半群的半群结构

半群的半群结构

0关于有限群的阶段研究半组代换法理论是20世纪50年代发展起来的一个新代换法分支。它在自动机理论,符号动力系统,计算机科学,组合数学,代数表示论,算子代数和概率论等方面都有广泛的应用。群论是现代基础数学和应用数学的基础理论和学科分支之一,它在数学本身以及现代科学技术的许多领域都有广泛的应用。有限群论不管是从自身的理论研究,还是从它的实际应用来说,都占据着突出的地位。近几十年来,有限群的研究取得了一系列的重大成果。所以,有限群是近年来研究最活跃的一个代数学分支。至今,对有限群的结构研究还远未完成,探索新的思想方法力争取得新的突破显得尤为迫切和重要。我们设G是有限群,在G的幂集P(G)={A∶A⊆G}上定义运算:则容易证明P(G)在上述运算下作成一个半群,我们称它为有限群G的幂集半群,简称为群幂集半群。关于一个代数的幂集半群的研究,开始于20世纪50年代。特别地,在文献中,Tamura与Shafer对半群的幂集半群作了研究;在文献中,Putahs对半群的幂集半群的半格分解作了研究。另一方面,在文献中,JorgeAlmeida等人对半群的幂集算子及幂伪簇作了研究,并且在文献中,JorgeAlmeida还列举了一些幂集半群、幂集算子及幂伪簇的已被研究的性质和还有待研究的一些问题。而且这两方面的研究工作,一直持续到现在。现在我们着手建立有限群的幂集半群的概念与性质,进而研究它的结构。从而可以利用有限群的幂集半群的性质与结构,去研究有限群的性质与结构。我们认为这是值得探索的新方法。本文首先给出了群幂半群P(G)的特殊子集与特殊元;然后研究了P(G)的Green关系,从而得到了P(G)的D-类结构,并且这一结论包含了文献中给出的正则D-类的结论。本文未定义的术语及符号请参考文献,。1特殊子集和特殊元1.1子半群的区别—特殊子集从P(G)的定义出发,为了书写方便,我们分别记A{g},{g}A(A⊆G,g∈G)为Ag,gA。由于Υ∈P(G),以后记为0。令则P+(G)是P(G)的子半群。对g∈G有{g}∈P(G),以后也把{g}记为g。因此在文中,请读者结合上下文区分是g∈G,还是g∈P(G)。设1是G的单位元,令容易证明P1(G)是P(G)的子半群,并且我们定义其中g∈G,并且P(G)是G的幂集。我们也很容易证明下列性质的成立。命题1.1(1)设H是G的子群,则P(H)是P(G)的子半群;(2)设A∈P(G),g∈G,则1.2hpa的等元当及其最适合的分布在一个半群中,幂等元具有很好的性质,某个时候还可以反映出半群的特征结构。定理1.2H是P(G)的幂等元当且仅当H=0,或者H是G的子群。我们将P(G)的幂等元集记为E(G),则0,1,G∈E(G),并且显然有0是P(G)的零元,1是P(G),P+(G),P1(G)的单位元,G是P+(G),P1(G)的零元。1.3r是pg逆元的假设在一个半群中,同幂等元一样,正则元也反映了很好的性质,并且与幂等元有密切的联系。定理1.3R是P(G)的正则元当且仅当存在H∈E(G),g∈G使R=gH。证明:(必要性)设R是P(G)的正则元。若R=0,则结论显然成立。下面假设R≠0。则存在A∈P(G)使R=RAR。从而H=AR∈E(G),并且H≠0,即R=RH。又由于G是有限群,故即｜R｜=｜H｜。因此存在g∈G使R=gH。(充分性)若存在H∈E(G),g∈G使R=gH,则存在Hg-1∈P(G)使故R是P(G)的正则元。下面我们来看P(G)的逆元。定理1.4R是P(G)的逆元当且仅当R是P(G)的正则元。证明:必要性显然成立,下证充分性。设R是P(G)的正则元,则由定理1.3知,存在进而存在Hg-1=g-1Hg-1使得故R是P(G)的逆元。2pg与绿色关系2.1当当apg由于G是有限群,因此P(G)是有限的。假设｜G｜=k,则｜P(G)｜=2k,并且P(G)是周期半群。下面我们通过一般半群的Green关系的定义得到P(G)的Green关系。定理2.1设A,B∈P(G),则有,(5)ADB当且仅当AJB。证明:(1)若ALB,则存在C∈P(G),使得B=CA。显然可以让C≠0,取x∈C则同理可证｜A｜≥｜B｜。因此｜A｜=｜B｜。进而由G的有限性知,B=xA。反之,若B=xA,则有A=x-1B。因此ALB。(2)、(3)同(1)可证。(4)AHB当且仅当ALBRA当且仅当存在x,y∈G使B=xA且B=Ay。(5)由于P(G)是周期半群,故ADB当且仅当AJB。2.2子群的性质与结构对任意半群S,设D是S的一个D-类,x∈D。假设I,Λ分别是D的R-类,L-类的指标集。我们记D的R-类为Ri(i∈I),L-类为Lλ(λ∈Λ)。对i∈I,λ∈Λ,设Hi=Ri∩Lx和Hλ=Lλ∩Rx。则{Hi∶i∈I}是包含于Lx的所有H-类,和{Hλ∶λ∈Λ}是包含于Rx的所有H-类。设{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}是S1的元素族,并且使得i∈I,λ∈Λ。xqλ∈Hλ,rix∈Hi。我们称三元对[x,{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}]为D的标架,而称三元对[Hx,{qλ∶λ∈Λ},{ri∶i∈I}]为D的完全标架。若D-类D包含有m个R-类和n个L-类,则由D的标架知即分别是Rx,Lx的H-类构成的集合的势。因此D的完全标架可以看成是由D的所有H-,R-,L-类构成。事实上,设Hiλ=Ri∩Lλ,i∈I,λ∈Λ,则由Green引理有设A∈P(G),若A=0,显然0所在的D-类D0={0}。因此下面的讨论中,除特别说明外,始终假设A≠0。设B∈P+(G),下面我们定义两个集合,BA={bA∶b∈B},AB={Ab∶b∈B}。显然有A所在的L-类、R-类分别为进而有A所在的H-类特别地当是的子群时就是群G关于子群A的所有左陪集构成的集合,AG就是群G关于子群A的所有右陪集构成的集合。并且关于上面的两个集合还有如下明显的性质。命题2.2设B∈P+(G),(1)若G是Abel群,则BA=AB;(2)设G是非Abel群,若A是G的正规子群,则BA=AB。我们可以在群G中定义下面两个特殊的子集,则RG(A),LG(A)具有如下性质:(3)若A是G的子群,则(4)若G是Abel群,则证明(1)显然RG(A)≠0,因为1∈RG(A)。∀x1,x2∈RG(A),则存在y1,y2∈G使得进而Ax1x2=y1Ax2=y1y2A,故x1x2∈RG(A)。又由于G是有限群,因此RG(A)是G的子群。同理可证,LG(A)也是G的子群。进而y∈LG(A),并且yA=Ax∈LG(A)A。因此ARG(A)LG(A)A。同理可证LG(A)A⊆ARG(A)。下面证明LG(A)A=(GA)∩(AG)。由ARG(A)=LG(A)A知,LG(A)A(GA)∩(AG)。对B∈(GA)∩(AG),存在x,y∈G使因此x∈LG(A),即B=xA∈LG(A)A。故(GA)∩(AG)LG(A)A。设G∶LG(A)=m,G∶LG(A)=n。又设群G关于关于子群LG(A)的左陪集代表系为{ri∶i=1,…,m},和子群RG(A)的右陪集代表系为{qλ∶λ=1,…,n},其中取q1=r1=1。下面我们对x∈G,A,B⊆G定义命题2.5(1)ri(LG(A)A)∩rj(LG(A)A)=Φ当且仅当i≠j;证明(1)充分性显然成立,下证必要性。若i≠j,即ri≠rj。进而ri-1rjLG(A)。假设因此ri-1rj∈LG(A)。这与ri-1rjLG(A)矛盾。(2)同(1)可证。另一方面,由于所以对∀Ax∈AG,存在λ∈{1,…,n},使得x∈RG(A)qλ,即存在y∈RG(A)使得x=yqλ。(4)同(3)可证。(5)显然有。又由命题定理2.6(D-类的结构)设D是P(G)的D-类,A∈D,则存在y∈G使得x2A=yx1A。进而即rix1ALrix2A。由于在半群中,R-关系是左同余,则显然有rix1ARrix2A。因此rix1AHrix2A,即存在LA的一个H-类H′,使得ri(LG(A)A)H′。利用文献[1,chapter2,Lemma2.3]容易证明,同理可证,D有n个L-类,并且λ∈{1,…,m},综上所述,把{qλ∶λ=1,…,n},{ri∶i=1,…,m}作为P(G)的元素族,并且因此[A,{qλ∶λ=1,…,n},{ri∶i=1,…,m}]是D的标架。推论2.7(正则S-类的结构)设D是P(G)的D-类,则有D是正则的当且仅当E(A)≠Υ。因此,存在H∈E(D),并且有证明:充要条件由半群的正则D-类的性质立即可得,并且(1)是显然的,下面我们只证明(2)。由H∈E(D)知,H是G的子群。由命题2.3可得,RG(H)=LG(H)=NG(H)。取{x1∶i=1,…,m}(x1=1)为群G关于子群NG(H)的右陪集代表系。则{xi-1∶i=1,…,m}为群G关于子群NG(H)的左陪集代表系。因此由定理2.6有致谢:本文在撰写过程中得到了我们的导师游泰杰教授,指导教师李先崇副教授,和徐波副教授的悉心指导gP(A)=P(gA),P(A)g=P(Ag)。证明:H是P(G)的幂等元在有限群G中,H2=H⇒H=0,或者H是G的子群。(1)ALB当且仅当存在x∈G使B=xA;(2)ARB当且仅当存在y∈G使B=Ay;(3)AJB当且仅当存在x,y∈G使B=xAy;(4)AHB当且仅当存在x,y∈G使B=xA=Ay;证明(1)由群的交换性显然成立。(2)由子群的正规性立即可得。命题2.3(1)RG(A),LG(A)是G的子群;(2)NG(A)⊆RG(A)∩LG(A);RG(A)=LG(A)=NG(A);RG(A)=RG(A)=G。(2)、(3)、(4)显然成立。命题2.4ARG(A)=证明:先证ARG(A)=LG(A)A。对∀Ax∈ARG(A),存在y∈G使H∈E(G),g∈G使R=gH。由命题2.4有进而存在使得(3)显然有2.4d为多模类,且级为0,其又为0(6)同(5)可证。(1)若A=