L09-CH4 连续周期信号的频域分析

信号与系统SignalsandSystems信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质连续周期信号的频域分析周期信号的傅里叶级数展开傅里叶级数的基本性质周期信号的频谱及其特点周期信号的功率谱连续周期信号的频域分析将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。

从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量通过系统后的变化。意义：一、周期信号的傅里叶级数展开1.周期信号展开为傅里叶级数条件周期信号f

(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)在一个周期内绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个有限的不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。

Fourier，法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。一、周期信号的傅里叶级数展开2.指数形式傅里叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：周期信号f

(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数若f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数纯余弦形式傅里叶级数其中

a0/2称为信号的直流分量，

Ancos(n

0

t

+

n)称为信号的n次谐波分量。例1试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解:

该周期信号f

(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅里叶级数展开式。因此，f

(t)的指数形式傅里叶级数展开式为例1试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解:可得，f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为若

=T/2，则有由例2

试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:

该周期信号f

(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在例2

试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为由例3

求Cn

。解:根据指数形式傅里叶级数的定义可得二、傅里叶级数的基本性质

线性特性

时移特性

二、傅里叶级数的基本性质

卷积性质

微分特性若f1(t)和

f2(t)均是周期为T0的周期信号，且二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(1)若f(t)为实信号二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(2)纵轴对称信号f

(t)=f

(-t)

纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(3)原点对称信号f

(t)=-f

(-t)

原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有正弦项。二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(4)半波重迭信号f

(t)=f

(t±T/2)

半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(5)半波镜像信号f

(t)=-f

(t±T/2)半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性去掉直流分量后，