河南省南阳市南阳市第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末联考试题含解析

河南省南阳市南阳市第一中学2023-2024学年高二数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为A. B.C. D.2．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.23．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C D.4．在区间内随机取一个数则该数满足的概率为（）A. B.C. D.5．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B.C. D.6．已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.7．下列命题中，正确的是（）A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a<bC.若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D.若，则a<b8．若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）10．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.11．设，“命题”是“命题”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为A.3 B.4C.7 D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.14．在2021件产品中有10件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是______.15．抛物线（）上的一点到其焦点F的距离______.16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的上焦点和右顶点，则椭圆的方程是________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小18．（12分）已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长19．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.20．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在C上（1）求p的值及F的坐标；（2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求21．（12分）已知函数的图象在点处的切线与直线平行（是自然对数的底数）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）如图，在三棱锥中，，点为线段上的点.（1）若平面，试确定点的位置，并说明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】利用2f(x)<x＋1构造函数g(x)＝2f(x)－x－1，进而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的单调性结合g(1)＝0即可解出【详解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)单调增函数因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故选B.【点睛】本题主要考察导数的运算以及构造函数利用其单调性解不等式．属于中档题2、A【解析】根据正态曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意，正态曲线的对称轴为，则与关于对称轴对称，于是.故选：A.3、C【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.4、C【解析】求解不等式，利用几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】求解不等式可得：，由几何概型的概率计算公式可得：在区间内随机取一个数则该数满足的概率为.故选：.5、A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6、A【解析】根据给定直线设出点P的坐标，再借助列出关于的不等式，然后由不等式有解即可计算作答.【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有，而，因此，，即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解，从而有，解得，所以实数m的取值范围是.故选：A7、D【解析】运用不等式性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.故选：D8、C【解析】利用函数在上单调递减即可求解.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以若，，则；反之若，，则.所以若，则“”是“”的充要条件，故选：C.9、A【解析】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；【详解】，故选：A10、D【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.11、A【解析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果.【详解】由，则或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命题是命题充分且不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.12、A【解析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、160【解析】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为，∴此样本中男生人数为，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题14、【解析】设抽到的次品的个数为，则，求出对应的概率即得解.【详解】解：设抽到的次品的个数为，则，所以所以抽到次品个数的数学期望的值是故答案为：15、【解析】将点坐标代入方程中可求得抛物线的方程，从而可得到焦点坐标，进而可求出【详解】解：为抛物线上一点，即有，，抛物线的方程为，焦点为，即有.故答案为：5.16、【解析】设过点的圆的切线为，分类讨论求得直线分别与圆的切线，求得直线的方程，从而得到直线与轴、轴的交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，进而求得椭圆的方程.【详解】设过点的圆的切线分别为，即，当直线与轴垂直时，不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点；当直线与轴不垂直时，原点到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，此时直线与圆相切于点，因此，直线的斜率为，直线的方程为，所以直线交轴交于点，交于轴于点，椭圆的右焦点为，上顶点为，所以，可得，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】(1)取中点连接，连接，证得四边形为平行四边形，，再证面，即可得到证明结果；（2）建立空间坐标系，求面和面的法向量，即可得到两个面的二面角的余弦值，进而得到二面角大小.【小问1详解】如上图，取中点连接，连接，均为线段中点，且，又G是的中点，且且四边形为平行四边形为等腰直角三角形，为斜边中点，面，面面又面.【小问2详解】建立如图坐标系，设面的法向量为设面的法向量为两个法向量的夹角余弦值为：，由图知两个面的二面角为钝角，故夹角为.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，∴椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，可设直线，即，由直线与曲线相切可得，解得，联立，得，则，，∴.19、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20、（1），（2）4【解析】（1）将M坐标代入方程即可；（2）联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标，再利用焦半径公式求出即可.【小问1详解】将代入，得，解得，所以【小问2详解】由（1）得抛物线方程为，直线l的方程为，联立消y得，解得或，因为A在第一象限，所以，所以，，所以21、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，根据题意结合导数的几何意义列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，从而，令，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围【小问1详解】解：，因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，解得；【小问2详解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，则，当时，；当时，，函数在上单调递减，有上单调递增，，，即实数的取值范围是22、（1）点为MC的中点，理由见解析；（2）【解析】（1