列{an}是等差数列;

对于C,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,而a1=S1=2不满足上式,

对于D,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n,而a1=S1=3不满足上式,

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11.在等差数列{an}中,首项为33,公差为整数,若前7项均为正数,第7项以后各项均为负数,则数列的通项公式为.

an=38-5n

解析设等差数列{an}的公差为d.

又d∈Z,∴d=-5,

∴an=33+(n-1)×(-5)=38-5n.

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12.[2023山东烟台高二专题练习]已知数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=an-2n,b3=-1,b5=-21,则{an}的公差d为.

2

解析由bn=an-2n得an=bn+2n,则a3=b3+8=-1+8=7,a5=b5+32=-21+32=11,则

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13.同时满足下面两个性质的数列{an}的一个通项公式为an=.

①是递增的等差数列;②a2-a3+a4=1.

n-2

解析设等差数列{an}的公差为d,由①可知d>0.

由a2-a3+a4=1,得a3=a1+2d=1.

取d=1,则a1=-1,所以数列{an}的一个通项公式为an=-1+(n-1)=n-2.

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14.四个数成递增的等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.

解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,

且(a-3d)(a+3d)=-8,

即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.

又四个数成递增的等差数列,

∴d>0,∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.

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(2)求数列{an}的通项公式.

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16.已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).设求证:数列{bn}是等差数列,并分别求an和bn.

∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列,

∴bn=1+(n-1)×2=2n-1,∴an=(2n-1)·2n.

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17.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….

(1)求{an}的通项公式.

(2)135,4m+19(m∈N+)是数列{an}中的项吗如果是,是第几项

(3)若as,at(s,t∈N+)是数列{an}中的项,那么2as+3at是数列{an}中的项吗如果是,是第几项

C级学科素养创新练

解(1)设数列{an}的公差为d.依题意,有a1=3,d=7-3=4,∴an=3+4(n-1)=4n-1.

(2)由(1)可知,{an}的通项公式为an=4n-1.

令4n-1=135,得n=34,∴135是数列{an}的第34项.

∵4m+19=4(m+5)-1,且m∈N+,

∴4m+19(m∈N+)是数列{an}的第(m+5)项.

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(3)由(1)可知,{an}的通项公式为an=4n-1.

∵as,at是数列{an}中的项,∴as=4s-1,at=4t-1,

∴2as+3at=2(4s-1)+3(4t-1)=4(2s+3t-1)-1.

∵s,t∈N+,∴2s+3t-1∈N+,∴2as+3at(s,t∈N+)是数列{an}的第(2s+3t-1)项.第五章5.5数学归纳法

A级必备知识基础练

1.[探究点二·2023北京高二阶段练习]用数学归纳法证明1++…+1)时,第一步应验证不等式()

A.1+3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为()

A.n∈N+B.n∈N+,n≥2

C.n∈N+,n≥3D.n∈N+,n≥4

3.[探究点二]用数学归纳法证明+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是()

A.

B.

C.

D.

4.[探究点二]用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为.

5.[探究点一]用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).

6.[探究点三]数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+-2(n∈N+).

(1)求S1,S2,S3,S4的值;

(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.

B级关键能力提升练

7.利用数学归纳法证明+…+3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为n∈N+,n≥4.故选D.

3.B当n=k时,左边为+…+,

当n=k+1时,左边为+…+,

所以左边需添加的项是.故选B.

4.当n=1时,左边=4,右边=4,不等式成立

5.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.

(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).

所以当n=k+1时,等式成立.

综合(1)(2)可知,等式对任意n∈N+恒成立.

6.解(1)当n=1时,a1=S1=S1+-2,∴S1=.

又a2=S2-S1=S2+-2,

∴S2=,

同理S3=,S4=.

(2)猜想Sn=(n∈N+).

下面用数学归纳法证明这个结论.

①当n=1时,结论成立.

②假设n=k(k∈N+)时结论成立,即Sk=,

当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2,

∴=2-Sk=2-.

∴Sk+1=,

即当n=k+1时结论成立.

由①②,知Sn=对任意的正整数n都成立.

7.C当n=k时,左端为+…+;当n=k+1时,左端为+…+,对比两式,可得结论.

8.C∵P(n)对n=6不成立,无法判断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n2,k为偶数)时命题为真,因为n只能取偶数,所以还需要证明n=k+2成立.

故选B.

10.BC数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法,由此可知BC能用数学归纳法证明.

故选BC.

11.f(1)=1+;

当n=k时,f(k)=1++…+,

当n=k+1时,f(k+1)=1++…+,

所以f(k+1)=f(k)+.

12.k+1当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.

13.+…+因为f(n)=1++…+,所以f(2k+1)=1++…++…+,

f(2k)=1++…+,

所以f(2k+1)-f(2k)=+…++…+.

14.(1)解∵a1=,前n项和Sn=(2n2-n)an,

∴令n=2,得a1+a2=6a2,∴a2=.

令n=3,得a1+a2+a3=15a3,∴a3=.

令n=4,得a1+a2+a3+a4=28a4,∴a4=.

猜想an=.

(2)证明证明如下:

①当n=1时,结论成立;

②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,

即ak=,

则当n=k+1时,Sk+1=Sk+ak+1=(2k2-k)ak+ak+1=+ak+1=[2(k+1)2-(k+1)]·ak+1,

∴k(2k+3)·ak+1=,∴ak+1=,

∴当n=k+1时结论成立.

由①②可知,对一切n∈N+都有an=成立.

15.CD取n=1,则不成立;

取n=2,则不成立;

取n=3,则成立;

取n=4,则成立;

下面证明:当n≥3时,成立.

当n=3,则成立;

假设当n=k(k≥3)时,有成立,

则当n=k+1时,有,

令t=,则=3-,

因为t>,

故>3-,

因为>0,

所以,

所以当n=k+1时,不等式也成立,

由数学归纳法可知,对任意的n≥3都成立.故k≥3.

故选CD.

16.证明(1)当n=1时,F1=1-1=1,命题成立;

当n=2时,F2=2-2=1,命题成立.

(2)假设当2≤n≤k(k∈N+,k≥2)时命题成立,则Fk=k-k,

Fk-1=k-1-k-1,

那么当n=k+1时,Fk+1=Fk+Fk-1=k-k+k-1-k-1=k-1+1-k-1·+1=k-1·-k-1·=k-12-k-1·2=k+1-k+1,所以当n=k+1时命题也成立.

由(1)(2)可知,Fn=n-n对任意n∈N+都成立.(共32张PPT)

第五章

培优课等比数列习题课

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1.[探究点一]在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则数列{an}的通项公式为()

A.an=24-nB.an=2n-4C.an=2n-3D.an=23-n

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2.[探究点一]在等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则数列{an}的前8项和为()

A

解析∵数列{an}是等比数列,

∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列.

∵a1+a2=6,a3+a4=12,

∴a5+a6=24,a7+a8=48,

∴前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故选A.

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3.[探究点四]已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1+1,则数列{an}的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为()

C

解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2,又a1=S1=2,即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,所以数列{an}的前10项中

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4.[探究点一]已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a3与S2分别为方程

x2+3x-4=0的两个根,则S5=()

A.-11B.8C.15D.-15

A

解析设{an}的公比为q.

由x2+3x-4=0解得x=1或-4.

∵a3与S2分别为方程x2+3x-4=0的两个根,

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故选A.

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5.[探究点四](多选题)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,则下列说法正确的是()

A.a5=-16

B.S5=-63

C.数列{an}是等比数列

D.数列{Sn+1}是等比数列

AC

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解析因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1,

所以S1=2a1+1,因此a1=-1.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,

所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,故C正确;

因此,a5=-1×24=-16,故A正确;

又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;

因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.

故选AC.

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6.[探究点四](多选题)[2023黑龙江一模]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1+a,则下列说法正确的是()

A.a=-2

B.a=-1

AD

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解析当n=1时,a1=S1=4+a.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n.

因为{an}是等比数列,所以a1=21=4+a,

所以a=-2,an=2n(n∈N+),故A正确,B错误;

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7.[探究点三·2023江苏南京高二期中]已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an-2,则an=.

2·3n-1+1

解析因为an+1=3an-2,

所以an+1-1=3(an-1).

又a1-1=2,所以{an-1}是一个以2为首项,以3为公比的等比数列,

所以an-1=2·3n-1,an=2·3n-1+1.

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8.[探究点四]已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n∈N+,有2Sn=3an-2,则a1=;Sn=.

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3n-1

解析令n=1,则2S1=3a1-2,得a1=2;

当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,

2an=2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,即当n≥2时,an=3an-1.

又a1=2,

故数列{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,

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9.[探究点二·2023甘肃临夏高二阶段练习]在等差数列{an}中,已知a3=4,a5+a8=15.

(1)求数列{an}的通项公式;

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所以Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1,①

则2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1+(n+1)×2n+2,②

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11.数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=()

A.2B.3C.4D.5

C

解析∵am+n=aman,

令m=1,∴an+1=a1an=2an,

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12.(多选题)[2023江西鹰潭贵溪第一中学高二阶段练习]已知数列{an},下列结论正确的有()

A.若a1=2,an+1=an+n+1,则a20=211

B.若a1=1,an+1=3an+2,则a4=53

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解析选项A,由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,

则a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+…+2+2=211,故A正确;

选项B,由an+1=3an+2得an+1+1=3(an+1).

又a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,

则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1,所以a4=2×33-1=53,故B正确;

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13.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn0,a8+a9>0,a8a90成立的n的最大值是()

A.8B.9C.16D.17

5.[探究点一、三](多选题)[2023江苏连云港高二期末]已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且a1=15,S5=S11,则以下说法正确的是()

A.d=-2

B.a6=-a11

C.Sn的最大值为S7

D.使得Sn≥0的最大正整数n为16

6.[探究点二]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9=.

7.[探究点一·人教A版教材习题]根据下列等差数列{an}中的已知量,求相应的未知量:

(1)a1=20,an=54,Sn=999,求d及n;

(2)d=,n=37,Sn=629,求a1及an;

(3)a1=,d=-,Sn=-5,求n及an;

(4)d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn.

8.[探究点三·人教A版教材习题]已知等差数列-4.2,-3.7,-3.2,…的前n项和为Sn,Sn是否存在最大(小)值如果存在,求出取得最值时n的值.

B级关键能力提升练

9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200的值为()

A.100B.101C.200D.201

10.已知数列{an}是等差数列,a3=8,a4=4,则前n项和Sn中最大的是()

A.S3B.S4或S5

C.S5或S6D.S6

11.一个凸多边形各内角的弧度数成等差数列,最小角为,公差为,则边数n的值为()

A.9B.16

C.9或16D.18

12.(多选题)数列{an}满足a1=10,an=an-1-2(n≥2),则()

A.数列{an}是递减数列

B.an=2n+8

C.点(n,an)都在直线y=-2x+12上

D.数列{an}的前n项和Sn的最大值为32

13.在等差数列{an}中,3a1=7a7,a1>0,Sn是数列{an}的前n项和,若Sn取得最大值,则n=.

14.与传统燃油车相比较,新能源车具有环保、节能、减排等优势,既符合我国的国情也代表了汽车产业发展的方向.工信部表示,到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆,并希望新能源车至少占总销量的四分之一.某公司年初购入一批新能源车充电桩,每台16200元,第一年每台设备的维修保养费用为1100元,以后每年增加400元,估计每台充电桩每年可获利8100元,则每台充电桩从第年开始获利.(参考数据:≈1.732)

15.[2023广东深圳高二期末]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S15=5(a2+a6+ak)(k∈N+),则k=.

16.[2023山东泰安高二期末]已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则=.

17.已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=+k.当k=时,{an}是公差d=的等差数列.

18.[北师大版教材习题]已知数列{an}前n项和为Sn=n2+1.

(1)写出数列{an}的前5项.

(2)数列{an}是等差数列吗

(3)写出数列{an}的通项公式.

C级学科素养创新练

19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=11,S7=161.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若Sn≥6an-5n-12,求n的取值范围;

(3)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

5.2.2等差数列的前n项和

1.B(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,

又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54,

∴a1+a20=18.故S20==10×18=180.

2.B设{an}的公差为d.

由题意得解得

所以a5=a1+4d=13.

故选B.

3.D由条件可知,当n=10时,a10=31-10t≥0,a11=31-11t0,a8+a9>0,a8a90,a90,S17==17a90成立的n的最大值为16.故选C.

5.ABD因为a1=15,S5=S11,所以5×15+×d=11×15+×d,解得d=-2,故A正确;

a6=15+5×(-2)=5,a11=15+10×(-2)=-5,所以a6=-a11,故B正确;

Sn=15n+·(-2)=-n2+16n=-(n-8)2+64,所以n=8时Sn取最大值,故C错误;

令Sn=-n2+16n≥0,解得0≤n≤16(n∈N+),故D正确.

故选ABD.

6.81(方法一)设等差数列{an}的公差为d,

由题意得解得

∴S9=9a1+d=81.

(方法二)∵数列{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,∴2(S6-S3)=S3+S9-S6.

又S3=9,S6=36,则2×(36-9)=9+S9-36,

解得S9=81.

7.解(1)将a1=20,an=54,Sn=999代入Sn=,得n=27.再将a1=20,an=54,n=27代入an=a1+(n-1)d,得d=.

(2)将d=,n=37,Sn=629分别代入an=a1+(n-1)d,Sn=,得解得

(3)将a1=,d=-,Sn=-5代入Sn=na1+d(n∈N+),得n=15.再将a1=,d=-,n=15代入an=a1+(n-1)d,得an=-.

(4)将d=2,n=15,an=-10代入an=a1+(n-1)d,得a1=-38.再将a1=-38,an=-10,n=15代入Sn=,得Sn=-360.

8.解(方法一)存在最小值.由题意,知a1=-4.2,d=-3.7-(-4.2)=0.5,所以an=-4.2+(n-1)×0.5=0.5n-4.7.

令an≤0,则n≤9.4,

所以数列{an}前9项为负数,从第10项起为正数,

所以Sn存在最小值,此时n=9.

(方法二)存在最小值.由题意,知a1=-4.2,d=0.5,

Sn=-4.2n+×0.5=0.25n2-4.45n=0.25(n-8.9)2-19.8025,

所以Sn存在最小值,且S8>S9,所以此时n=9.

9.A依题意,a1+a200=1,

所以S200==100.

10.B设数列{an}的公差为d,则d=a4-a3=4-8=-4,an=a3+(n-3)d=8+(n-3)×(-4)=20-4n,所以a4>0,a5=0,a60,a120,即n2-36n+811的传染病,要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(初始感染者未被隔离,且不含初始感染者)的总人数为.(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……)

15.某学习软件以数学知识为题目设置了一项闯关游戏,共有15关,每过一关可以得到一定的积分,现有三种积分方案供闯关者选择.方案一,每闯过一关均可获得40积分;方案二,闯过第一关可获得5积分,后面每关的积分都比前一关多5;方案三,闯过第一关可获得0.5积分,后面每关的积分都是前一关积分的2倍.若某关闯关失败则停止游戏,最终积分为闯过的各关的积分之和.设三种方案闯过n(n≤15,且n∈N+)关后的积分之和分别为An,Bn,Cn,要求闯关者在开始前要选择积分方案.

(1)求出An,Bn,Cn的表达式.

(2)如果你是一个闯关者,为获得尽量多的积分,这几种积分方案该如何选择小明通过试验后觉得自己至少能闯过12关,他应该选择第几种积分方案

C级学科素养创新练

16.[2023河北衡水高三期末]治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万吨,通过扩大宣传、环保处理等一系列措施,预计从今年开始,连续5年,每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨,从第6年开始,每年的垃圾排放量为上一年的75%.

(1)写出S市从今年开始的年垃圾预期排放量与治理年数n(n∈N+)的表达式;

(2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量,写出An的表达式.

5.4数列的应用

1.A设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长组成等差数列{an},

其公差为d,由题意得

即解得

所以an=a1+(n-1)d=11.5-n,所以a7=11.5-7=4.5,即春分时节的日影长为4.5尺.

2.D设每年偿还的金额为x,

则a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,

所以a(1+p)m=x,

解得x=.

故选D.

3.AC从2023年起,每年年底的绿化率构成一个数列a1,a2,a3,…,an,则a1=0.7×0.98+0.3×0.18=0.74,

且an+1=0.98an+0.18(1-an)=0.8an+0.18,

即an+1-0.9=0.8(an-0.9).又a1-0.9=-0.16,

则数列{an-0.9}是首项为-0.16,公比为0.8的等比数列,

则an-0.9=-0.16×0.8n-1,即an=0.9-0.16×0.8n-1.

a1=0.74,故A正确;

a3=0.9-0.16×0.82=0.797615,

所以b4=b5=…=b10=6.75,

设{bn}的前n项的和为Bn,则B10=3+4.5+6.75×8=61.5.

所以从2023年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为(72.5+61.5=134)万.

14.4095初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4,

经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16,

经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64,

……

则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,4为公比的等比数列,设为{an}.

经过n轮传染后,感染人数为an=4×4n-1=4n,

所以由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4095.

15.解(1)按方案一闯过各关所得积分构成常数数列,故An=40n;

按方案二闯过各关所得积分构成首项为5,公差为5的等差数列,

故Bn=5n+×5=;

按方案三闯过各关所得积分构成首项为,公比为2的等比数列,

故Cn=(2n-1).

(2)令An>Bn,即40n>,解得0Cn,即40n>(2n-1),因为n∈N+,所以n≤9,

故当n≤9时,An>Cn;当10≤n≤15时,AnS8,则下列结论错误的是()

A.dS6

D.S6与S7均为Sn的最大值

4.[探究点一]有一位善于步行的人,第一天行走了100千米,以后每天比前一天多走d千米,九天他一共行走了1260千米,求d的值.关于该问题,下列结论错误的是()

A.d=15

B.此人第二天行走了110千米

C.此人前七天共行走了910千米

D.此人前八天共行走了1080千米

5.[探究点一]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.

6.[探究点四]在等差数列{an}中,若a10,若对任意正整数n,都有Sn≥Sk,则整数k=.

8.[探究点三]“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为.

9.[探究点一]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

10.[探究点四]数列{an}是首项为23,公差为-4的等差数列.

(1)当an>0时,求n的取值范围;

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值.

11.[探究点二·2023安徽师范大学附属中学高二阶段练习]已知数列{an}前n项和Sn满足Sn=n2(n+1)+1.求:

(1)a1,a2;

(2)数列{an}的通项公式.

B级关键能力提升练

12.(多选题)[2023山东菏泽高二阶段练习]已知数列{an}是公差为d的等差数列,则下列说法正确的是()

A.an+1=an+d

B.数列{-an}是等差数列

C.数列是等差数列

D.2an+1=an+an+2

13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+3(n∈N+),则下列结论正确的是()

A.数列{an}是等差数列

B.数列{an}是递增数列

C.a1,a5,a9成等差数列

D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列

14.[2023江苏南通高二期末]如图的形状被称为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层(从上往下)球数组成一个数列{an},则a5=;+…+=.

15.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.

(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;

(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

16.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足=a1a21.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an,且b1=3,求数列的前n项和Tn.

C级学科素养创新练

17.[2023江苏南京外国语学校高二期末]设Sn是数列{an}的前n项和,Sn=an-3n+1,则an=;若不等式an≥对任意n∈N+恒成立,则正数k的最小值为.

培优课等差数列习题课

1.C设数列{an}的公差为d.因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)×=37,所以n=56.

2.B设等差数列{an}的公差为d,由题可知d>0.

∵a4a6=(a5-d)(a5+d)=(10-d)(10+d)=96,∴d=2或d=-2(舍去),

∴等差数列{an}的公差为2.

故选B.

3.C由于S5S8,所以S6-S5=a6>0,S7-S6=a7=0,S8-S7=a80,故Sn的最小值为S12.

7.18在等差数列{an}中,S35==35a180,则a18+a19>0,即有a19>-a18,

于是数列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是递增数列,其前18项均为负数,从第19项起为正数,

因此Sn的最小值为S18,所以对任意正整数n,都有Sn≥S18,所以k=18.

8.3由题意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5,

∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3,∴当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2,∴a18=3.

9.3n2-2n数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.显然{3n-2}中的所有奇数项均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列组成的新数列{an}为以1为首项,6为公差的等差数列,所以{an}的前n项和为n×1+×6=3n2-2n.

10.解(1)由题可知an=23+(n-1)×(-4)=27-4n>0,

∴n21时,

Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an=Sn-2S21=(n2-41n)+630.

16.解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

则解得

则an=2n+3.

(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2),

∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)(n+3)+3=n(n+2)(n≥2),b1=3满足上式,

∴bn=n(n+2),

∴,

∴Tn=.

17.(4n+2)×3n当n=1时,a1=S1=a1-32,得a1=18.

当n≥2时,Sn-1=an-1-3n,

所以an=Sn-Sn-1=an-an-1-2×3n,得an=3an-1+4×3n,

所以=4(n≥2).

又因为=6,所以是以6为首项,4为公差的等差数列,

所以=4n+2,即an=(4n+2)×3n.

因为an≥,所以(4n+2)×3n≥,即(k>0).

记bn=,则bn>0,>1,所以{bn}为递增数列,所以bn≥b1=6.

所以≤6,所以k≥,

则k的最小值为.(共33张PPT)

第五章

5.3.1等比数列

A级必备知识基础练

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1.[探究点一]对等比数列{an},下列说法一定正确的是()

A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列

D

解析因为在等比数列中,an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.

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2.[探究点二]设等比数列{an}满足a1+a3=3,a1-a5=-3,则a7=()

A.8B.-8C.6D.-6

A

解析设等比数列{an}的公比为q,

a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,①

a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,②

由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.

则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.

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3.[探究点三]在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c的值为()

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解析根据题意填写表格,得

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4.[探究点二·2023黑龙江鹤岗一中高三期末]在各项均为正数的等比数列

D

解析设等比数列{an}的公比为q,由题可知q>0.

即a1q4=2a1q2+a1q3,

可得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

故选D.

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解析由题可知a2+b2=c2.

故选C.

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6.[探究点二](多选题)[2023福建宁德高二期末]已知等比数列{an}的公比q=,等差数列{bn}的首项b1=9,若a7>b7且a8>b8,则以下结论正确的有

()

A.a8>0B.b8a8D.b7>b8

BD

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解析因为等比数列{an}的公比,而a1的正负不确定,因此不能确定a7和a8的正负及大小关系,AC错误;

显然a7和a8异号,又a7>b7且a8>b8,则b7,b8中至少有一个是负数,而b1=9>0,

于是等差数列{bn}的公差db8,且b80),∴a2=2b,2b=a+30,

∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.

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8.[探究点三]已知数列{an}的各项都为正数,对任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+…+log2a7=.

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解析∵对任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,

令m=1,则a1an=a1+n对任意的n∈N+恒成立,

∴数列{an}为等比数列,公比为a1.

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9.[探究点一、二·北师大版教材例题]在各项均为负数的数列{an}中,已知

(1)求证:数列{an}是等比数列,并求出它的通项公式.

(2)试问是数列{an}中的项吗如果是,指出是{an}中的第几项;如果不是,请说明理由.

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B级关键能力提升练

10.(多选题)数列{an}满足an=qn(q>0),则以下结论正确的是()

A.数列{a2n}是等比数列

ABD

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11.(多选题)[2023安徽安庆一中高二阶段练习]已知三角形的三边长组成公比为q的等比数列,则q的值可以为()

BC

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12.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就称为“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满足使不等式an>10的n的最小值是()

A.8B.7C.6D.5

D

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所以n的最小值是5.

故选D.

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13.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音

D

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14.已知等比数列{an}的公比是q,则“q>1”是“an+1>an”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

D

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解析当a1=-1时,an=-qn-1,an+1=-qn.

因为q>1,所以qn>qn-1,

所以-qn1不能推出an+1>an.

由an+1>an,得-qn>-qn-1,则qnan不能推出q>1,

所以“q>1”是“an+1>an”的既不充分也不必要条件.

故选D.

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15.(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是()

A.q>1B.a8>1C.T16>1D.T17>1

BC

解析由题意知(a8-1)(1-a9)=a8+a9-a8a9-1>0,

则a8,a9中一个大于1,另一个小于1.

∵等比数列{an}的各项均为正数,∴q>0.

又a1>1,∴a8>1>a9,且1>q>0.

由题意知a8a9>1.

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16.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为.

解析设数列{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,

由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)

由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由数列{an}唯一知方程(*)必有一根为0,将q=0代入(*)得

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3或4

∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.

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18.[2023海南模拟预测]已知数列{an}满足(an≠0,且n∈N+),且a2,a3+2,a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=log2an(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.

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解(1)在数列{an}中,由,得an+1=2an,而an≠0,则数列{an}是公比为2的等比数列.

因为a2,a3+2,a4成等差数列,即2(a3+2)=a2+a4,所以8a1+4=2a1+8a1,解得a1=2,

所以数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n.

(2)由(1)得bn=log22n=n,有b1=1,bn+1-bn=(n+1)-n=1,即数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列,

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解(1)设数列{an}的公比为q,由题意,知q>1.

∴3a3=a4+2a2,∴3q2=q3+2q,

即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),∴q=2,

∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-1.

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20.[2023重庆高二期末]已知数列{an}满足a1=4,nan+1=2(n+1)an,则a4=,若数列的前n项和为Sn,则满足不等式Sn≥14的n的最小值为.

C级学科素养创新练

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所以数列{an}的通项公式为an=n·2n+1,

则a4=4×25=128.

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20(共17张PPT)

第五章

5.1.2数列中的递推

A级必备知识基础练

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3.[探究点三]1202年,意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》,书中有一个著名的数列——“斐波那契数列”,此数列可以表示为{Fn}:F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1(n∈N+),则其前10项和为()

A.10B.88C.143D.232

C

解析因为F1=1,F2=1,且Fn+2=Fn+Fn+1(n∈N+),

所以F3=F1+F2=2,F4=F2+F3=3,F5=F3+F4=5,F6=F4+F5=8,F7=F5+F6=13,F8=F6+F7=21,F9=F7+F8=34,F10=F8+F9=55,

所以此数列的前10项和为1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143.

故选C.

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4.[探究点一]数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2),且a1=0,则此数列的第5项是.

255

解析因为an=4an-1+3(n≥2),a1=0,

所以a2=4×0+3=3,a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.

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6.[探究点三·人教A版教材习题]已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,求{an}的通项公式.

解当n=1时,a1=S1=-2,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2.

当n=1时,a1=-2=-4×1+2,符合上式,

所以{an}的通项公式是an=-4n+2.

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B级关键能力提升练

7.数列1,3,6,10,15,…的一个递推公式是()

A.an+1=an+n,n∈N+

B.an=an-1+n,n∈N+,n≥2

C.an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2

D.an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2

B

解析由题可知a1=1,an-an-1=n(n∈N+,n≥2)或an+1=an+n+1(n∈N+).

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9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4n2-10n,则a2a6的值为()

A.52B.68C.96D.108

B

解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故选B.

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10.数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,则a7=()

A.64B.128C.256D.512

A

解析当n≥2时,由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,①

得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·2n-1+1,②

①-②,得nan=[(n-1)·2n+1]-[(n-2)·2n-1+1]=n·2n-1(n≥2),

所以an=2n-1(n≥2),则a7=64.

故选A.

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11.(多选题)意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,…即从第3项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{an}说法正确的是()

A.a10=55

B.a2023是偶数

C.3a2021=a2019+a2023

D.a1+a2+a3+…+a2021=a2023

AC

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解析对于A,a8=21,a9=21+13=34,a10=21+34=55,故A正确;

对于B,由该数列的性质可得只有序号为3的倍数的项是偶数,故B错误;

对于C,a2019+a2023=a2019+a2021+a2022=a2019+a2021+a2020+a2021=3a2021,故C正确;

对于D,a2023=a2021+a2022,a2022=a2020+a2021,a2021=a2019+a2020,……,a3=a1+a2,a2=a1,

各式相加得a2023+a2022+a2021+…+a2=a2022+2(a2021+a2020+a2019+…+a1),

所以a2023=a2021+a2020+a2019+…+a1+a1,故D错误.

故选AC.

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12.已知Sn是数列{an}的前n项和,若,则S2023的值为.

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13.已知数列{an}满足an+2+an=an+1,且a1=1,a2=2,则a2023=.

1

解析因为an+2+an=an+1,

所以an+2=an+1-an.

因为a1=1,a2=2,

所以a3=a2-a1=2-1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,

a5=a4-a3=-1-1=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,

a7=a6-a5=-1-(-2)=1,a8=a7-a6=1-(-1)=2,

所以数列{an}中的项以6为周期重复出现.

又2023=6×337+1,

所以a2023=a1=1.

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14.[2023北京高二阶段练习]已知数列{an}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,则

a2007=;a2024=.

0

1

解析由a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,得a2007=a4×502-1=0,

a2024=a1012=a506=a253=a4×64-3=1.

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C级学科素养创新练

15.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,且λan≥4n-2对一切n∈N+恒成立,则实数λ的取值范围是.

[3,+∞)

解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1.a1适合该式,

所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,(共21张PPT)

第五章

5.1.1数列的概念

A级必备知识基础练

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1.[探究点三]若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是()

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

A

解析∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列.

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3.[探究点一]下列有关数列的说法正确的是()

①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};

②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;

④数列中的项的序号都是正整数.

A.①②B.③④C.①③D.②④

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解析对于①,{1,2,3}是集合,不是数列,故选项①错误;

对于②,数列是有序的,故数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列,故选项②错误;

对于④,由数列的定义可知,数列中的项的序号是正整数,故选项④正确.

故选B.

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4.[探究点二(角度2)·2023湖北十堰高二期末]已知数列1,-3,5,-7,9,…,则该数列的第100项为()

A.99B.-199C.-111D.111

B

解析由题可知,该数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1),所以

a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199.

故选B.

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5.[探究点二(角度2)](多选题)[2023黑龙江哈尔滨高二期末]已知数列{an}的通项公式为an=n2+n,则下列是该数列中的项的是()

A.12B.18C.25D.30

AD

解析因为an=n2+n,所以n越大,an越大.

当n=3时,a3=32+3=12;当n=4时,a4=42+4=20;当n=5时,a5=52+5=30.

故选AD.

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6.[探究点三]数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50,则数列中的最小项是.

38

因为n∈N+,

所以当n=3或n=4时,an最小,此时a3=a4=38.

即数列中的最小项是38.

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7.[探究点二(角度1)]图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度组成数列{an},则此数列的通项公式为an=.

①

②

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8.[探究点二(角度1)·北师大版教材习题]写出下面各数列的一个通项公式:

(1)2,4,6,8,…;

解(1)an=2n.

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B级关键能力提升练

9.下列四个说法:

①任何数列都有通项公式;

②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;

③给出了数列的项就可唯一确定这个数列的通项公式;

④数列{an}的通项公式可以看成关于项数n的函数解析式.

其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

解析根据数列的表示方法可知,不是任何数列都有通项公式,例如,π的近似值构成的数列3,3.1,3.14,3.142,…就没有通项公式,所以①错误;根据数列的表示方法可知,②正确;给出了数列的项,数列的通项公式形式不一定唯一,比如,1,-1,1,-1,…,其通项公式既可以写成an=(-1)n+1,也可以写成an=(-1)n-1,③错误;根据数列与函数的关系可知,④正确.故选B.

1

2

3

4

5

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7

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16

10.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积为()

B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

A

所以在数列{an}中a1>a2=a3;

当n≥3时,an+1-an>0,则a3所以|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a8-a9|=a1-a2+a2-a3+a4-a3+a5-a4+…+a9-a8

1

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16

12.已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是()

A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a11

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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12

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14

15

16

13.[2023云南玉溪高一期末]已知数列{an}的通项公式是,则{an}中的最大项的项数是.

9

故当n≤8时,an+1-an>0,即an+1>an;

当n≥9时,an+1-ana11>…,

∴{an}中的最大项的项数是9.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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14

15

16

14.根据下列5个图形中点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有

个点.

n2-n+1

解析观察图形可知,第n个图有n个分支,每个分支上有(n-1)个点(不含中心点),再加上中心1个点,则有n(n-1)+1=n2-n+1(个)点.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

(1)依次写出数列{an}的前5项;

(2)研究数列{an}的单调性,并求数列{an}的最大项和最小项.

1

2

3

4

5

6

7

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15

16

当n≤49且n∈N+时,an>0且n越大an越大;当n≥50且n∈N+时,an≤0且n越大an越大,

∴{an}的最大项为a49=2,最小项为a50=0.

C级学科素养创新练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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12

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14

15

16

16.已知数列{an}中,,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为()

A.[12,24]B.(12,24]C.[3,12]D.(3,12]

A

解析当k≤0时,可知数列{an}为递增数列,不符合题意;

当k>0时,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,

所以12≤k≤24.

所以实数k的取值范围为[12,24].第五章5.1数列基础

5.1.1数列的概念

A级必备知识基础练

1.[探究点三]若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是()

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

2.[探究点二(角度1)]数列,-,-,…的一个通项公式为()

A.an=(-1)n·

B.an=(-1)n·

C.an=(-1)n+1·

D.an=(-1)n+1·

3.[探究点一]下列有关数列的说法正确的是()

①数列1,2,3可以表示成{1,2,3};

②数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一数列;

③数列的第k-1(k∈N+且k≥2)项是;

④数列中的项的序号都是正整数.

A.①②B.③④C.①③D.②④

4.[探究点二(角度2)·2023湖北十堰高二期末]已知数列1,-3,5,-7,9,…,则该数列的第100项为()

A.99B.-199C.-111D.111

5.[探究点二(角度2)](多选题)[2023黑龙江哈尔滨高二期末]已知数列{an}的通项公式为an=n2+n,则下列是该数列中的项的是()

A.12B.18C.25D.30

6.[探究点三]数列{an}的通项公式是an=n2-7n+50,则数列中的最小项是.

7.[探究点二(角度1)]图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度组成数列{an},则此数列的通项公式为an=.

①

②

8.[探究点二(角度1)·北师大版教材习题]写出下面各数列的一个通项公式:

(1)2,4,6,8,…;

(2)1,-,-,….

B级关键能力提升练

9.下列四个说法:

①任何数列都有通项公式;

②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;

③给出了数列的项就可唯一确定这个数列的通项公式;

④数列{an}的通项公式可以看成关于项数n的函数解析式.

其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

10.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前30项之积为()

A.B.5

C.6D.

11.[2023广西玉林高二期末]在数列{an}中,an=n+,则|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a8-a9|的值为()

A.B.7C.D.8

12.已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是()

A.a1,a30

B.a1,a9

C.a10,a9

D.a12,a11

13.[2023云南玉溪高一期末]已知数列{an}的通项公式是an=(2n+1),则{an}中的最大项的项数是.

14.根据下列5个图形中点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.

15.已知数列{an}的通项公式为an=.

(1)依次写出数列{an}的前5项;

(2)研究数列{an}的单调性,并求数列{an}的最大项和最小项.

C级学科素养创新练

16.已知数列{an}中,an=2n+,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为()

A.[12,24]B.(12,24]

C.[3,12]D.(3,12]

5.1.1数列的概念

1.A∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列.

2.D根据分子、分母还有正负号的变化,可知an=(-1)n+1·.

3.B对于①,{1,2,3}是集合,不是数列,故选项①错误;

对于②,数列是有序的,故数列-1,0,1与数列1,0,-1是不同的数列,故选项②错误;

对于③,数列的第k-1项是,故选项③正确;

对于④,由数列的定义可知,数列中的项的序号是正整数,故选项④正确.

故选B.

4.B由题可知,该数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1),所以a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199.

故选B.

5.AD因为an=n2+n,所以n越大,an越大.

当n=3时,a3=32+3=12;当n=4时,a4=42+4=20;当n=5时,a5=52+5=30.

故选AD.

6.38a