四川省达州市渠县中学2023-2024学年九年级上学期期中数学测试题

四川省达州市渠县中学2023-2024学年九年级数学上学期期中数学测试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1．下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2.一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（）A. B. C. D.3.已知关于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一个根为2，则另一根是（）A.4 B.1 C.2 D.－24．如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则（）第4题图第5题图第7题图A． B． C．4 D．5.如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若，，则的度数为（）A.147° B.40° C.97° D.43°6.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A.200（﹣1） B.100（﹣1） C.100（3﹣） D.50（﹣1）7.如图，在平面直角坐标系xoy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（）A.（0，-2） B.（0，-1.5） C.（0，-1） D.（-2，0）8.如图①,有一张长32cm,宽16cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130cm2,则纸盒的高为()

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2第8题图第9题图第10题图10.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(3，4)，线段CD=6，B为CD的中点.点C在y轴上滑滑动，当线段AB长为最小值时点D的坐标是（）A．(1.2,0) B．(1.8,0) C．(3.6,0) D．(4,0)第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题4分，共20分）．11.如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发光的概率为______．12.分解因式：9x3﹣18x2+9x=________.

13.如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________．第11题图第13题图第15题图14．一元二次方程x²-6x+8=0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，该等腰三角形的周长为______．15.如图，正方形ABCD的边长为6，若，四边形EFCG为正方形，则DG=______．三、解答题（共10小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．16.（8分）解方程：（1）（2）17.（8分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解.18.（9分）已知，且．（1）求k的值；（4分）（2）若x1，x2是方程的两根，求的值．（5分）19.（7分）小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；（3分）（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．（4分）20.（本题满分8分）已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（4分）（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．（4分）21.（8分）周末小朱和爸爸参观了四川省渠县中学新校区，整个校园设计风格多元化，外观简洁素雅，内部装潢高端大气.教室的窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进教室里，爱学习的小朱一直想知道这个路灯的准确高度．在学了相似三角形的知识后，他意识到自己可以解决这个问题了.如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小朱测得窗户距离地面高度BF=0.7m，窗高BC=1.4m，某一时刻，FD=0.7m，DE=2.1m，请你根据小朱测得的数据，求出路灯的高度OA．22．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．(1)求证：；（4分）(2)如果BE2=AB•EF，求证：∠ECF=∠BAE．（6分）23.（9分）某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元.（1）购进A、B两种商品每件各需多少元；（4分）（2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元.（5分）24.（11分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动.连接BP、CP，设运动时间为t秒.⑴点D的坐标为；（3分）⑵当CP⊥OD时，求直线CP的表达式；（4分）⑶在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似.若存在,请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.（4分）25.（12分）（1）发现：如图①所示，在正方形中，点分别是上的两点，连接．求的值；（2）探究：如图②．在矩形中，为边上一点，且．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长；（3）拓展：如图③，在菱形中，为边上的一点且，△ADE沿翻折得到与交于H且，直线交直线于点，求的长．四川省达州市渠县中学2023-2024学年九年级数学上学期期中数学测试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列命题是真命题的是（C）A．对角线相等的四边形是矩形 B．平行四边形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2.一个布袋里装有5个球，其中3个红球，2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是（D）A. B. C. D.3.已知关于x的一元二次方程x2－kx－4＝0的一个根为2，则另一根是（D）A.4 B.1 C.2 D.－24．如图，直线，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则（D）第4题图第5题图第7题图A． B． C．4 D．5.如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于点G，H，若，，则的度数为（D）A.147° B.40° C.97° D.43°6.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（B）A.200（﹣1） B.100（﹣1） C.100（3﹣） D.50（﹣1）7.如图，在平面直角坐标系xoy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（C）A.（0，-2） B.（0，-1.5） C.（0，-1） D.（-2，0）8.如图①,有一张长32cm,宽16cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130cm2,则纸盒的高为(C)

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（C）A．5 B．4 C．3 D．2第8题图第9题图第10题图10.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(3，4)，线段CD=6，B为CD的中点.点C在y轴上滑滑动，当线段AB长为最小值时点D的坐标是（C）A．(1.2,0) B．(1.8,0) C．(3.6,0) D．(4,0)第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题4分，共20分）11.如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发光的概率为___23___．12.分解因式：9x3﹣18x2+9x=9x(x-1)2.

13.如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为____2:1_____．第11题图第13题图第15题图14．一元二次方程x²-6x+8=0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，该等腰三角形的周长为__10____．15.如图，正方形ABCD的边长为6，若，四边形EFCG为正方形，则DG=___5___．三、解答题（共10小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．16.（8分）解方程：（1）（2）解：移项得：（2x+3）2-4（2x+3）=0解：移项得：x2-4x=2因式分解得：（2x+3）（2x+3-4）=0配方得：（x-2）2=2∴2x+3=0或2x+3-4=0∴x-2=±2∴x1=-32，x2=12∴x1=2+2，x2=17.（8分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解.解不等式组的解集为-1<x<3∵x为整数且x≠0，±1∴x=2=4x-4∴原式=4×2-4=418.（9分）已知，且．（1）求k的值；（4分）（2）若x1，x2是方程的两根，求的值．（5分）解：（1）∵ab=cd∴a=3b，c=3d，e=3f ∴k=a(2)∵x1，x2是方程x2-3x+k-2=0的两根.∴x1+x2=3，x1.x2=k-2∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1.x2=32-2(k-2)=9-2k+4=13-2k=13-2×3=719.（7分）小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；（3分）（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．（4分）解：（1）根据题意，列表如下：由上表可知，两张牌数字的和的所有可能出现的结果共有16种等可能结果.（2）不公平，理由如下：上表中16种结果出现的可能性相同,而和为偶数的结果共有6种，和为奇数的结果共有10种.∴小莉去的概率为616=∵3∴游戏规则不公平.游戏规则可修改为:数字5和数字4对调.两人去的概率相同.（答案不唯一）20.（本题满分8分）已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（4分）（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．（4分）解：(1)证明：∵AB=BC,BO平分∠ABC

∴BD⊥AC,

AO=CO

∵BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

∵BD⊥AC

∴四边形ABCD是菱形

(2)∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD,

AC平分∠BAD,

∴∠ABD=∠CBD,

∴∠BOC=∠AOB=90°

∵∠BAD=60°

∴∠BAC=12∠BAD=30°

∵∴BO=DO=12AB=1,即BD=1+1=2,

∵∠AOB=90°,∠BAC=30°

∴∠ABO=60°

∴∠DBC=∠ABD=60°

∵DE⊥BD,

∴∠BDE=90°

∴∠E=30°

∴BE=2BD=4

由勾股定理得：

DE=BE2-BD21.（8分）周末小朱和爸爸参观了四川省渠县中学新校区，整个校园设计风格多元化，外观简洁素雅，内部装潢高端大气.教室的窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进教室里，爱学习的小朱一直想知道这个路灯的准确高度．在学了相似三角形的知识后，他意识到自己可以解决这个问题了.如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为DE，小朱测得窗户距离地面高度BF=0.7m，窗高BC=1.4m，某一时刻，FD=0.7m，DE=2.1m，请你根据小朱测得的数据，求出路灯的高度OA．解：∵AO⊥OE,CF⊥OE∴CF||AO∴△BDF∽△ADO，△CEF∽△AEO∴BFAO=FD0∴0.7解得：AO=OD=6.3答：路灯OA的高度是6.3米.22．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF．(1)求证：；（4分）(2)如果BE2=AB•EF，求证：∠ECF=∠BAE．（6分）证明：(1)∵AE||CD,

∴∠AEB=∠DCE

∴DE||AB,

∴∠ABE=∠DEC,

∠BAF=∠AED,

∵∠ABC=∠BCD,

∴∠ABE=∠AEB,∠DCE=∠DEC

∵AB=AE,DE=DC,

∴AF||CD,

AD||CF,

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AF=CD,

∴AF=DE,

在△ABF和△EAD中，AB=AE，∠BAF=∠AED，AF=DE

∴△ABF≌△EAD(SAS);

(2)BE²=AB.EF,

AB=AE,

∴BEAE又∵∠AEB=∠BEF,

∴ΔEBF∽ΔEAB,

∴∠FBE=∠BAE,

由(1)得△ABF≌△EAD

∴BF=AD,

在平行四边形AFCD中，AD=CF,

BF=CF,

∴∠FBE=∠ECF

∴∠ECF=∠BAE.23.（9分）某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件，B种商品3件，共需450元；若购进A种商品10件，B种商品8件，共需1000元.（1）购进A、B两种商品每件各需多少元；（4分）（2）该商店购进足够多的A、B两种商品，在销售中发现，A种商品售价为每件80元，每天可销售100件，现在决定对A种商品在每件80元的基础上降价销售，每件每降价1元，多售出20件，该商店对A种商品降价销售后每天销量超过200件；B种商品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售A、B两种商品每天总获利为10000元，A种商品每件降价多少元.（5分）解：（1）设购进A商品每一件需要x元，B商品每一件需要y元，由题意得：5x解得：x答：购进A、B两种商品每件各需要60元，50元.（2）设A商品每件降价z元，由题意得：100解得m>5，m2-15m+50=0所以：m1=10,m2=5(不符合题意，舍去）答：A种商品每件降价10元.24.（11分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A坐标为（0，3），顶点C坐标为（8，0），直线交AB于点D，点P从O点出发，沿射线OD方向以每秒a个单位长度的速度移动，同时点Q从C点出发沿x轴向原点O方向以每秒1个单位长度的速度移动，当点Q到达点O时，点P停止移动.连接BP、CP，设运动时间为t秒.⑴点D的坐标为（4,3）；（3分）⑵当CP⊥OD时，求直线CP的表达式；（4分）⑶在点P、Q在运动的过程中，是否存在以点O、P、Q为顶点的三角形与△BCQ相似.若存在,请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.（4分）解法一：（2）解：设直线CP的表达式y=kx+b∵CP⊥直线y=3∴k=—4又∵直线CP过点C（8.0）∴8k+b=0∴8×（-43）∴b=32∴直线CP的表达式y=-43x解法二：（2）解：过点P作PE⊥OC于点E∵A（0,3）D（4,3）C（8,0）∴OA=3，AD=4，OC=8易证：△AOD∽△PCO∴OAAD=∴CP设CP=3x,PO=4x由勾股定理：PO2+CP2=OC2，即(4x)2+(3x)2=82∴x=8∴PO=325,CP=由弦高公式得：PO.CP=OC.PE，即325×24∴PE=96∵PE0E∴0E=128∴P点坐标（12825，96设直线CP的表达式y=kx+b，组成方程组为8解得k=-43，b=∴直线CP的表达式y=-43x解法三：（2）解：过点P作PE⊥OC于点E∵A（0,3）D（4,3）C（8,0）∴OA=3,AD=4，OC=8由勾股定理：OA2+AD2=OD2，即32+42=OD2∴OD=5易证：△AOD∽△PCO∴ODCO=AD∴OP=32由射影定理得：OP2=OE.OC,即(325)2=OE×8∴CE=OC-OE=8-12825=由射影定理得：PE2=OE.CE,即PE2=12825×7225得∴P点坐标（12825，96设直线CP的表达式y=kx+b，组成方程组为8解得k=