北京市海淀区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市海淀区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题共16分，每题2分。第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（）A. B.C. D.答案：B2.点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.答案：C3.二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（）A. B.C. D.答案：D4.如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（）A.点在外 B.点在内 C.点在上 D.无法确定答案：A5.若点，在抛物线上，则的值为（）A.2 B.1 C.0 D.答案：B6.勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（）A. B. C. D.答案：C7.如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（）A.2 B. C.4 D.答案：B8.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（）A. B. C. D.答案：B二、填空题共16分，每题2分。9.二次函数的图象与轴的交点坐标为______．答案：10.半径为3且圆心角为的扇形的面积为________.答案：3π．11.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数50100150200300400500投中次数284978102153208255投中频率0.560.490.520.510.510.520.51根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为______．答案：0.51（答案不唯一）12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．答案：13.二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）．答案：14.如图，是的内接三角形，于点，若的半径为，，则______．答案：115.对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围______．…0123……1331…答案：（答案不唯一，满足即可）16.如图，，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③平分；④连接，，则与的面积比为．所有正确结论的序号是______．答案：①③④三、解答题解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：．答案：，，∴，∴，．18.已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．答案：∵抛物线过点和，∴解方程组，得∴抛物线的解析式是．19.已知为方程的一个根，求代数式的值．答案：∵为方程的一个根，∴．∴．∴原式=．20.如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．答案：如图，连接．∵，∴．∵，∴．∵为直径，∴．∴．21.为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．（1）小明抽到甲训练场的概率为______；（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．答案：（1）小明抽到甲训练场的概率为，故答案为：；（2）根据题意，可以画出如下树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等．小明和小天抽到同一场地训练（记为事件）的结果有3种，所以，．22.已知：如图，是的切线，为切点．求作：的另一条切线，为切点．作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；作直线．直线即为所求．（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．证明：连接，，．∵是的切线，为切点，∴．∴．在与中，∴．∴．∴于点．∵是的半径，∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．答案：（1）补全图形，如图所示：（2）连接，，．∵是的切线，A为切点，∴．∴．在与中，∴．∴．∴于点．∵是的半径，∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．23.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．答案：如图，连接．∵过圆心，，，∴．∵，∴．∵，∴．解得．∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．24.如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．（1）求证：平分；（2）连接，若，，求的长．答案：（1）证明：如图，连接．∵直线与相切于点，∴于点．∴．∵于点，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．（2）连接．∵是的直径，∴．∵，∴．在中，∵，，∴．在中，∵，∴．∵，∴．∴．在中，∵，∴．25.学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．（1）请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；（2）“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．答案：（1）如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴，建立平面直角坐标系．

设这条抛物线表示的二次函数为．∵抛物线过点，∴∴∴这条抛物线表示的二次函数为．（2）能实现；．由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，“之”，则“科”，“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，，解得：或(舍去)26.在平面直角坐标系中，抛物线过点．（1）求（用含的式子表示）；（2）抛物线过点，，．①判断：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．答案：（1）把代入，得，∴；【小问2详解】解：①把代入，得，由（1）知：，∴，把代入，得，，当时，，，∴，当时，，，∴，绽上，；②由（1）知，∴∴抛物线对称轴为．∵抛物线过点，，，∴，，．当时，抛物线开口向上，对称轴为，∴抛物线在时，取得最小值．∵，，恰有两点在轴上方，∴，在轴上方，在轴上或轴下方．∴，解得．当时，抛物线开口向下，对称轴为，∴抛物线在时，取得最大值，且．∵，，恰有两点在轴上方，∴，在轴上方，在轴上或轴下方．∴，解得．综上，的取值范围是或．27.如图，在中，，．是边上一点，交的延长线于点．（1）用等式表示与的数量关系，并证明；（2）连接，延长至，使．连接，，．①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．答案：（1）线段与的数量关系：．证明：，．，；（2）①补全图形，如图．②结论：是等边三角形．证明：延长至点使，连接，，如图．，．，是等边三角形．，．，，，．．．，，．，（），．．是等边三角形．28.在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．（1）已知，，①在点，，中，线段的融合点是______；②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；（2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．答案：（1）①如图所示，根据题意可知，是线段的融合点，故答案为；，；②如图1所示，设的垂直平分线与线段的交点为Q，∵点Q在线段的垂直平分线上，∴，∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，的长为半径的圆上，∴当点Q在上移动时，此时点P的轨迹即线段的融合点的轨迹为分别以点，为圆心，长为半径的圆及两圆内区域．当直线与两圆相切时，记为，，如图2所示．∵，，∴,∴或．∴当时，直线上存在线段的融合点．（2）如图3-1所示，假设线段位置确定，由轴对称的性质可知，∴点在以T为圆心，的长为半径的圆上运动，点在以T为圆心，以的长为半径的圆上运动，∴的融合点的轨迹即为以T为圆心，的长为半径的圆和以T为圆心，以的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；当时，如