基于正态分布的相邻交叉口交通流建模与仿真

基于正态分布的相邻交叉口交通流建模与仿真

与公路，尤其是高速公路的连续交通流不同，城市交通交通流属于间歇性交通流。由于信号交叉口在红色信号期间的压缩和切割，离开交叉口的车流被分成几个团队，并以组的形式分发给不同的车辆。同时，不同的车辆行驶条件和特点使每辆车的行驶速度不同，通常前面的车辆更快，后面的车辆更慢。随着车辆向下游移动的过程，车队越多，“分散现象”的现象越来越大。这种现象对相邻交叉口的信号控制系统非常重要，但色散现象也非常复杂。现有车队离散模型主要分为Robertson流量模型和Pacey密度模型.Pacey针对车队离散问题提出了车速分布的正态分布模型.Grace等提出了基于Pacey正态分布模型的描述车队密度变化的离散模型.Robertson依据Hillier等所收集的数据,提出了一种使用离散迭代技术的经验车队离散模型.该模型已广泛应用在TRANSYT、SCOOT、SATURN和TRAFLO等交通仿真模型及控制系统中.Seddon通过改写Robertson模型,发现此模型是基于流量服从几何分布这一假设的.文献利用上海城市道路上的实测数据对Grace的车辆密度模型进行了研究,提出了交通启动波时间损失矫正,并分析了模型在信号协调控制中的车队截尾问题.全永燊等通过调查北京市典型道路的车流运动过程,研究了我国城市道路交通流的离散规律及其影响因素,并通过交通模拟提出了适合我国交通特点的Robertson车队离散模型的离散系数.王殿海等采用多点摄像法对长春市的2个路段交通流进行了实地调查,对车辆行驶速度及行驶时间分布进行了拟合,分析了各离散模型的适用范围,提出了一种描述车辆行驶时间的、基于无变换正态分布的车队离散模型,发现该模型比Pacey模型更符合实测数据.我国大城市主道路公交车流量普遍较大,公交车行驶的交通流环境主要分混合交通流、公交专用道和快速公交系统(BRT).目前,有关公交车队的离散规律未见报道.因此,有必要研究适合我国国情的公交车队离散模型,特别是混合车流中公交车流量较大情况下的公交车队离散模型,为信号协调控制及公交优先控制提供理论基础.文中以城市路段和公交车、小汽车混合运行交通流为研究对象,根据公交车辆的运行特性,引入公交停靠站延误参数,通过交通试验的设计和数据处理分析,利用截断正态分布模型研究了公交车队的离散规律,给出了该模型在相邻交叉口间有一个停靠站的信号灯协调控制中的应用,以验证该模型的有效性.1公共汽车公司的解体模型1.1[vm,vf]的正态分布取值我国大城市公交车与小汽车混合行驶现象较为明显,公交车的机动性和运行速度均远不如小汽车.同时,公交车的运行速度受乘客上下车及时刻表到达准时性要求的影响.从图1可以看出,公交车队具有明显的车速分布区间,因此,Pacey模型中车速服从负无穷大到正无穷大的正态分布的假设明显不适用于公交车队.文中将公交车速的正态分布的取值区间修正为[vm,vf],其中vm和vf分别为最小速度和自由流速度,则其相应的概率密度函数修正为f′(v)={c1√2σe-0.5(v-μσ)2,vm≤v≤vf0‚其他(1)式中,μ和σ分别为速度均值和速度标准差,参数c保证f′(v)在区间[vm,vf]的累积概率为1.在区间[vm,vf]上,因为F′(v)=c[F(v)-F(vm)],所以有c-1=F(vm≤v≤vf)=ϕ(vf/σ-μ/σ)-ϕ(vm/σ-μ/σ),可依照正态分布计算得到c.f′(v)的截断正态分布函数F′(v)可按如下3种情况进行计算:1)当v<vm时,F′(v)=∫v-∞f′(u)du=0;2)当vm≤v≤vf时,F′(v)=∫v-∞f′(u)du=∫vvmf′(u)du=c∫v-∞1√2σe-0.5(u-μσ)2du-∫vm-∞1√2σe-0.5(u-μσ)2du=c[F(v)-F(vm)];3)当v>vf时,F′(v)=∫vvmf′(u)du=∫vfvmf′(u)du=c[F(vf)-F(vm)]=1.1.2u3000停靠站模型假设上游交叉口的绿灯开始时刻和停车线断面位置分别为t=0和x=0,则排队车辆在t=0时刻分布于停车线后断面x的密度函数k(x,0)为k(x,0)=0,x>0或x<-akj,-a≤x≤0式中,a为车队的排队长度,kj为该交叉口在排队范围内的拥挤密度.不失一般性,文中取在相邻交叉口间有一个停靠站的路段(如有若干停靠站,分析方法相同)为研究对象,上游交叉口排队公交车辆在绿灯开始时刻(t=0)从它们各自的停车位置(x-vt∈[-a,0])出发,按照截断正态分布规律以不同的速度v匀速行驶一段时间t,车队头部驶过和车队尾部未驶过下游断面x(可为实际或虚拟交叉口)的车辆数分别为A(x,t)和B(x,t),可知:A(x,t)=∫tvfxk(y,t)dy(3)B(x,t)=kja-A(x,t)=∫xtvm-ak(y,t)dy(4)式中,k(y,t)为车队在t时刻分布在下游路段断面x=y处的车辆密度函数,k(x,t)=∫vfvmf′(v)k(x-vt,0)dv={0,x>tvf或x<tvm-akj∫x/t+a/tvmf′(v)dv,tvm-a≤x<tvmkj∫x/t+a/tx/tf′(v)dv,tvm≤x≤tvf-akj∫vfx/tf′(v)dv,tvf-a<x≤tvf(5)对于相邻交叉口间有停靠站的路段,公交车停靠必然会带来延误,包括进站前减速、乘客上车、出站加速,而信号控制关心的是停靠站下游的公交车队的到达规律,为此,文中引入公交车停靠站延误,将密度函数修正为k(x,t)={∫vfvmf′(v)k(x-vt,0)dv,x<ΔL∫vfvmf′(v)k(x-v(t-Δt),0)dv,x≥ΔL(6)式中,Δt为公交车平均停靠站延误时间,ΔL为上游交叉口到停靠站的距离.令u=(v-μ)/σ和离散率α=σ/μ,则∫v2v1f′(v)dv=c∫(v2-μ)/σ(v1-μ)/σ1√2[XC<圆周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=c∫(tv2/μ-t)/(αt)(tv1/μ-t)/(αt)1√2[XC<圆周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=c2[F(z)]z2(x2)z1(x1)(7)式中:z2(x2)=(x2/μ-t)/(√2αt)=(tv2/μ-t)/(√2αt);z1(x1)=(x1/μ-t)/(√2αt)=(tv1/μ-t)/(√2αt);v1和v2为常数;F(z)为标准正态分布函数,F(z)=2∫√2z012[XC<圆周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]e-0.5u2du=2[XC<圆周率1.EΡS>,JΖ;Ρ]∫0ze-u2du.令zm1=(tvm/μ-t)/(2αt),zm2=(tvm/μ+a/μ-t)/(2αt),zf1=(tvf/μ-a/μ-t)/(2αt),zf2=(tvf/μ-t)/(2αt),zx1=(x/μ-t)/(2αt),zx2=(x/μ+a/μ-t)/(2αt),根据式(6)和(7),推导出k(x,t)的计算公式为k(x,t)={0,x>tvf或x<tvm-ackj2[F(z)]zm1zx2,tvm-a≤x<tvmckj2[F(z)]zx1zx2,tvm≤x≤tvf-ackj2[F(z)]zx1zf2,tvf-a<x≤tvf(8)令G(z)=∫F(z)dz=zF(z)+(1/)exp(-z2),根据式(8)可计算车队在路段[x1,x2]上分布的车辆数:∫x1x2k(y,t)dy=ckj2∫x1x2[F(z2(y))-F(z1(y))]dy=2ckjμαt2∫z2(x1)z2(x2)F(y)dy-∫z1(x1)z1(x2)F(y)dy=2ckjμαt2[G(z)]z2(x2)z2(x1)-[G(z)]z1(x2)z1(x1)(9)根据式(8)和(9),A(x,t)和B(x,t)可分如下5种情况进行计算:1)当x>tvf时,A(x,t)=0,B(x,t)=∫tvmtvm-ak(y,t)dy+∫tvf-atvmk(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2)-ckj2aF(zm1);2)当tvf-a<x≤tvf时,A(x,t)=∫xtvfk(y,t)dy=ckj2(tvf-x)F(zf2)-2ckjμαt2[G(z)]zx1zf2,B(x,t)=∫tvm-atvmk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫xtvf-ak(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zx1zf1-ckj2aF(zm1)+ckj2(x-tvf+a)F(zf2);3)当tvm≤x≤tvf-a时,A(x,t)=∫tvf-axk(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zf2zx2-[G(z)]zf1zx1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2),B(x,t)=∫tvm-atvmk(y,t)dy+∫xtvmk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zx2zm2-[G(z)]zx1zm1-ckj2aF(zm1);4)当tvm-a≤x<tvm时,A(x,t)=∫tvmxk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zx2+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1-ckj2(tvm-x)F(zm1)+ckj2aF(zf2),B(x,t)=∫xtvm-ak(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm1zx2-ckj2(x-tvm+a)F(zm1);5)当x<tvm-a时,A(x,t)=∫tvmtvm-ak(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy=2ckjμαt2[G(z)]zm2zm1+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+ckj2aF(zf2)-ckj2aF(zm1),B(x,t)=0.在t时刻通过下游位置x的流量模式函数为q(x,t)=A(x,t)/t=-B(x,t)/t,可根据式(8)和(9)进行计算:1)当x>tvf时,q(x,t)=0;2)当tvf-a<x≤tvf时,q(x,t)=(∫xtvfk(y,t)dy)t=ckjvf2F(zf2)-2ckjμα2[G(z)]zx1zf2-cxkjt-12F(zx1);3)当tvm≤x≤tvf-a时,q(x,t)=(∫xtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy)t=2ckjμα2[G(z)]zf2zx2-[G(z)]zf1zx1-[G(z)]zf2zf1+ckjt-12[(x+a)F(zx2)-xF(zx1)];4)当tvm-a≤x<tvm时,q(x,t)=(∫xtvmk(y,t)dy+∫tvmtvf-ak(y,t)dy+∫tvf-atvfk(y,t)dy)t=2ckjμα2[G(z)]zm2zx2+[G(z)]zf2zm2-[G(z)]zf1zm1-[G(z)]zf2zf1+c(x+a)kjt-12F(zx2)-ckjvm2F(zm1);5)当x<tvm-a时,q(x,t)=0.若x取值为上下游交叉口(可为虚拟交叉口)的停车线位置,则可以定量分析上游交叉口的整个公交车队在绿灯开始后的离散规律,以及它是如何影响下游交叉口绿灯开启时间的设置的,据此还可以计算公交车队在交叉口的延误、停车次数及排队长度等重要交通流参数,为信号协调及公交优先控制提供依据.2初始信息获取为了获取模型参数,笔者在广州市五山路选择了双向四车道(单向二车道)公交车和社会车辆混合运行路段开展交通试验调查,所调查路段有14条公交线路,高峰期公交车流量占总流量的20%.通过拍摄车辆牌照获取车辆在路段中的平均行程时间,经转换后可得到平均行程速度.获取的该路段的初始信息如表1和图1(a)所示.将该路段分为上段和下段,在上段的中游有一个公交停靠站,所获取的上段公交车行程时间包括站点停靠站时间和车辆减速加速时间;L为路段长度;N为样本数量.为了得到公交车的平均延误时间及上段的公交车行驶速度,根据上段与下段道路条件的相似性,利用下段的平均行驶速度来估计上段的平均行驶速度,并用下段的车速范围衡量上段的合理车速范围,从而得到上段每辆公交车的行驶速度,再经数据拟合得到上段的公交车数据如下:最小速度为26.6km/h、自由流速度为49.7km/h、速度均值为38.9km/h、速度标准差为6.21km/h、停站延误25s,所得公交车速分布如图1(b)所示.3公交车公司的分散特征分析3.1tvm-a/tvf密度分布函数k(x,t)是车队离散规律分析的基础,分析k(x,t)的变化规律对信号协调及公交优先控制应用中下游交叉口的绿灯时间设置具有价值.一般情况下,如果设下游交叉口的绿灯时间为t0=xd/μ,即上游车队车辆以平均速度行驶至下游交叉口时下游交叉口绿灯时间开始,则当xd=ΔL时,文中模型的公交车队于时间点t=ΔL/vf-10、ΔL/vf、ΔL/μ及(ΔL+a)/vm+Δt在下游断面x上的密度分布如图2所示.从图2可知:①在上游绿灯开始初期,即t∈[0,ΔL/vf)时,车队分布在路段[tvm-a,tvf]上,其头部的车辆还未抵达下游交叉口断面x=xd,tvf<xd,k(xd,t)=0;当车队行驶一段时间,即t∈[ΔL/vf,(ΔL+a)/vm+Δt)时,开始有车辆通过下游交叉口断面x=xd,tvm-a≤xd≤tvf,k(xd,t)≠0;再经过一段时间,即t∈[(ΔL+a)/vm+Δt,+∞)时,车队尾部的车辆已全部通过下游交叉口断面x=xd,tvm-a>xd,且k(xd,t)=0.②在t时刻,整个公交车队的车辆以不同速度v分布在下游路段x(x∈[tvm-a,tvf])上,因为车速密度函数服从截断正态分布,所以车速在均值附近的车辆数较多,在速度较大及较小的两端车辆数较少,车队在该路段中间部分的k(x,t)较大,在路段两端的k(x,t)逐渐减小.随着时间的推移,整个车队在路段[tvm-a,tvf]上的分布越离散,公交车队密度函数k(x,t)的峰值越小.3.2车辆通过下游455.2.2如果初始下游交叉口的绿灯开始时间设置为t0=xd/μ,即假设车队以平均速度行驶至下游交叉口时绿灯启动,因为车队头部车辆的行驶速度大于μ,所以下游交叉口的绿灯开始时间必须比t0提前一定时间th才能让车队头部的车辆通过交叉口,即在t=t0-th时刻整个车队通过下游交叉口x=xd的车辆数为A(xd,t0-th).根据式(3)计算文中模型的A(xd,t0-th),结果如表2所示.随着下游交叉口与上游交叉口之间距离xd的增大,车队头部通过断面xd的车辆车速的取值范围[μ+a/t0,vf]逐渐变大,导致A(xd,t0)变大,即需要更多的提前时间th才能允许车队头部的车辆通过下游交叉口.一般情况,假设下游交叉口绿灯终止时间为t0=xd/μ.根据车队离散模型,因为车队尾部车辆的行驶速度均小于μ,所以该交叉口的绿灯终止时间必须延长一定时间tt以让车队尾部的车辆尽可能驶过,即在t=tt+t0时刻整个车队在下游交叉口x=xd处被截住的车辆数为B(xd,tt+t0).根据式(4)计算文中模型的B(xd,tt+t0),结果如表3所示.随着下游交叉口与上游交叉口之间距离xd的增大,B(xd,t0)逐渐变小,因此,需要更多的后延时间tt才能让车队尾部的车辆尽可能通过下游交叉口.3.3基于q0,t的模式一般情况下,下游交叉口的计划绿灯开始时间设置为t0=xd/μ.对于不同的x,计算上游交叉口的车队车辆在t