《简单计数问题》教学设计(部级优课)-数学教案

简单计数问题：容斥原理【教材分析】本节课是有限集合中元素个数的计算，本质是容斥原理的应用.在计数类问题中，容斥原理与排列组合、构造数列、构造对应关系等是常用的几种方法.【课型】新授课【教学目标】1、通过排列组合基础知识的学习，掌握有关计数办法，知道容斥原理的基本形式.2、通过韦恩图了解容斥原理的二元和三元形式，培养学生数形结合思想的应用.3、了解并知道容斥原理的一般表达形式，会在实际应用中解答相关问题.【教学重点】容斥原理的二元和三元形式.【教学难点】容斥原理在复杂计数问题中应用.【教学过程】一、新课引入问题1：集合A和集合B分别有3和4个元素，试问集合有几个元素？问题2：在正整数1,2,3，，500中，能被2或3或5整除的数有几个？请带着上述问题，阅读必修I课本第13-14页.二、知识讲授1.有限集合元素个数的记法：若集合A的元素个数是有限个，则A中元素个数记为，也可以记为.2.容斥原理：（1）若有限集合A,B,C，则：;.（2）设为有限集，则:3.典型例题例1.在正整数1-500中，能被2或3或5整除的数有几个？解：令正整数1-500中，能被2或3或5整除的数的集合分别为A,B,C.则,所以=250+166+100-83-50-33+16=366即在正整数1-500中，能被2或3或5整除的数有366个.例2.有3个红球，3个黄球，3个蓝球，同色球不加区别，现将这9个球排成一行，要求同色球不全相邻，有多少个不同的排法？解：用S表示这9个球排成一行的全排列的集合，A,B,C分别表示S中3个红球，3个黄球，3个蓝球排在一起的全排列的集合.则：即同色求不全相邻的排法有1314种.例3.将与105互质的所有正整数从小到大排成一个数列，求这个数列的第1000项.解：设则S中与105互质的正整数的个数为：记所有与105互质的数记为数列.例4．（错排问题）设集合的一个排列满足，则这样的排列为的一个错位排列.求的所有错位排列的个数.解：将集合的所有排列记为S.当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；当n=5时，注：本题就是错装信封问题，雅各布伯努利与柯西分别独立解答了这个问题。其中雅各布伯努利的解答是利用容斥原理，欧拉的解答是构造数列，你敢尝试吗？他们两人都是伟大的数学家，具体简介见阅读材料。4.课堂练习（1）某校足球队有38人，篮球队有15人，排球队有20人.3个队队员总数为58人，且只有4个人同时参加3个队，则同时参加两个队的队员有人.（2）不超过120的素数有个.（3）六个字母a,b,c,d,e,f的全排列中，不出现ace和df的排列数有个.（4）求由9个字母的全排列中，只有四个字母不在原来位置的排列数.答案答案（1）19（2）30（3）582（4）1134阅读材料：错装信封问题的典故雅各布伯努利瑞士的伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。老尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞尔，受过良好教育，曾在当地政府和司法部门任高级职务。他有3个有成就的儿子。其中长子雅各布1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授，直至1705年8月16日逝世。1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。欧拉欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1766年他又回到了圣彼得堡。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外，他的全集有74卷。

欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。如他引入了Γ函数和B函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过。可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指导．。这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更