福建省永春一中2024届数学高二上期末监测试题含解析

福建省永春一中2024届数学高二上期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列求导错误的是（）A. B.C. D.2．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（）A.510 B.126C.256 D.5123．不等式解集为（）A. B.C. D.4．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.5．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A B.C. D.6．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或237．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数8．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A. B.C. D.10．已知x是上的一个随机的实数，则使x满足的概率为（）A. B.C. D.11．已知等比数列满足，则（）A.168 B.210C.672 D.105012．已知抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．总书记在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚取得了全面胜利.在脱贫攻坚过程中，为了解某地农村经济情况，工作人员对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下列结论中所存确结论的序号是____________①该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%；②该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%；③估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元；④估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间14．椭圆的离心率是______15．若“，”是真命题，则实数m的取值范围________.16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次．（参考数值：，）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点（1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）若点是直线上的动点，且，求面积的最小值18．（12分）已知椭圆：过点，且离心率（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积19．（12分）如图，已知正四棱锥中，O为底面对角线的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.20．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.21．（12分）已知函数f(x)＝ax－2lnx（1）讨论f(x)的单调性；（2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围22．（10分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据导数运算求得正确答案.【详解】、、运算正确.，B选项错误.故选：B2、B【解析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，可得，解得，所以数列前6项的和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3、C【解析】化简一元二次不等式的标准形式并求出解集即可.【详解】不等式整理得，解得或，则不等式解集为.故选：.4、D【解析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果.【详解】双曲线的实轴长为8，即，，渐近线方程为，进而得到双曲线方程为.故选：D.5、A【解析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出的不等关系式，即可求得的范围.【详解】因为圆心到直线的距离，故要满足题意，只需，解得.故选：A.6、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.7、C【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；故选：C.8、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.9、B【解析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中，，所以，所以，所以圆锥的侧面积.故选：B10、B【解析】先解不等式得到的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解.【详解】由得，即，所以使x满足的概率为故选：B.11、C【解析】根据等比数列的性质求得，再根据，即可求得结果.【详解】等比数列满足,设等比数列的公比为q,所以,解得，故，故选：C12、D【解析】把点代入抛物线方程求出，再化成标准方程可得解.【详解】因为抛物线过点，所以，所以抛物线方程为，方程化成标准方程为，故抛物线的焦点坐标为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项①，②，④，利用平均值的计算方法，即可判断选项③【详解】解：对于①，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项①正确；对于②，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项②正确；对于③，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项③错误；对于④，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于45万元至8.5万元之间，故选项④正确故答案为：①②④14、【解析】求出、、的值，即可得出椭圆的离心率.【详解】在椭圆中，，，，因此，椭圆的离心率是.故答案为：.15、【解析】由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，据此即可求出结果.【详解】由于“，”是真命题，则实数m的取值集合就是函数的函数值的集合，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了存在量词命题的概念的理解，以及数学转换思想，属于基础题.16、①.64②.6【解析】利用即可求解，利用和换底公式进行求解.【详解】令，则，则，即，即当对折完4次时，最小值为；由题意，得，，则，所以该矩形纸最多能对折6次.故答案为：64，6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是,；（2）【解析】（1）由题意设出所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得为定值；（2）当的斜率为0时，求得三角形的面积为；当的斜率不为0时，由弦长公式求解，再由点到直线的距离公式求到的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形的面积大于，由此可得面积的最小值【详解】（1）由题意知，直线斜率存在，不妨设其方程为，联立抛物线的方程可得，设，，则，，所以，，所以，所以是定值（2）当直线的斜率为0时，，又，，此时当直线的斜率不力0时，，又因为，且直线的斜率不为0，所以，即，所以点到直线的距离，此时，因为，所以，综上，面积的最小值为18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得的值即可求解；（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①因为离心率，即，②由①②解得，，故椭圆的标准方程为（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为将直线的方程代入中，得，设，，则，所以，，所以，由，解得，所以，，因此19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答.（2）利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的判定推理作答.小问1详解】在正四棱锥中，由正方形得：，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】在正四棱锥中，O为底面对角线的交点，则O是AC，BD的中点，而，，则，，因，平面，所以平面.20、（1）；（2）.【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面的法向量和的坐标，点到平面的距离.计算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案.【小问1详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体的棱长为2和，分别为线段，的中点知，.设平面的法向量为..则..故点到平面的距离.【小问2详解】平面的法向量，平面与平面夹角的余弦值.21、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.【小问1详解】当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；当a＞0时，令得；令得；综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由题意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解则ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗极大值↘所以，因此有所以a的取值范围为：【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.22、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；（2）根据