安徽省滁州市九校联考2024届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

安徽省滁州市九校联考2024届高二数学第一学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（）A. B.C. D.22．已知角的终边经过点，则，的值分别为A.， B.，C.， D.，3．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）A. B.C. D.4．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()A. B.C. D.5．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.6．已知函数，则的单调递增区间为（）.A. B.C. D.7．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.8．直线分别交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，三角形OAB的内切圆上有动点P，则的最小值为（）A.16 B.18C.20 D.229．若数列满足，则（）A. B.C. D.10．若存在两个不相等的正实数x，y，使得成立，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.11．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（）A.1 B.C.或1 D.或12．已知向量，，且，则的值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若两条直线与互相垂直，则a的值为______.14．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________.15．已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线平面，则实数m的值为______16．空间直角坐标系中，点，的坐标分别为，，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）证明：；（2）若点E是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值18．（12分）如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）记,的面积分别为，求的取值范围；（3）若的重心在圆上，求直线的斜率.19．（12分）已知圆的圆心为，且圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）若圆：与圆恰有两条公切线，求实数的取值范围20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC中点，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.21．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由22．（10分）已知椭圆的左、右顶点坐标分别是，，短轴长等于焦距.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，线段的中点为，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意，建立空间直角坐标系，求得AC与PQ夹角的余弦值关于点坐标的函数关系，求得角度最小时点的坐标，即可代值计算求解结果.【详解】根据题意，两两垂直，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：设，则，不妨设点的坐标为，则，，则，又，设直线所成角为，则，则，令，令，则，令，则，此时.故当时，取得最大值，此时最小，点，则，故，则故选：C.2、C【解析】利用任意角的三角函数的定义：，，，代入计算即可得到答案【详解】由于角的终边经过点，则,，（为坐标原点），所以由任意角的三角函数的定义：，.故答案选C【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，解决此类问题的关键是掌握牢记三角函数定义并能够熟练应用，属于基础题3、A【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则由，可得则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为故选：A4、A【解析】利用为定值即可获解.【详解】设则又,所以所以当且仅当,即,取等故选:A5、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.6、D【解析】利用导数分析函数单调性【详解】的定义域为，，令，解得故的单调递增区间为故选：D7、B【解析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，，求导，令，得当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数的取值范围是故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8、B【解析】由题意，求出内切圆的半径和圆心坐标，设，则，由表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，从而即可求解最小值.【详解】解：因为直线分别交坐标轴于A，B两点，所以设，则，因为，所以三角形OAB的内切圆半径，内切圆圆心为，所以内切圆的方程为，设，则，因为表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，且在内切圆内，所以，所以，,即的最小值为18，故选：B.9、C【解析】利用前项积与通项的关系可求得结果.【详解】由已知可得.故选：C.10、D【解析】将给定等式变形并构造函数，由函数的图象与垂直于y轴的直线有两个公共点推理作答.【详解】因，令，则存在两个不相等的正实数x，y，使得，即存在垂直于y轴的直线与函数的图象有两个公共点，，，而，当时，，函数在上单调递增，则垂直于y轴的直线与函数的图象最多只有1个公共点，不符合要求，当时，由得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，令，，令，则，即在上单调递增，，即，在上单调递增，则有当时，，，而函数在上单调递增，取，则，而，因此，存在垂直于y轴的直线()，与函数的图象有两个公共点，所以实数m的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：涉及双变量的等式或不等式问题，把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.11、B【解析】利用定义法进行判断.【详解】把代入，得：，解得：或.当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.故.故选：B12、A【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，，因为，所以，解得：，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.【详解】由题可知，.故答案为：4.14、##【解析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为，可知点H为中点，由平面，可得，又所以平面，则即为所求角，因为，，所以，故答案为：.15、-2【解析】由已知可得，即，计算即可得出结果.【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且直线平面，所以，所以，解得.故答案为：-2.16、【解析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式计算即得.【详解】在空间直角坐标系中，因点，的坐标分别为，，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证出平面，即可证得；（2）以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式即可求出【小问1详解】如图，连接，由已知可得四边形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交线为，在中，可知，所以平面，于因为，所以平面，而平面，所以【小问2详解】如图所示，以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，于是设平面的法向量为，则，可取而平面的一个法向量为，所以故平面与平面所成锐二面角的余弦值为18、（1）（2）（3）【解析】（1）根据已知条件得到，，即可得到椭圆的方程.（2）首先设直线为，与椭圆联立得到，根据得到的范围，从而得到的范围.（3）设重心，根据重心性质得到，，再代入求解即可.小问1详解】因为左顶点，所以，根据，可得，解得，所以；【小问2详解】设直线为，则，则，，那么，根据解得，所以.【小问3详解】设重心，则：，，所以，所以，即所求直线的斜率为.19、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件求出圆C的半径，再直接写出方程作答.(2)由给定条件可得圆C与圆O相交，由此列出不等式求解作答.【小问1详解】依题意，圆C的半径，所以圆的标准方程是：.【小问2详解】圆：的圆心，半径为，因圆与圆恰有两条公切线，则有圆O与圆C相交，即，而，因此有，解得，所以实数的取值范围是.20、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件推导证得，再借助直角三角形中锐角的正切列式求解作答.(2)由给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量求解面面角作答【小问1详解】连结BD，如图，因底面ABCD，且平面ABCD，则，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，则，有，又，则有，有，则，解得，所以.【小问2详解】依题意，DA，DC，DP两两垂直，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，，，，，，，，设平面AMP的法向量为，则，令，得，设平面BMP的法向量为，则，令，得，设二面角A-PM-B的平面角为，则，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值为.21、（1）（2）存在，【解析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.【小问1详解】（1）则，，，，故C的方程为：；【小问2详解】假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，则，，使得直