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文档简介

2023届云南省大理市下关镇第一中学普通高中质量检测试题(二)数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图象向上平移个单位长度,得到函数的图象,若,则的值可能为()A. B. C. D.2.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面3.将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度,若所得到的两个图象重合,则的最小值为()A. B. C. D.4.已知为锐角,且,则等于()A. B. C. D.5.在很多地铁的车厢里,顶部的扶手是一根漂亮的弯管,如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧,已知弯管向外的最大突出(图中)有,跨接了6个坐位的宽度(),每个座位宽度为,估计弯管的长度,下面的结果中最接近真实值的是()A. B. C. D.6.已知x,y满足不等式,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],则t的取值范围()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]7.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.9.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.10.若复数满足,则()A. B. C. D.11.函数的大致图象为A. B.C. D.12.函数,,则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设命题:,,则:__________.14.已知点是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,若,则线段中点的纵坐标为__________.15.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.16.设数列的前项和为,且对任意正整数,都有,则___三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.18.(12分)设(1)证明:当时,;(2)当时,求整数的最大值.(参考数据:,)19.(12分)如图所示的几何体中,,四边形为正方形,四边形为梯形,,,,为中点.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求和的普通方程;(2)过坐标原点作直线交曲线于点(异于),交曲线于点,求的最小值.21.(12分)已知,,,,证明:(1);(2).22.(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若对任意恒成立,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简,然后利用图象变换规律得出函数的解析式为,可得函数的值域为,结合条件,可得出、均为函数的最大值,于是得出为函数最小正周期的整数倍,由此可得出正确选项.【详解】函数,将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得的图象;再把所得图象向上平移个单位,得函数的图象,易知函数的值域为.若,则且,均为函数的最大值,由,解得;其中、是三角函数最高点的横坐标,的值为函数的最小正周期的整数倍,且.故选C.【点睛】本题考查三角函数图象变换,同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题,解题的关键在于确定、均为函数的最大值,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.3、B【解析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后,所得的两个图像重合,那么,利用的最小正周期为,从而求得结果.【详解】的最小正周期为,那么(∈),于是,于是当时,最小值为,故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系,属于简单题目.4、C【解析】

由可得,再利用计算即可.【详解】因为,,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题.5、B【解析】

为弯管,为6个座位的宽度,利用勾股定理求出弧所在圆的半径为,从而可得弧所对的圆心角,再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示,为弯管,为6个座位的宽度,则设弧所在圆的半径为,则解得可以近似地认为,即于是,长所以是最接近的,其中选项A的长度比还小,不可能,因此只能选B,260或者由,所以弧长.故选:B【点睛】本题考查了弧长公式,需熟记公式,考查了学生的分析问题的能力,属于基础题.6、B【解析】

作出可行域,对t进行分类讨论分析目标函数的最大值,即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时,可行域即为如图中的△OAM,此时目标函数z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合题意t>2时可知目标函数Z=9x+6y在的交点()处取得最大值,此时Z=t+16由题意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选:B.【点睛】此题考查线性规划,根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围,涉及分类讨论思想,关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.7、D【解析】

将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】,对应的点位于第四象限.故选:.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.8、B【解析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.9、B【解析】

根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.10、B【解析】

由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.11、A【解析】

因为,所以函数是偶函数,排除B、D,又,排除C,故选A.12、B【解析】

根据函数奇偶性的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设,若函数是上的奇函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.所以,“是奇函数”“的图象关于轴对称”;若函数是上的偶函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.所以,“的图象关于轴对称”“是奇函数”.因此,“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键,考查推理能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、,【解析】

存在符号改任意符号,结论变相反.【详解】命题是特称命题,则为全称命题,故将“”改为“”,将“”改为“”,故:,.故答案为:,.【点睛】本题考查全(特)称命题.对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;(2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.14、2【解析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,然后求解结果.【详解】抛物线的标准方程为:,则抛物线的准线方程为,设,,则,所以,则线段中点的纵坐标为.故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义,由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离,需要熟练掌握定义,并能灵活运用,本题较为基础.15、【解析】

由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.16、【解析】

利用行列式定义,得到与的关系,赋值,即可求出结果。【详解】由,令,得,解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)【解析】

(1)消去参数,可得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解.(2)解法1:设直线的倾斜角为,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,求得,再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线的极坐标方程为,分别代入曲线,的极坐标方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程为,即,则曲线的极坐标方程为,即,又因为曲线的极坐标方程为,即,根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1:设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数,),把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,,,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.解法2:设直线的极坐标方程为),代入曲线的极坐标方程,得,,把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:,,即,,曲线的参,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程点互化,以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)将代入函数解析式可得,构造函数,求得并令,由导函数符号判断函数单调性并求得最大值,由即可证明恒成立,即不等式得证.(2)对函数求导,变形后讨论当时的函数单调情况:当时,可知满足题意;将不等式化简后构造函数,利用导函数求得极值点与函数的单调性,从而求得最小值为,分别依次代入检验的符号,即可确定整数的最大值;当时不满足题意,因为求整数的最大值,所以时无需再讨论.【详解】(1)证明:当时代入可得,令,,则,令解得,当时,所以在单调递增,当时,所以在单调递减,所以,则,即成立.(2)函数则,若时,当时,,则在时单调递减,所以,即当时成立;所以此时需满足的整数解即可,将不等式化简可得,令则令解得,当时,即在内单调递减,当时,即在内单调递增,所以当时取得最小值,则,,,所以此时满足的整数的最大值为;当时,在时,此时,与题意矛盾,所以不成立.因为求整数的最大值,所以时无需再讨论,综上所述,当时,整数的最大值为.【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用,导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用,构造函数法求最值,并判断函数值法符号,综合性强,属于难题.19、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,结合三角形中位线和长度关系,为平行四边形,进而得到,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量,求得法向量夹角的余弦值;根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值;【详解】(1)取的中点,连结,因为为中点,,,所以,,∴为平行四边形,所以,又因为,所以;(2)由题及(1)易知,,两两垂直,所以以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,易知面的法向量为设面的法向量为则可得所以,如图可知二面角为锐角,所以余弦值为【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键,属于中档题.20、(1)曲线的普通方程为:;曲线的普通方程为:(2)【解析】

(1)消去曲线参数

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