杆系结构的内力计算-平面弯曲变形杆件内力计算方法与实例

平面弯曲变形杆件内力计算方法与实例1目录132单跨梁的分类截面法、直接法求梁指定截面的内力内力方程、内力图添加标题1.单跨梁的分类1.单跨梁的分类根据支撑情况，分为三种类型：一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁，称简支梁1）简支梁一端为固定端支座，另一端为自由端的梁，称悬臂梁2）悬臂梁在简支梁的基础上向一边或两边伸出的梁，称外伸梁3）外伸梁添加标题2.截面法、直接法求梁指定截面的内力2.截面法、直接法求梁指定截面的内力1）梁弯曲时的剪力分析梁在横向力作用下弯曲时，横截面上必然同时产生两种内力分量：垂直于轴线（平行于横截面）的内力称之为剪力；作用面与梁轴共面的内力偶（作用面与梁横截面垂直）称为弯矩。梁微段的左侧截面相对向上错动，右侧截面相对向下错动为正剪切变形；反之为负剪切变形。为使剪力的符号与产生剪切变形的符号相匹配，规定梁微段的左侧截面上方向向上，右侧截面上方向向下的剪力为正，也可简述为“左上右下”的顺转剪力为正；反之剪力为负。(a)正剪力方向(b)负剪力方向2）梁弯曲时的弯矩分析梁微段上部纤维缩短，下部纤维伸长的弯曲为正弯曲变形；反之为负的弯曲变形。为使弯矩的符号与产生弯曲变形的符号相匹配，规定梁微段的左侧截面处顺时针转向，右侧截面处逆时针转向的弯矩为正，可简述为“左顺右逆”转向的弯矩为正；反之弯矩为负。(a)正弯矩方向(b)负弯矩方向4）弯力偶与弯矩的关系3）横向力与剪力的关系梁段上横向力在截面处微段产生正剪切变形，则在截面上必产生相应的正剪力；梁段上的横向力在截面处微段产生负剪切变形，在截面上必产生相应的负剪力。梁段上向上的横向力对截面取矩，将引起截面处微段正弯曲变形，在截面上产生相应的正弯矩；左梁段上的顺转弯力偶或右梁段上的逆转弯力偶，将引起截面微段的正弯曲变形，截面上必产生相应的正弯矩。反之，在截面上产生负弯矩。2.1截面法计算梁的内力

已知简支梁AB，跨度为5m，AC段作用有均布荷载，D处作用有集中力，E处与B处分别作用有集中力偶，，求梁段上的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图与弯矩图。若求截面C的剪力和弯矩，将梁用假想截面在C处截开，先取左梁段为研究对象，在截面上用正向剪力、正向弯矩代替去掉部分的作用，其受力图如图（a）所示：(a)C左侧梁段通过静力平衡方程，已经求得支座约束力分别为：，(b)C右侧梁段若选取右梁段为研究对象，在截面上用正向剪力、正向弯矩代替去掉部分的作用，其受力图如图（b）所示：2.2直接法计算梁的内力

由上述分析可知，截面上的剪力等于截面任一侧梁段上的每一个横向力单独作用时，在截面上产生的各个剪力之代数和，“左上右下”指向的横向力在截面上产生正剪力。截面上的弯矩等于截面任一侧梁段上的每一个横向力和弯力偶单独作用时，在截面上产生的各个弯矩之代数和。“左顺右逆”的弯力偶或指向向上的横向力对截面之矩在截面上产生正弯矩。剪力分析要点：1.梁端的横向力可视为梁端截面的剪力可将任何梁的梁端视为截断的截面，此处的横向力可视为端截面的剪力。2.梁中部横向力作用处两侧截面剪力不相等梁中部横向力作用处两侧截面剪力不相等，两侧截面剪力之差的绝对值等于此处横向力的大小。3.梁的剪力沿轴线方向分段变化梁中部分布力分布区间的端点、横向力作用处等都是剪力变化的分界点。其中，梁中部横向力作用处是剪力变化的不连续划分点；分布力分布区间的两端处是剪力变化的连续划分点；梁上的弯力偶对剪力变化无影响。弯矩分析要点：1.梁端的弯力偶矩可视为梁端截面的弯矩可将任何梁的梁端视为我们截出的截面，此处的弯力偶矩视为端截面的弯矩。2.梁中部弯力偶作用处两侧截面弯矩不相等两侧截面弯矩之差的绝对值等于此处弯力偶矩的大小。3.梁的弯矩沿轴线方向分段变化梁中部的分布力分布区间的端点、横向力作用处、弯力偶作用处等都是弯矩变化的分界点。其中，梁中部弯力偶作用处是弯矩变化的不连续划分点；分布力分布区间的两端和横向力作用处，都是弯矩变化的连续划分点。添加标题3.内力方程与内力图3.内力方程与内力图3.1剪力方程与剪力图将剪力沿梁轴线方向变化的规律用方程表达出来，即为剪力方程。选梁左端为坐标原点，取沿梁轴线向右为x轴正向，用x坐标表示梁的截面位置。注意剪力的间断划分点和连续划分点。在每一梁段内取一x面，用公式表达此面的剪力值，并标明x的变化区间。梁的剪力方程如下:为了形象地表明梁内剪力随截面位置的变化情况，判定最大剪力的所在截面位置，将剪力随截面位置的变化规律用图线表达出来，即为剪力图。作剪力图方法与作轴力图方法完全相同，仍然是“三画两标注”方法（画基线，画纵标线，画示纵标线，标注符号、数值和单位，标注图名）。梁的剪力图如下:3.2弯矩方程与弯矩图

将弯矩沿梁轴线方向变化的规律用方程表达出来，即为弯矩方程。选梁左端为坐标原点，取沿梁轴线向右为x轴正向。用x坐标表示梁的截面位置。在梁的横向外力作用处、分布力的起终点处进行连续点划分；弯力偶作用处进行间断点划分。在每一梁段内取一x面，用公式表达此面的弯矩值，并标明x的变化区间。梁的弯矩方程如下:为了形象地表明梁内弯矩随截面位置的变化情况，判定最大弯矩的所在截面位置，将弯矩随截面位置的变化规律用图线表达出来，即为弯矩图。作弯矩图方法与作轴力图方法相同，仍然是三画两标注方法，在画弯矩纵标线时，将正弯矩纵标画在基线下方，负弯矩纵标画在基线上方；只标注数值和单位。梁的弯矩图如下：平面弯曲变形杆件内力计算方法与实例4目录132多跨静定梁的概念与类型多跨静定梁的层次图分析多跨静定梁的步骤添加标题1.多跨静定梁的概念与类型1.多跨静定梁的概念与类型若干根梁段彼此用铰相连，并用若干支座与基础相连而组成的静定结构称为多跨静定梁。1.连续简支型基本梁段是一个简支梁、外伸梁或悬臂梁。前边的梁与基础组成一个无多余约束的几何不变体，后续的梁段与前边的梁段用一个中间铰链相连，与地基则用一个可动铰支座相连。如图(a)所示：图(a)连续简支型2.间隔搭接型基本梁段是一个简支梁、外伸梁或悬臂梁。前边的梁与基础组成一个无多余约束的几何不变体，搭接梁段与其前、后梁段都是用中间铰链相连，搭接梁段无支座约束，后续梁段与地基则用两个链杆支座约束相连。如图(b)所示：3.混合型由简支与搭接混合形成的多跨静定梁称混合型多跨静定梁如图(c)所示：图(b)间隔搭接型图(c)混合型添加标题2.多跨静定梁的层次图2.1基本概念

根据多跨静定梁的几何组成规律，将其各部分划分为基本部分和附属部分。1.基本部分不依赖于其它部分能独立与基础组成一个几何不变的部分，或者本身就能独立地承受荷载并能维持平衡的部分。2.附属部分需要依赖基本部分才能保持其几何不变性。对连续简支型多跨静定梁，在几何组成的分层表达中，内层梁段都是外层梁段的基本部分，外层梁段是内层梁段的附属部分。图(d)连续简支型层次图将多跨静定梁的基本部分画在下部，附属部分画在上部，梁段之间的中间铰链用形式上的固定铰支座表示，即将基本部分与附属部分用分层图表示的图形称为层次图。2.2多跨静定梁层次图图(f)混合型层次图对间隔搭接型多跨静定梁，中间搭接梁段都是两侧梁段的附属部分，两侧梁段是中间搭接梁段的基本部分。图(e)间隔搭接型层次图添加标题3.分析多跨静定梁的步骤3.1分析要点把多跨静定梁的基本部分和附属部分用层次图表示，由力的传递来看，作用在基本部分的荷载，将只对基本部分有影响，而附属部分不受影响；作用在附属部分的荷载，则不仅对附属部分有影响，而且基本部分也受影响。因此，多跨静定梁的计算顺序应该是先附属部分，后基本部分。3.2分析步骤1.先对结构进行几何组成分析，按几何组成分析中刚片的选取次序确定基本部分和附属部分，作出层次图；2.根据所作层次图，从上层向下层依次取研究对象，计算各梁的约束力；3.按照作单跨梁内力图的方法，分别作出各梁段的内力图，再按原来梁段次序将其排列在一条直线上，即得到多跨静定梁的内力图。平面弯曲变形杆件内力计算方法与实例3目录1区段叠加法的步骤添加标题1.区段叠加法的步骤1.概念在小变形条件下，梁上作用几种荷载时，在求解约束力或内力时，可先求每一种荷载单独作用时引起的约束力或内力，然后再代数相加的方法称为叠加法。如图所示简支梁，在梁两端分别作用有力偶、和跨中作用均布荷载q。2.案例当梁单独作用力偶

时，其剪力图和弯矩图分别为图(a)、(b)所示。当梁单独作用力偶

时，其剪力图和弯矩图分别为图(c)、(d)所示。图(a)图图(b)图图(c)图图(d)图图(e)图图(f)图当梁单独作用均布荷载q时，其剪力图和弯矩图分别为图(e)、(f)所示。简支梁同时作用端力偶、和跨中均布荷载q时，梁A、B端的剪力

、分别由图(a)、(c)、(e)的A、B端剪力叠加之和，即：图(g)图

简支梁在均布荷载和梁端力偶作用下，其剪力图是直线型，只要求出梁两端的剪力，即可由梁两端的剪力作其剪力图。作剪力图如图(g)所示：图(h)M图简支梁同时作用端力偶、和跨中均布荷载q时，先根据AB两端的力偶矩

、

作直线弯矩图

，如图(h)所示的虚直线图，此图为由图(b)、(d)两弯矩图叠加而成；然后以此虚直线为基线，再叠加相应简支梁AB在跨间均布荷载作用下的二次抛物线图，即得图（h）所示曲线弯矩图。3.区段叠加法作梁的弯矩图的步骤1.对梁进行弯矩划分2.画直线弯矩图3.叠加梁段跨间荷载弯矩图在梁上的集中力作用点、分布荷载起终点、集中力偶作用处的左右侧将梁划分，求出各划分点处的弯矩值。在各划分点量取相应的弯矩纵标，相邻划分点处纵标端连直线，即得直线弯矩图。当相邻划分点之间梁段有分布荷载作用时，在直线弯矩图的基础上，再叠加简支梁在分布荷载作用下的弯矩图。平面弯曲变形杆件内力计算方法与实例2目录12弯矩、剪力、荷载集度三者的微分关系利用微分关系判定内力图的形状添加标题1.弯矩、剪力、荷载集度三者的微分关系

简支梁的荷载集度，剪力方程，弯矩方程如下：

考察各梁段的剪力方程、弯矩方程及分布荷载函数，三者之间存在着如下微分关系：1.梁的剪力方程对x的一阶导函数等于对应梁段上的分布荷载集度q函数。2.梁的弯矩方程对x的一阶导函数等于对应梁段上的剪力方程。3.梁的弯矩方程对x的二阶导函数，等于对应梁段上的荷载集度函数。添加标题2.利用微分关系判定内力图的形状2.1无分布荷载作用梁段

将梁在集中力、集中力偶、分布荷载的起终点处分段，根据各段上的荷载集度判定内力图的形状，判定方法如下：

由于

，所以

，因此，梁段的剪力

为常数，即剪力图为平行于基线的直线；由于

常数，所以

是x的一次函数，

相应的弯矩图为斜交于基线的直线。荷载图剪力图弯矩图

将梁段上的分布荷载图、剪力图、弯矩图三个图形依次变化规律可简述为“零、平、斜”。变化规律如右图：2.2均布荷载作用梁段

由于

常数，所以分布荷载图为一平行于梁轴的直线，因为，=常数，所以

是x的一次函数，相应的剪力图为斜交