关于扭余代数的刻画

关于扭余代数的刻画

我们总是把k作为一个域。这里，双代、左右代、张量积和hom指的是k，并使用符号法研究余模型的代际结构。在这项工作中，我们研究了余模型的世代，并得出了几个对照组的结果。1mc设C为右H-模余代数,定义Hom(C,H⨂C)的乘法“*”,τ*λ=(m⨂id)(id⨂λ)τ,对所有τ,λ∈Hom(C,H⨂C),则Hom(C,H⨂C)构成结合代数,σ:c→1H⨂c是单位元.若τ*λ=σ,λ*τ=σ,则称τ可逆,λ为τ的逆元.设τ∈Hom(C,H⨂C),则τ满足下列条件:记τ(c)=∑c-1⨂c0.在C上定义新余乘法Δτ(未满足余结合律),Δτ=∑c1c2,-1⨂c2,0,其中Δ(c)=∑c1⨂c2.(C,Δτ)记作Cτ,条件(R)确保Cτ与C有相同的余单位元ε.对(M,ρM)∈MCHΗC,ρM:M→M⨂C,ρM(m)=∑m0⨂m1,定义ρτ:M→M⨂Cτ,ρτ(m)=∑m0m1,-1⨂m1,0,其中M的右H-模作用不变,(M,ρτ)记作Mτ.定理1.11)τ,C,Mτ如上所述,则下列结论等价:(a)对所有M∈MCHΗC,Mτ∈MCτHΗCτ;(b)Cτ是右H-模余代数,(C⨂H)τ∈MCτHΗCτ,其中C⨂H∈MCHΗC,(c⨂h)←g=c⨂hg,ρ(c⨂h)=∑c1⨂h1⨂c2h2分别是C⨂H的右H-模作用和右C-余模作用;(c)对任意c∈C,h∈H,2)若(1.1.1)和(1.1.2)成立,则可定义MCHΗC到MCτHΗCτ的函子Fτ,Fτ(M)=Mτ,Fτ(f)=f,其中M∈MCHΗC,f是MCHΗC中的态射.3)若τ满足(1.1.1)和(1.1.2),且有逆元λ,则λ对Cτ满足(1.1.1)和(1.1.2),(Cτ)λ=C,函子Fτ是模范畴同构,逆为Fλ:MCτHΗCτ→MCHΗC.证明1)(a)⇒(b):显然.(b)⇒(c):由定义得ρτ(c⨂h)=∑c1⨂h1(c2h2)-1⨂(c2h2)0,因为(C⨂H)τ∈MCτHΗCτ,所以令h=1,则∑c1⨂g1(c2g2)-1⨂(c2g2)0=∑c1⨂c2,-1g1⨂c2,0g2.用ε⨂id2作用式子两端得∑g1(cg2)-1⨂(cg2)0=∑c-1g1⨂c0g2.又因为(C⨂H)τ是右Cτ-余模,则即τ满足(1.1.1)和(1.1.2).(c)⇒(a):设τ满足(1.1.1)和(1.1.2),M∈MCHΗC,则Mτ∈MCτHΗCτ.2)f:M→N是MCHΗC中的态射,易证f:Mτ→Nτ是MCτHΗCτ中的态射,只要证f是右Cτ-余模同态.3)设λ为τ的逆元,记λ(c)=∑c(-1)⨂c(0),显然λ满足条件(R),且由逆元定义得记Δτ(c)=∑c1c2,-1⨂c2,0=∑c(1)⨂c(2).即∑c(-1)⨂c(0)(1)c(0)(2)(-1)⨂c(0)(2)(0)=∑c(1)(-1)c(2)(-1)1⨂c(1)(0)c(2)(-1)2⨂c(2)(0).λ对Cτ满足(1.1.1)和(1.1.2),易证Fλ(Mτ)=M,Fτ(Nλ)=N,其中M∈MCHΗC,N∈MCτHΗCτ.Fλ是Fτ的逆,且(Cτ)λ=C.引理1.2若H为Hopf代数,则(1.1.1)变为τ成为H-模映射,其中H在自身上的模作用是右伴随.定义1.3若τ,C满足(1.1.1)和(1.1.2),则称τ为MCHΗC到MCτHΗCτ的扭,Cτ为C的扭余代数或扭;若τ可逆,则称扭可逆.2mcmh,cmh,cmhcmh下面我们考察左扭的描述.C为右H-模余代数,类似定义Hom(C,C⨂H)的乘法“×”:γ×μ=Tue0c9((Tue0c9μ)*(Tue0c9γ)),对任意γ,μ∈Hom(C,C⨂H),其中T是换位映射.若(T。μ)*(T。γ)=(T。γ)*(T。μ)=σ,则称γ可逆,μ是γ的逆元.设γ∈Hom(C,C⨂H),且满足定义γΔ:γΔ(c)=∑c1,0⨂c2c1,1,其中γ(c)==记作∑c0⨂c1,(C,γΔ)γ(c)=记作∑c0⨂c1,(C,γΔ)记作γC.任给M∈CMH,ρ(m)=∑m-1⨂m0是左C-余模结构映射,定义γρ(m)=∑m-1,0⨂m0m-1,1,记(M,γρ)为γM,γM的右H-模作用不变,γC和C有相同的余单位元ε,且(ε⨂id)γρ(m)=m,因为CMH≅MCcopHcopΗcopCcop,易证(CTue0c9γ)cop=γ(Ccop),(Ccop)Tue0c9γ=(γC)cop.命题2.1设C,γ如上所述,M∈CMH,γM∈γCMH当且仅当对所有c∈C,h∈H,若(2.1.1)和(2.1.2)成立,则γC成为右H-模余代数,可定义函子Fγ:CMH→γCMH,Fγ(M)=γM,Fγ(f)=f,且若γ有逆元μ,则μ对γC满足(2.1.1)和(2.1.2),Fγ为范畴同构,μ(γC)=C.证明对M∈CMH,φ:γCMH→M(Ccop)Tue0c9γHcop,γM→MTue0c9γ是标准同构.因此对所有M∈CMH,γM∈γCMH⇔T。γ是MCcopHcop到M(Ccop)T˚γHcopΗcop(Ccop)Τ˚γ的扭.由定理1.1可以简单验证本命题.引理2.2H为Hopf代数,且s有逆映射s¯s¯时,(2.1.1)变为此时γ为H-模同态.定理2.3设H为Hopf代数,且有双射的对极s,则存在MCHΗC到MCτHΗCτ的可逆扭τ当且仅当存在CMH到γCMH的可逆左扭γ,且H-模余代数γC≅Cτ.证明设τ的逆元λ,τ(c)=∑c-1⨂c0,λ(c)=∑c(-1)⨂c(0).定义γ:C→C⨂H,易证γ满足条件(R′).即γ满足条件(2.2.1).定义f:γC→Cτ,f(c)=∑c0s¯(c−1)∑c0s¯(c-1)与f-1:Cτ→γC,f−1(c)=∑c(0)s¯(c(−1))Cτ→γC,f-1(c)=∑c(0)s¯(c(-1)),易证f与f-1为右H-模同态,f与f-1互为逆映射.下面证明γ满足(2.1.2).因f为单射,故只需证则γ满足(2.1.2),γ是CMH到γCMH的扭(左扭).令μ:C→C⨂H,同理可证(μ×γ)(c)=∑c0(0)⨂c1c0(1)=c⨂1H,则μ与γ互为逆元,γC≅Cτ(模余代数同构),CMH≅γCMH.反之,设γ是CMH到γCMH的可