数学教学设计的方法

教学设计与案例分析张乃达教学设计与案例分析教堂设计原那么教学设计要点概念教学：情境创设与意义建构解题教学：模式建构与运用案例教学与研究式学习一、教学设计的原那么教学设计与教学观念教学设计原那么介绍一种教学模式教学设计要点1、教学设计与教学观念教学设计集中地反映了教师的数学教学观念。数学教学观念集中地表现为数学教学的价值观和行为标准。数学教学的本质是什么？〔本体论〕数学教学的目的是什么？〔价值观〕数学教学的方法是什么？〔方法论〕〔1〕数学教学的根本目标是促进学生的开展数学的价值工具价值思维价值文化价值数学教育的价值知识能力精神品格〔观念〕数学教学活动应是学生经历“数学化〞、“再创造〞的活动过程教师不仅是教学活动的设计者、组织者，而且是学生的合作者．因势利导地帮助学生.doc创设问题情境，激活学生的思维帮助学生进行思维的监控和反思.情感上对学生给予鼓励,帮助学生树立克服困难的信心．现代数学文化的代表在教学中教师的语言、行为、思维方式、感情、价值观都会潜移默化地影响学生.〔2〕数学教学是师生双边活动的过程2。教学设计原那么结构性原那么：〔宏观设计原那么〕数学教学要突出学科的根本结构知识结构〔组织起来的数学知识〕思维结构〔知识组织的方式〕认知结构〔学习者头脑中的知识结构〕核心概念、胚胎、生长点教学内容的结构化，保持思想方法的一致性、知识结构、思维结构、根本方法、思想立体几何初步结构图.doc2。教学设计原那么过程性原那么：〔微观设计原那么〕以问题为中心，把数学教学组织为发现问题和解决问题的过程数学知识的发生开展过程和学生的数学学习过程的整合：对数学教学要充分暴露思维过程的理解；手段和目的；发现性学习和接受性学习；反思和暴露；提出问题的过程；问题解决的启示；数学知识的发生开展过程

和学生学学习过程的整合强调教学过程的思想性，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。参照科学认识的形成的过程设计概括的过程：创设问题情境开展观察、试验、类比、猜测、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设进行推理论证活动，检验假设，获得新知识。并纳入认知结构新知识应用。

3。介绍一种教学模式→回忆反思问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用提出问题体验数学感知数学建立数学理解数学应用数学数学建构的过程，教科书内容呈现的过程，课堂教学展开的模式问题情境：包括实例、情景、问题、表达等意图：提出问题学生活动：包括观察、操作、归纳、猜测、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动；意图：体验数学意义建构：包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等.意图：感知数学数学理论：包括概念定义、定理表达、模型描述、算法程序等．意图：建立数学数学运用：包括区分、解释、解决简单问题、解决复杂问题等．意图：运用数学回忆反思：包括回忆、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩〔由过程到对象〕等．意图：理解数学案例1函数的概念提出问题1：

在初中我们是如何认识函数这个概念的？(一)问题情境

教师提出本节课的研究课题：在初中，我们把函数看成是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将进一步学习有关函数的知识.(二)学生活动1．让学生就问题1略加讨论，作为讨论的一局部，教师出示教材中的三个例子，并提出问题2．2．问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？通过对问题2的讨论，帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生答复以下问题1．函数的传统定义：变量的观点(三)建构数学1.建构问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？问题4：如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点？结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应．〔概念的胚胎〕12．反思〔1〕结论是否正确地概括了上面例子的共同特征?〔2〕比较上述认识和初中函数概念是否有本质上的差异？〔3〕一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？〔4〕进一步，你能举出一些“函数〞的例子吗？它们具有上述特征吗？〔作为例子，可以讨论课本P24练习〕一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法那么f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数(function)，通常记为y＝f(x)，x∈A．其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域(domain)问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义．指出对应法那么和定义域是构成一个函数的要素．(四)数学理论函数的近代定义：集合语言、对应的观点(五)数学运用1．定义的直接应用例1．〔课本P23例1〕例2．〔课本P23例2〕2．函数确定函数的值域．例3．〔课本P23例3〕(注意把握难度)(六)总结反思1．“初中的〞函数定义和今天的定义有什么区别？2．你认为对一个函数来说，最重要的是什么？(一)问题情境1．情境：第2.1.1开头的第三个问题中，观察气温变化图2．问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？你在图象中，读到哪些信息？案例2函数的单调性θ＝f(t)，t∈[0，24]10O24681

24681012141618202224θ/0Ct/h－2●怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐步升高〞这一特征？（1）yxOy＝2x＋1，x∈Ry＝(x－1)2－1，x∈R（2）yxO-112(二)学生活动问题1：观察以下函数的图象〔如图1〕，指出图象变化的趋势问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势〞的意思吗？在某一区间内，当x的值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势当x的值增大时，函数值y反而减小图象在该区间内呈下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性．(三)建构数学问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

怎样表述在区间〔0，+〕上当x的值增大时，函数y的值也增大？反思：能不能说，由于x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增大?能不能说，由于x＝1，2，3，4，5，…时，相应地y＝3，5，7，9，…就说随着x的增大，函数值y也随着增大？如果有n个正数x1<x2<x3<······<xn，它们的函数值满足y1<y2<y3<······<yn．能不能就说在区间(0，+∞)上随着x的增大，函数值y

也随着增大?无限个呢？通过讨论，结合图(2)给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义如果对于区间(o，+∞)上任意两个值x1和x2，当x1<x2时，都有y1<y2，那么可以说随着x的增大，函数值y也增大．问题4：如何定义单调减函数？给出函数单调性和单调区间的概念

(四)数学理论函数的单调性是函数的“局部性质〞，它与区间密切相关(五)数学运用1．例题例1作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间．（1）y＝－x

2＋2；（2）提问：能不能说，函数

(x≠0)在整个定义域上是单调减函数？引导讨论，从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论．（如取x1=－1，x2=2）．例2观察以下函数的图象并指出它们是否为定义域上的增函数：〔1〕y＝(x－1)2〔2〕y=|x－1|－12．练习练习第1、第2、第5题．(六〕回忆小结本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法．二、教学设计要点教学设计就是问题设计问题情境的创设与初始问题意义建构与问题串数学教学设计就是问题的设计数学教学是数学活动的教学，从本质上说，数学活动是一种思维活动，而数学思维活动又集中的表现为提出问题和解决问题的过程。因此，从某种意义上说，数学教学设计就是问题的设计。数学教学设计的中心任务就是要设计出一个〔一组〕问题，从而把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程。让学生在解决问题的过程中“做数学〞，学数学，增长知识，开展能力。案例1函数的概念

问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念的？问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3．如何用集合的观点来理解函数的概念？问题串：教学进程的链条问题4．如何用集合的语言来阐述上面3个例子中的共同特点?(1)结论是不是正确地概括了例子的共同特征？(2)比较上述认识和初中函数概有无本质上的差异？(3)一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？(4)进一步地，你能举出一些“函数〞的例子吗？问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？问题6．你认为对一个函数来说，最重要的是什么？案例2函数的单调性问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高〞这一特征？问题1：观察以下函数的图象，指出图象变化的趋势．〔从图象中，你读到了哪些信息？〕问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势〞的意思吗？问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？能不能说，由于x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？能不能说，由于x＝1，2，3，4，5，…时，相应地y＝3，5，7，9，…就说随着x的增大，函数值y也随着增大？

如果有n个正数x1<x2<x3<······<xn，它们的函数值满足y1<y2<y3<······<yn．能不能就说在区间(0，+∞)上随着x的增大，函数值y

也随着增大?无限个呢？通过讨论，结合图〔2〕给出f(x)在区间I上是单调增函数的定义问题4：如何定义单调减函数？

如果对于区间(o，+∞)上任意两个值x1和x2，当x1<x2时，都有y1<y2，那么可以说随着x的增大，函数值y也增大．2.问题情境与初始问题教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。(课程标准)问题情境和意义建构●为什么要创设问题情境？●问题情境有什么作用？●怎样创设问题情境？●什么样的问题情境是“好〞情境？圆与方程〔黄凯〕.ppt问题〔情境〕的作用引起学生的关注，激发学生探索的欲望；开阔视野，建立数学与生活的联系；唤起学生的经验；引发数学思考引出数学问题问题背景的作用问题背景在学习中同样具有重要的作用。第一，它可以为学习活动提供动力；第二，它是深入的理解概念所不可缺少的；第三，把握住它，就可以把概念的学习活动组织成为学习者主动的积极的解决问题的活动。对发现性学习来说，概念就成为解决这类问题的成果：对接受性学习来说，它是进行深入的反思，从而在思维中建构新概念的关键课题。从某种意义上说，教师在概念教学中的主导作用就表现为对概念的学习提供总的问题背景。初始问题对问题的要求初始性结构性情境性简单而有深度应用问题和结构问题怎样设计初始问题.doc程序性问题和实质性问题问题设计〔讲稿〕.doc多方位地设置问题问题串案例分析：诱导公式角α的三角函数与-α的三角函数有什么关系？α的终边、180°+α的终边与单位圆的交点有什么关系？你能由此推出α与180°+α的三角函数的关系吗？我们可以通过查表得到锐角三角函数的值，如何求任意角的三角函数的值呢？能不能将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？由三角函数的定义知道，终边相同的角的三角函数值相等。除此以外，还有一些角的终边具有某些特殊关系，那么它们的三角函数值能有什么样的特殊关系呢？案例分析；向量的加法●向量OA、AB、OB之间有什么关系？为什么向量OB是向量OA、AB的和？OB的长度是OA、AB长度的和吗？你为什么说向量OB是向量OA、AB的和呢？什么叫做向量的和？向量怎样做加法？你是从“累计〞的意义上以位移为原型定义“和〞的概念的。但是这样的定义是不是适用于其它的向量〔既具有大小又具有方向的量〕呢？〔仿此对力进行研究〕案例分析：椭圆的标准方程课题椭圆的标准方程.ppt对教案中问题情境的评析卫星轨道贮油罐放映机上聚光灯泡的反射镜压扁了的圆●它们起了什么作用?问题情境必须引起数学的思考，引出数学问题，成为意义建构的重要环节！因为数学从本质上说，是思维活动案例分析：椭圆的标准方程问题：扁了的圆是椭圆吗？解决问题的思路：比较扁圆与椭圆的方程，进而做出判断。建立扁圆的方程；建立椭圆的方程；结论。问题情境的创设：双曲线案例分析:二分法用二分法求方程的近似11.ppt情境的作用：思维过程的类比●你能猜出方程的根吗？●不能直接猜出根，你能猜出它的范围吗？●怎么能保证根在这个范围内？〔观察图象〕应该说是保证在这个范围内有根●能把这个范围缩小吗？再缩小呢？●怎样保证在很小很小的范围内有根呢？我们需要找到一个验证的方法。问题情境要引起学生的思维活动，而不能掩盖思维过程教师要准确地把握重点，认识数学方法的实质案例分析：三角函数三角函数?的定位〔实验教材〕.ppt3.意义建构与问题串在大多数情况下，概念的产生是从观念开始的。它往往产生于一个念头、一种朴素的想法，〔例如，极限的概念就产生于“无限逼近〞的想法〕它可能是模糊的、粗糙的，但是它却是孕育新概念的“胚胎〞，它表达了概念的实质性内容，表现为对概念的直觉的、整体的理解，所以它是生动的、有价值的。在概念的学习过程中，要充分地展示出这个由观念到概念的思维过程——这就是人们学说的形式化过程。从朴素的观念到数学概念意义建构：是思维的创造人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体表达，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。〔课程标准〕从朴素的观念到形式化的数学概念从朦胧的直觉到清晰的逻辑从概略性解决到具体解决经历过程〔再发现〕感受意义〔反思领悟〕形成表象〔建构的成果〕自我表征〔初步的概括〕意义建构:数学活动中的核心环节形式化的过程,思维创造的过程,抽象的过程问题串：意义建构的逻辑链条●怎样建立椭圆的方程？“椭圆的方程〞是什么意思？直线的方程是什么意思？圆的方程是什么意思？过去我们是怎样建立圆的方程的？什么是椭圆？它的定义是什么？怎样建立坐标系？胚胎和生长点问题串突出了学科结构，即根本思想、根本方法、根本问题怎样设置问题串?●如何精确地刻画曲线上某一处的变化趋势呢？怎样找到经过曲线上某一点P处最逼近曲线的直线呢？●平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势吗？●特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的变化趋势吗？

能不能用直线代替曲线呢？怎样才能做到这一点呢？通过反思设置问题串如何精确地刻画曲线上某一处的变化趋势呢？●平均变化率能精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势吗？●特别地，平均变化率能精确地刻画直线上某一点处的变化趋势吗？能不能用直线代替曲线呢？怎样才能做到这一点呢？●怎样找到经过曲线上某一点P处最逼近曲线的直线呢？设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课，因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开，可以说，在初始问题确定以后，课的大体开展方向和框架就已经确定了——它是会按照自身的逻辑展开的．初始问题在数学教学中的作用，决不仅仅在于创设了问题情境，使学生进入‘愤“和“悱’的境界。〔当然这个作用也很重要〕更重要的是，初始问题为学生的思维活动提供了一个好的切入口，确定的一个好的方向，为学生的学习活动找到了一个载体，也为数学课找到了一个好的结构，使数学课成为解决初始问题的活动。所以，从本质地说，课堂教学设计就是问题的设计。三、案例分析概念教学要点案例分析：线面垂直的教学案例分析；数列解题教学要点案例分析：空间角的计算概念教学要点数学概念本身就是对过程的抽象数学概念的建构必须经历一个过程数学概念的学习的几个环节影响抽象的假设干因素(1)数学概念本身就是对过程的抽象可以说，绝大多数的数学概念都有两重身份：笫一，它是对数学活动过程抽象的结果；笫二，它又是数学研究的对象，是进行下一轮抽象的原型。这就是说，数学抽象是对过程的抽象，通过数学抽象，我们把一个过程定格为“概念〞，于是新概念又介入了新的思维活动之中，它既是思维的对象，又是思维的工具，当我们对新的思维过程进行抽象时，又会产生新概念。正是这样一轮又一轮的抽象使数学的抽象性到达了不可思议的高度。例子：对自然数的抽象〔递推定义，基数定义〕数学概念的建构必须经历一个过程问题情境观念（胚胎）概念1.从问题开始概念的抽象是从产生建立新概念的意识开始的。而建立新概念的意识是由解决问题的需要或审美的需要激发起来的。因此，在大多数情况下，建立概念的活动总是在问题背景下进行的。例如，自然数的概念是在数数过程中形成的；虚数的概念是在解方程的活动中产生的；非欧几何的发现是从对第五公设的追究开始的。因此，问题成为建构活动的载体。从总体上看，可以说只要问题出现了，新概念的产生就是必然的了；2.胚胎的孕育：观念的产生.数学概念的建立是有一个过程的。最初在数学家头脑出现的可能只是一个总的轮廓，一个念头，一种“心理表象〞，一个观念，一种直觉，它可能粗糙的、模糊的，远不是精确的。虽然，它还不是一种客观的社会的存在，但是作为新概念的胚胎，它已经活泼在数学家个人的思维活动之中了。应该把它的出现看成是概念建构过程中具有实质性意义的一步。3.形式化；从朴素的观念到数学概念.从概念的胚胎开展成标准化的数学概念，要经历一个形式化的过程。这在建构概念的活动中同样是十分重要的。数学概念就是通过它，才从数学家个体思维中的创造，转变为客观的存在。也正因为如此，数学概念才能成为一个观念和概念的区别观念和概念当然是有区别的。自然数的观念就是“可以一个一个数下去的数〞；函数的观念就是用一个变量刻划另一个变量。垂直的观念就是“正对着〞，斜率的观念就是“表示直线方向的量〞。和概念相比观念是粗糙的，不标准的，有待进一步抽象的。但是它却是生动的，富有思想意义的，具有实质性内容的。数学概念的学习的几个环节1．为概念的学习提供适当的问题背景；2．选择适当的抽象原型；3．注意揭示：从朴素的观念到严格的形式化的“定义〞的转换过程。从问题情境到意义建构数学概念的学习的几个环节4．注意揭示数学概念间的联系，即要在概念系统中考察概念。由于数学概念往往是“再抽象〞的结果，因此，暴露概念的抽象过程实质上就是揭示概念间的内在联系的最好方法。5．概念的建构过程是一个长期的过程，学习者对概念的理解是不断的深入的，概念的应用过程实际上是概念建构过程的重要组成局部。因此要注意在概念的应用中，加深对概念的理解。案例分析：线面垂直线面垂直的教学.doc案例分析：导数.ppt

案例分析:数列数列教案16数列.ppt6数列.ppt数列教案2数列教案3●以上三个教案有什么不同？如何对它们做出评价？●本节课的知识“生长点〞在哪里？中心问题是什么？●怎样才能使学生掌握学习〔建构〕的主动权？教案(1)的展开程序引入数列的定义数列的通项公式数列是特殊的函数数列的图象例题和练习教案(2)、(3)的展开程序1．引入2.数列的定义3．数列的一般形式4．数列的函数观点：特殊的函数5．数列的通项公式6．例子人教版旧教材的编排苏教版的编排可以看成是数列形式化的定义数列:问题串●怎样建立刻画上述问题的数学模型?●这些问题有什么共同的特点?●从数学的角度看,什么叫做〞按一定次序排列〞的数?数列3,2,5,1和数列2,3,5,1是同一个数列吗?数列能不能看成一个数的集合?●数列既然是特殊的函数它有哪些表示方法?怎样用图象表示数列?怎样用解析式表示数列?实质:不断地进行形式化案例分析：向量的数量积向量的数量积.doc反复出现的问题●什么叫做函数值越来越大？●什么叫做函数值周而复始的出现？●什么叫做“正对着“？●什么叫做〞按一定顺序排列的数“？出现的问题给学生带来了什么样的思考？反复出现的过程、程序定积分解析法程序相同的研究过程对知识结构的理解对建构过程的理解对数学方法的理解对学科的理解掌握学习活动的主动权会自己提出问题应该思考的问题教师是不是准确地把握了教材,掌握了学科结构?教师是不是认识到本节课的教学过程的实质就是〞建构〞数学模型的过程?教师是不是熟悉构建数学模型的一般程序?

我们需要重温结论2。解题教学要点解题模式的构建解题模式的应用案例分析：空间向量的应用课题空间线面关系的判定.ppt空间向量说课课件.ppt〔1〕解题模式的构建构建的过程构建数学对象，将问题量化〔法向量、导数、定积分、X2统计量等〕理清解决问题的整体思路分解问题，提炼出根本问题通过例题教学,抽象归纳出解题的一般程序比较各种解题方法的特点,加深对方法的认识(向量方法和综合法\向量方法与导数方法等)〔2〕解题模式的应用正确选择解题方法把握模式的特点,适应范围把握题目特点渗透算法思想,灵活运用解题程序尝试猜测,探索解题思路灵活变换问题,提高分析能力积累经验,反思提高〔3〕案例分析：空间向量的应用如何用向量刻画平面的方向直线方向向量和平面法向量法向量是对平面方向的数量刻画通过例题解决求平面向量的根本问题空间线面关系的判定线面间的位置关系转换为向量间的数学关系解决了有关线面关系的证明问题用向量方法证明了重要定理体会用向量方法解决问题的优越性空间角的计算确立用向量方法求角的指导思想注意对向量方法和综合法的比较通过例题建立用向量方法的一般程序用向量求二面角问题的思路角的计算转换为向量的运算通过