湖北省恩施一中、利川一中等四校2023-2024学年高二上数学期末达标检测试题含解析

湖北省恩施一中、利川一中等四校2023-2024学年高二上数学期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设异面直线、的方向向量分别为，，则异面直线与所成角的大小为（）A. B.C. D.2．已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（）A.36个 B.30个C.25个 D.20个4．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知、，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.6．已知则是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B.C. D.8．在正方体中中，，若点P在侧面（不含边界）内运动，，且点P到底面的距离为3，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形10．已知数列{}满足，且，若，则＝（）A.－8 B.－11C.8 D.1111．如图，已知最底层正方体的棱长为a，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，依此方法一直继续下去，则所有这些正方体的体积之和将趋近于（）A. B.C. D.12．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列满足前项和，则数列的通项公式为_____________14．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是___________.①甲比乙的极差大；②乙的中位数是18；③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是21.15．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为___________16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则_________.若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：，经过的直线与抛物线C交于A，B两点（1）求的值（其中为坐标原点）；（2）设F为抛物线C的焦点，直线为抛物线C的准线，直线是抛物线C的通径所在的直线，过C上一点P（）（）作直线与抛物线相切，若直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，证明：点P在抛物线C上移动时，恒为定值，并求出此定值18．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是，的等比中项，，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，.（1）若E为劣弧的中点，求证：平面POE；（2）若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值.20．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上有唯一的零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.21．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，22．（10分）已知抛物线C：，直线l经过点，且与抛物线C交于M，N两点，其中.（1）若，且，求点M的坐标；（2）是否存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，若存在，请求出正数m，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用空间向量夹角的公式直接求解.【详解】，，，.由异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成的角为.故选：C2、A【解析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解：因为的定义域是，所以，当时，，在上为增函数.所以在上为增函数，是充分条件；反之，在上为增函数或，不是必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题.3、C【解析】根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C4、A【解析】由，结合基本不等式可得，由此可得，由此说明“”是“”的充分条件，再通过举反例说明“”不是“”的必要条件，由此确定正确选项.【详解】∵，∴（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），∴（当且仅当时等号成立），若，则，∴，所以“”是“”的充分条件，当时，，此时，∴“”不是“”的必要条件，∴“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5、B【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得，，因此，.故选：B.6、A【解析】先解不等式，再比较集合包含关系确定选项.【详解】因为，所以是的充分不必要条件，选A.【点睛】本题考查解含绝对值不等式、解一元二次不等式以及充要关系判定，考查基本分析求解能力，属基础题.7、C【解析】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性8、A【解析】如图建立空间直角坐标系，先由，且点P到底面的距离为3，确定点P的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，因为,所以平面，因为平面平面，点P在侧面（不含边界）内运动，，所以，因为点P到底面的距离为3，所以，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：A9、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.10、C【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.【详解】因为，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故选：C.11、D【解析】由已知可判断出所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，然后求和可得答案.【详解】最底层上面第一个正方体的棱长为，其体积为，上面第二个正方体的棱长为，其体积为，上面第三个正方体的棱长为，其体积为，所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，当，，所以所有这些正方体的体积之和将趋近于.故选：D.12、D【解析】用向量分别表示,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得，故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知中前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式【详解】∵数列前项和，∴当时，，又∵当时，，故，故答案为.【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键14、①③④【解析】根据茎叶图提供的数据求出相应的极差、中位数、均值、众数再判断【详解】由茎叶图，甲的极差是37－8＝29，乙的极差是23－9＝14，甲极差大，①正确；乙中位数是，②错；甲平均数是：，乙的平均数为：16.9，③正确；乙的众数是21，④正确故答案为：①③④15、【解析】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，用向量法求出侧面与底面夹角.【详解】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则，，以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，则，令，则，显然平面的法向量为所以，所以侧面与底面的夹角为故答案为：.16、①.②.【解析】第一空，直接套入“黄金椭圆”新定义即可，第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可【详解】由题，，所以如图，连接，设内切圆半径为，则，即，∴，∴，∴∴，∴故答案为：；【点睛】本题从新定义出发，第一空直接套用定义可得答案，第二空升华，需要在理解新定义的基础上，借助内切圆的相关公式求解，层层递进，是一道好题．关键点在于找到“”这一关系三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系求得.（2）求得过点的抛物线的切线方程，由此求得两点的坐标，通过化简来证得为定值，并求得定值.【小问1详解】依题意可知直线的斜率不为零，设直线的方程为，设，，消去并化简得，所以，所以.小问2详解】抛物线方程为，焦点坐标为，准线，通径所在直线，在抛物线上，且，所以过点的抛物线的切线的斜率存在且不为零，设过点的切线方程为，由消去并化简得，，将代入上式并化简得，解得，所以切线方程为，令得，令得，，将代入上式并化简得，所以为定值，且定值为.18、（1）（2）【解析】（1）根据是，的等比中项，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：因为是，的等比中项，且，，所以，解得，，所以；【小问2详解】由（1）得，所以，则，两式相减得，，，所以.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）推导出平面，，，由此能证明平面（2）推导出，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小问1详解】证明：为圆锥的高，平面，又平面，，为劣弧的中点，，，平面，平面【小问2详解】解：解：为劣弧的三等分点（靠近点，为底面圆的直径，为圆上一点，并且，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.【小问1详解】当时，，则，故，，则曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】（ⅰ）因为，故可得，因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；当时，若在有一个零点，即在有一个零点，也即在有一个零点，又，则单调递增，则只需，解得.综上所述，若在区间上有唯一的零点，则；（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，则，也即，则，令，则，又在都是单调增函数，故是单调增函数，又，故，则在单调递增，则，故，即证.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点以及最值；处理问题的关键是合理转化函数零点问题，以及充分利用零点存在定理，熟练掌握构造函数法，属综合困难题.21、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2