北京市东城区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市东城区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题每题2分，共16分。1.若关于的一元二次方程有一个根为0，则m的值为()A.2 B.1 C.0 D.答案；C2.下列图形中是中心对称图形的是（）A.正方形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.正五边形答案；A3.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6答案；D4.一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（）A.至少有1个球是黑球 B.至少有1个球是白球C.至少有2个球是黑球 D.至少有2个球是白球答案；A5.某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A.180（1﹣x）2=461 B.180（1+x）2=461C.368（1﹣x）2=442 D.368（1+x）2=442答案；B6.如图，在中，是直径，弦的长为5，点D在圆上，且，则的半径为（）A. B.5 C. D.答案；B7.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（）A.πcm B.2πcm C.3πcm D.4πcm答案；B8.如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系C二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系答案；B二、填空题每题2分，共16分。9.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为_________．答案；10.把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．答案；11.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________．答案；0，（答案不唯一，即可）．12.2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）答案；0.913.以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．答案；（2，﹣1）14.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．答案；20°15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______米．（）答案；16.我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．答案；三、解答题共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分。17.下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A在上．求作：的切线．作法：①作射线；②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；④作直线．则直线即为所求作的的切线.根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接，．由作图可知，，．∴．∵点A在上，∴直线是的切线()(填写推理依据)．答案；（1）补全图形如图所示，（2）证明：连接，．由作图可知，，．∴，∵点A在上，∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．18.如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.答案；如图，连接．∵是的直径，弦于点E，∴．又∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．19.下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．解：移项，得：．①二次项系数化为1，得：．②配方，得．③即.∵，∴．④∴，．⑤（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．答案；（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；（2）不正确，解答从第③步开始出错，正确的步骤为：配方，得．③即∵，∴．④∴，．⑤此方程的解为，．20.如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；答案；（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：，解得：，∴，；（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式可得：，解得：，∴一次函数解析式为：，由（1）得二次函数解析式为：，对称轴为：，直线与的交点为M，∴当时，，∴交点M的坐标为（2，-3）．21.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．（1）作点关于点的对称点；（2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，画出旋转后的线段；（3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．答案；（1）如图所示，点即为所求；（2）如图所示，线段即为所求；（3）如图所示，．22.2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．答案；由题意，画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种．则小明和小亮选择相同模块的概率为，答：小明和小亮选择相同模块的概率为．23.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．答案；（1）证明：∵，∵，∴．∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知，当时，的值最小．将代入，得解得：．24.掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m0246810竖直距离y/m根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____(填“＞”“＝”或“＜”)．答案；（1）由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，

所以实心球竖直高度的最大值为，设抛物线的解析式为：，将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）第一次抛物线解析式为，令，得到，（负值舍去），第二次抛物线的解析式为，令，得到，（负值舍去），，25.如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．（1）求证：直线是的切线；（2）若°，，求DF的长．答案；（1）证明：连接．∵是的直径，平分，∴.又∵，∴．即．∴直线为的切线．（2）∵是的直径，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，设则，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故26.已知二次函数．（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点都在该二次函数图象上，①请判断与的大小关系：（用“”“”“”填空）；②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．答案；（1）令，则，∴抛物线与y轴交点的坐标为．对称轴．（2）①∵函数图象的对称轴为直线，∴点关于直线对称，∴。②∵函数图象的对称轴为直线，，∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴，不合题意．当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则，，，，四个函数值可以满足，∴，即当时，，当时，．解得．27.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．（1）依题意补全图形；（2）比较与的大小，并证明；（3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．答案；（1）补全图形如图所示（2），理由如下：∵，∴∵∴∵，∴由题意可知，∴∴在和中∴≌∴∵∴，∴（3）理由如下：连接，∵，为的中点，∴∵∴在和中∴≌∴，∴即∴为等腰直角三角形∴∵，∴28.在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．已知点．（1）若点P的坐标是，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；（2）若点A关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在上且不与点A重合．若线段，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时P点坐标及点B的纵坐标的取值范围．答案；（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D，∴由旋转可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵点和关于直线对称，∴点，即点A关于点