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文档简介
广西南宁市三中2024届数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若直线与直线平行,则()A. B.C. D.2.设R,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知等差数列,若,,则()A.1 B.C. D.34.如图,,是平面上两点,且,图中的一系列圆是圆心分别为,的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,A,B,C,D,E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以,为焦点的椭圆M上,则()A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上5.已知,,,其中,,,则()A. B.C. D.6.已知直线,,,则m值为()A. B.C.3 D.107.若曲线表示圆,则m的取值范围是()A. B.C. D.8.已知曲线,则曲线W上的点到原点距离的最小值是()A. B.C. D.9.“”是“直线与直线互相垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一,他从几何问题出发,引进微积分概念.在研究切线时认识到,求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,以及当此差值变成无限小时它们的比值,这也正是导数的几何意义.设是函数f(x)的导函数,若,对,且.总有,则下列选项正确的是()A. B.C. D.11.某校开学“迎新”活动中要把3名男生,2名女生安排在5个岗位,每人安排一个岗位,每个岗位安排一人,其中甲岗位不能安排女生,则安排方法的种数为()A.72 B.56C.48 D.3612.已知等比数列的前项和为,首项为,公比为,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在四棱锥中,O是AD边中点,底面ABCD..在底面ABCD中,,,,.(1)求证:平面POC;(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.14.已知正数、满足,则的最大值为__________15.已知双曲线:,,是其左右焦点.圆:,点为双曲线右支上的动点,点为圆上的动点,则的最小值是________.16.曲线的一条切线的斜率为,该切线的方程为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某中学共有名学生,其中高一年级有名学生,为了解学生的睡眠情况,用分层抽样的方法,在三个年级中抽取了名学生,依据每名学生的睡眠时间(单位:小时),绘制出了如图所示的频率分布直方图.(1)求样本中高一年级学生的人数及图中的值;(2)估计样本数据的中位数(保留两位小数);(3)估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.18.(12分)若存在常数,使得对任意,,均有,则称为有界集合,同时称为集合的上界.(1)设,,试判断A、B是否为有界集合,并说明理由;(2)已知常数,若函数为有界集合,求集合的上界最小值.19.(12分)芯片作为在集成电路上的载体,广泛应用在手机、军工、航天等多个领域,是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计,某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x(亿元)与收益y(亿元)的数据统计如下:(1)根据折线图的数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);(2)为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,.参考数据,20.(12分)已知椭圆的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为k的直线与椭圆C交于两点,O为坐标原点,若的面积为定值,判断是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,说明理由.21.(12分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,椭圆C上点M满足(1)求椭圆C的标准方程:(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P,Q两点,求线段PQ长为时直线l的方程22.(10分)△ABC的三个顶点分别为(1)求△ABC的外接圆M的方程;(2)设直线与圆M交于两点,求|PQ|的值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式,由此可解得实数的值.【详解】由于直线与直线平行,则,解得.故选:D.2、A【解析】根据不等式性质判断即可.【详解】若“”,则成立;反之,若,当,时,不一定成立.如,但.故“”是“”的充分不必要条件.故答案为:A.【点睛】本题考查充分条件、必要调价的判断,考查不等式与不等关系,属于基础题.3、C【解析】利用等差数列的通项公式进行求解.【详解】设等差数列的公差为,因为,,所以,解得.故选:C.4、C【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.【详解】因为,所以椭圆M中,因为,,,,所以D,E在椭圆M上.故选:C5、C【解析】先令函数,求导判断函数的单调性,并作出函数的图像,由函数的单调性判断,再由对称性可得.【详解】由,则,同理,,令,则,当;当,∴在上单调递减,单调递增,所以,即可得,又,,由图的对称性可知,.故选:C6、C【解析】根据两直线垂直的充要条件得到方程,解得即可;【详解】解:因为,且,所以,解得;故选:C7、C【解析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.【详解】或.故选:C.8、A【解析】化简方程,得到,求出的范围,作出曲线的图形,通过图象观察,即可得到原点距离的最小值详解】解:即为,两边平方,可得,即有,则作出曲线的图形,如下:则点与点或的距离最小,且为故选:A9、A【解析】根据直线垂直求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得,解得或1,所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选:A.10、C【解析】由,得在上单调递增,并且由的图象是向上凸,进而判断选项.【详解】由,得在上单调递增,因为,所以,故A不正确;对,,且,总有,可得函数的图象是向上凸,可用如图的图象来表示,由表示函数图象上各点处的切线的斜率,由函数图象可知,随着的增大,的图象越来越平缓,即切线的斜率越来越小,所以,故B不正确;,表示点与点连线的斜率,由图可知,所以C正确,同理,由图可知,故D不正确.故选:C11、A【解析】以位置优先法去安排即可解决.【详解】第一步:安排甲岗位,由3名男生中任选1人,有3种方法;第二步:安排余下的4个岗位,由2名女生和余下的2名男生任意安排即可,有种方法故安排方法的种数为故选:A12、D【解析】根据求解即可.【详解】因为等比数列,,所以.故选:D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由题意,证明BCOA是平行四边形,从而可得,然后根据线面平行的判断定理即可证明;(2)证明BCDO是平行四边形,从而可得,由题意,可建立以为轴建立空间直角坐标系,求出平面ABP的法向量,利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【小问1详解】证明:由题意,又,所以BCOA是平行四边形,所以,又平面POC,平面POC,所以平面POC;【小问2详解】解:,,所以BCDO是平行四边形,所以,,而,所以,以为轴建立空间直角坐标系,如图,则,设平面ABP的一个法向量为,则,取x=1,则,,所以,设直线PC与平面PAB所成角为,则,所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.14、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】,当即时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式,意在考查学生的计算能力.15、##【解析】利用双曲线定义,将的最小值问题转化为的最小值问题,然后结合图形可解.【详解】由题设知,,,,圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为:16、【解析】使用导数运算公式求得切点处的导数值,并根据导数的几何意义等于切线斜率求得切点的横坐标,进而得到切点坐标,然后利用点斜式求出切线方程即可.【详解】的导数为,设切点为,可得,解得,即有切点,则切线的方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查导数的加法运算,导数的几何意义,和求切线方程,难度不大,关键是正确的使用导数运算公式求得切点处的导数值,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)样本中高一年级学生的人数为,;(2);(3)【解析】(1)利用分层抽样可求得样本中高一年级学生的人数,利用频率直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值;(2)利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值;(3)利用频率分布直方图可计算出全校睡眠时间超过个小时的学生人数.【小问1详解】解:样本中高一年级学生的人数为.,解得.【小问2详解】解:设中位数为,前两个矩形的面积之和为,前三个矩形的面积之和为,所以,则,得,故样本数据的中位数约为.【小问3详解】解:由图可知,样本数据落在的频率为,故全校睡眠时间超过个小时的学生人数约为.18、(1)A不是有界集合,B是有界集合,理由见解析(2)【解析】(1)解不等式求得集合A;由,根据指数函数的性质求得集合B,由此可得结论;(2)由函数,得出函数单调递减,即有,分和两种情况讨论,求得集合的上界,再由集合的上界函数的单调性可求得集合的上界的最小值.【小问1详解】解:由得,即,,对任意一个,都有一个,故不是有界集合;,,,,是有界集合,上界为1;【小问2详解】解:,因为,所以函数单调递减,,因为函数为有界集合,所以分两种情况讨论:当,即时,集合的上界,当时,不等式为;当时,不等式为;当时,不等式为,即时,集合的上界,当,即时,集合的上界,同上解不等式得的解为,即时,集合的上界,综上得时,集合的上界;时,集合的上界.时,集合的上界是一个减函数,所以此时,时,集合的上界是增函数,所以,所以集合的上界最小值为;19、(1)(2)85亿元【解析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可【小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元20、(1)(2)是定值,定值为6【解析】(1)根据题意条件,可直接求出的值,然后再利用条件中、的关系,借助即可求解出、的值,从而得到椭圆方程;(2)根据已知条件设出、所在直线方程,然后与椭圆联立方程,分别表示出根与系数的关系,再表示出弦长关系,再计算点到直线的距离,把面积用和的式子表示出来,通过给出的面积的值,找到和的等量关系,将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案.【小问1详解】由题意:,由知:,故椭圆C的标准方程为,【小问2详解】设:,①椭圆.②联立①②得:,,即∴,O到直线l的距离,∴,∴,即,∴.故为定值6.21、(1)(2)【解析】(1)依题意可得,即可求出、,即可求出椭圆方程;(2)首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在,设直线方程为、、,联立直线与椭圆方程,消元列出韦达定理,再根据弦长公式得到方程,求出,即可得解;【小问1详解】
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