第6章 电路的暂态分析

6.1一阶电路与初始条件的分析

一阶电路

初始值可以用一阶微分方程描述的电路。换路之后的瞬间各响应的值。

动态电路方程KVL：VAR：

可见：描述线性动态电路的方程为线性常微分方程。

微分方程的阶次称为电路的阶次。

一阶电路

指用一阶微分方程描述的电路。Us+_RCuC(t)+_uR(t)+_i(t)

换路

指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。

换路后一瞬间:0+

换路前一瞬间:0-

换路前一瞬间:

换路后一瞬间:

换路时刻:通常取换路时刻:

换路定则在常态电路中uC(t)、iL(t)不发生跃变,则:注:常态电路指电路中不含有由理想电压源与电容元件所构成的回路，或不含有由理想电流源与电感元件汇集而成的节点。注：表达式中的不等号是指可以不相等，由换路前后的电路结构确定。

特别注意Us+_RCuC(t)+_uR(t)+_i(t)S

(t=0)..为确定待定积分常数，必须知道：动态电路分析中的一个重要步骤—求物理量的初始值。

一阶电路

初始值的计算

C—断路，L—短路

1.求

给定

时:原电路未进入稳态：

时:原电路为直流稳态：

C—电压源，L—电流源

换路前后电压（电流）不变的为电压（电流）源：

C—短路，L—断路

3.利用电阻电路的计算方法求初始值

若

,则:

2.画

时的等效电路

初始值的计算

例：已知：t<0时，原电路已稳定，t=0时，打开开关S。

求：uR1(0+),uL(0+),iR2(0+),iC(0+)。..10V10Ω10Ω15ΩCL.S

(t=0)uR1uLiR2uCiCiL+_++__

解：1.

求uC(0－),iL(0－)

10V10Ω10Ω15Ω.uC

(0－)iL

(0－)..+_t=0－时：

2.

画t=0＋时的等效电路

0.25A10V10Ω10Ω15Ω.uR1(0＋)uL(0＋)iR2(0＋)iC(0＋)+_++__7.5V..

3.

t=0＋时:

例：已知：t<0时，原电路已稳定，t=0时，打开开关S。

求：i1(0+),i(0+)。4A..4Ω14Ω7ΩS

(t=0)10i1uC(t)i1(t)C+_+_i(t)

解：1.

求uC(0－)4A4Ω14Ω7Ω10i1(0－)uC(0－)i1(0－)+_+_i(0－)..t=0－时：

解：2.画t=0＋时的等效电路，求i1(0+)、i(0+)。t=0＋时：4A4Ω7Ω10i1(0+)i1(0+)+_+_i(0+)28V小结：一阶电路的概念初始值的求解6.2一阶电路的零输入响应及RC电路的放电过程

零输入响应：输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。

零状态响应：初始状态为零，输入不为零所引起的电路响应

。

完全响应：输入与初始状态均不为零所引起的电路响应。..UsRuR(t)CuC(t)ab.S

(t=0)iC(t)+_+_

已知：t=0－时，电容已充电至U0，t=0时，S由a合向b。求：时的uC(t),uR(t),iC(t)。

RC

电路的放电过程t=0－时：

1.定性分析

UsuR(0－)iC(0－)+_+_uC(0－)t=0+时：uR(0+)iC(0+)+_+_uC(0+)

2.定量分析

uR(t)iC(t)+_+_uC(t)时：令t=0+:0uC,

uR,

iCtU0.....Us-U0(Us-U0)/R-U0/R-U0uC(t)uR(t)iC(t)

时间常数

R：由动态元件看进去的戴维南等效电阻：6Ω0.5F4Ω12Ω解：例：求电路时间常数τ。

τ的物理意义：由uC(t0)衰减到36.8％uC(t0)所需时间。..0uCtU0.uC(t0)t0

时间常数

τ的几何意义：

由[t0,uC(t0)]点作uC(t)的切线所得的次切距。0uC(t)tU0...uC(t0)t0

时间常数时,电路进入新的稳态：

可见:时间常数反映了物理量的变化快慢,τ越小，物理量变化越快，反之变化越慢。u1,

u20t4V.u1u2则uR(t)iC(t)+_+_uC(t)C

RC

电路的零输入响应小结：RC电路的放电过程时间常数的含义6.3RL电路的放磁过程

已知：t=0－时，iL(0－)=I0,求：时的iL(t),uL(t)。

RL电路的放磁过程..UsRuR(t)uL(t)ab.S

(t=0)iL(t)+_+_LRC串联：RL并联：_RuR(t)uL(t)iL(t)++_L根据KVL及VAR建立电路方程：即：对偶关系：RC串联：RL并联：

综上所述,一阶电路的零输入响应变化模式相同，即：故求一阶电路的零输入响应时，确定出f(0+)和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。一阶电路的零输入响应是线性响应。

例：已知t<0时，原电路已稳定，t=0时，S由a合向b。

求：时的uC(t),i(t)。..uC(t)ab.S

(t=0)i(t)+_2Ω4Ω6Ω2Ω16V+_8Ω

解：1.

求uC(0+),i(0+)

t=0－时：+_8Ω6Ω2Ω16V+_..uC(0－)2Ω1.

求uC(0+),i(0+)

t=0+时：8Ω6Ω2Ω6V+_4Ωi(0+)2.

求τ

8Ω6Ω2Ω..Req4Ω0uC,

it6V.iuC.小结：RC电路的放电过程RL电路的放磁过程对偶6.4RC电路的充电过程及时间常数

已知uC(0)=0，求：时的uC(t),uR(t),iC(t)。

RC

电路的充电过程_UsRuR(t)CuC(t)S

(t=0)iC(t)++_..

1.定性分析

t=0+时：uR(0+)iC(0+)+_Us时：UsuR(t)iC(t)+_+_uC(t)C

2.定量分析

时：

uCp(t)：非齐次微分方程任一特解。

uCh(t)：所对应齐次微分方程的通解。

uCp(t)—强制响应，与输入具有相同形式。

uCh(t)—固有响应，与电路结构有关。令t=0+:uC(t)iC(t)0uC,

uR,

iCt..UsUs/RuR(t)

时间常数uC(t)0tUs.uC(t0)t0

τ的物理意义：

由uC(t0)上升了uC(∞)与uC(t0)差值的63.2％所需时间。0uC(t)tUs...uC(t0)t0

时间常数0uC(t)tUs...uC(t0)t0

时,电路进入新的稳态。

τ的几何意义：由[t0,uC(t0)]点作uC(t)的切线与Us所得的次切距。

例：已知t<0时，原电路已稳定，t=0时合上S。

求：时的uC(t),u0(t)。..S

(t=0)1V1F2Ω1ΩuC(t)u0(t)+_+_

分析：RC电路的零状态响应中其余物理量可通过uC(t)确定。

解：已知uC(0)=01.求uC(∞)1V2Ω1ΩuC(∞)+_..时：2.求τ2Ω1ΩReq..0uC,

u0t1V...uC(t)u0(t)小结：RC电路的充电过程时间常数的含义6.5RL电路的充磁过程

已知：iL(0)=0,求：时的iL(t)。

RL电路的充磁过程UsRuR(t)uL(t)S

(t=0)iL(t)+_+_L..IsGiL(t)L

利用对偶关系：RL充磁过程：RC充电过程：uC(t)、iL(t)的零状态响应为：一阶电路的零状态响应是线性响应。

例：已知t<0时，原电路已稳定，t=0时合上S。

求：时的iL(t),i0(t)。..5Ω1Ω1.2Ω4Ω10H18VS

(t=0)iL(t)i0(t)

解：已知iL(0)=01.求iL(∞)时：5Ω1Ω1.2Ω4Ω18ViL(∞)2.求τ5Ω1Ω1.2Ω4Ω..Req=5ΩiL(t)i0(t)0iL,

i0t3A...2A1A2.5A.小结：RC充电电路的零状态响应RL充磁电路的零状态响应对偶6.6一阶电路的完全响应

已知uC(0)=U0，t=0时合上S。求：时的uC(t)。UsRCuC(t)S

(t=0)+_..令t=0+:

解：Us:稳态响应，:

暂态响应

完全响应=稳态响应＋暂态响应

Us>U00uCtUs..U0

U0>Us0uCtU0..Us.Us’:零输入响应

完全响应=零输入响应＋零状态响应:

零状态响应完全响应不是线性响应。小结：一阶电路的完全响应=稳态响应＋暂态响应一阶电路的完全响应=零输入响应＋零状态响应6.7一阶电路的三要素法

前提

一阶电路

直流激励注：电路中仅一个动态元件的电路是一阶电路。

若电路中的动态元件可以等效为一个动态元件时，也是一阶电路。一阶电路三要素法表达式令:令t=0+:

直流激励下一阶电路的电路方程一般形式：（C是常数）则：

初始值f(0+)

稳态值f(∞)

三要素

时间常数τf(0+):初始值t=0+时：

零状态下：

C—电压源，L—电流源

C—短路，L—断路

uC(0+),iL(0+)：由t=0－的等效电路中求。必须由t=0+的等效电路中求。iC(0+),uR(0+)

iR(0+),

uL(0+)f(∞):稳态值

Req：由动态元件两端看进去的戴维南等效电阻。

C—断路，L—短路时：

τ:时间常数

注意：求Req时，原网络中电压源短路，电流源断路。

例：已知t<0时，原电路已稳定,t=0时,S由a合向b。求：时的iL(t),i0(t)。...iL(t)i0(t)3Ω3Ω6Ω30Vab15VS

(t=0)2H

解：1.求iL(0+),i0(0+)t=0-时：i0(0-)iL(0-)3Ω3Ω6Ω15V

解：1.求iL(0+),i0(0+)t=0＋时：i0(0+)3Ω3Ω6Ω30V

2.求iL(∞),i0(∞)时：i0(∞)3Ω