关于升降法的一些问题

关于升降法的一些问题

1种调整型升降法,即当过程中,对于描述作为一种缓慢的感度试验研究方法，《上升法》在中国火炸药行业的应用已经超过10年。它的介绍和普及应用过程,部分已成为很有影响的文献,并且形成了国家标准。在应用过程中,随着经验的积累和认识的深入,针对方法所存在的问题,主要是标准偏差的估值不好,我们完成了一些研究工作。这些工作的主要之点,在于认识估计式σ的非无偏性,分别从经验和理论分析的角度,去修正这一系统误差,并且简化所得到的结果以付诸实用。但是,所有的研究工作,都没有去触及这一估值的缺点的另一方面,即精度低(标准误差大),且精度不是由样本大小所完全确定。Dixon和Mood给出的渐近标准误差公式被认为即使在小样本的情况下,也可以作为估计式μ和σ的精度的估计值,而且还略微保守些。这些公式对于文献中给出的修正的估计式也适用。公式(1.1)中的系数G和H,与样本大小n无关,但却依赖于试验设计参数d和y0,即相邻二刺激量之间的距离(称作步长)和初始刺激量。这两个参数(特别是d)的不恰当的选择,会导致系数G和H值的无限制地增大,从而使得所得到的μ和σ值,对真值μ和σ几乎没有什么参考意义。即使排除掉这种异常情形,还因为G和H对参数d和y0的依赖关系,要涉及μ和σ这些尚属未知的因素,不能在试验前得出确定的数值关系。这一不确定性,常常使得按通常设计统计试验时的“预定估值精度——确定样本大小”的程序,所设计的试验,或者不能达到预定的精度,或者造成样本量不必要地大而浪费人力物力。这是当前升降法使用中的大问题。对于升降法的这一固有缺点,实用中通常采取的措施是进行预备试验,以较恰当地选择d和y0的值。但这样做,一方面浪费了预备试验,不能把其中关于μ和σ的信息组合到最终的估值中,更主要的是区区一、二十件样品的预备试验,远不能为d和y0的选择提供较为可靠的参考,因而不可能显著地克服上述缺点。本文给出一种逐步调整参数d和y0,并且逐步逼近预定估值精度的试验设计方法,以及相应的多样本组合统计分析公式。使用这一调整型的升降法,序贯地进行相对说来较小的一组组试验,可以将所有试验提供的关于μ和σ的信息都组合到估值中,并且在“组”单位的意义下,及时调整试验设计参数,依照预定的精度要求,恰当地确定试验量。在第二段首先给出多个样本的组合估值公式,第三段给出序贯调整的试验程序,并且指出一定可以用有限组试验达到精度要求。2升降法的估计式:偏因子假设对某一分布的参数θ有估计式。并设由k个独立的样本,得到了θ的k个估值,其方差分别为。下文中∑号并是代表对i=1,2,…,k求和。定理1.设E(θ)=θ,即为无偏估计。那么估计式仍然是θ的无偏估计;在的所有的加权平均中,以θ的方差为最小,方差定理1的结论,实际上给出以θ1,θ2,…,θk作为观察值的线性极小方差估计。因此,可以作为Kalman滤波定理的简单特例导出。也可以用求极值的方法证明.为了讨论非无偏估计的情形,首先给出如下定义。定义:设E(θ)=bθ。称6为估计式θ的偏因子。通常估计式的偏因子对样本大小有确定的依赖关系。对于非无偏估计的情形,有属于定理1的如下两个推论。推论1.设不是无偏估计,。那么估计式为无偏估计,且方差为在的所有的无偏化的线性组合中为最小。证明:对于无偏估计式引用定理1立得。推论2.设。则估计式在的所有的加权平均中有最小的方差,方差由(2.2)式给出,而θ的偏因子为b1,b2,…,bk的同一加权平均。证明:方差及其最小性由定理1得到。对式(2.5)求均值,可以导出偏因子的关系式.现在,将上述这些一般性的结果用于正态总体的升降法样本。没有来自同一总体,或者有相同均值的不同总体的k个升降法样本,互相独立。样本大小分别为n1,n2,…,nk。按升降法的估值公式,求得估值。引用(1.1)式有方差引用推论2,则有组合的估值公式其标准偏差这一估值在的所有加权平均中有最小的标准误差,并且保持偏量小于各个μi的最大偏量。如果σi=σ,i=1,2,…,k。例如各样本来自同一总体的情形,则(2.7)式和(2.8)式成为对于标准偏差σ的估计,同样的讨论得到有最小标准误差的组合估值公式其中各Hi表示(1.1)式中的H由各组样本产生的值。利用,再求出作为总的样本大小,就可以进一步用通常的公式作区间估计、假设检验等项分析。值得指出的是,虽然升降法的估计式μ和σ都没有严格的无偏性证明,但经验结果表明,不存在μ的明显的系统误差,而σ值却系统地偏小。而且对于升降法的估计式,若偏因子不为1,它除了依赖于样本大小外,还依赖于另外两个试验设计参数d和y0,确切地说是依赖于比值d/σ和差y0-μ,因而难以建立偏因子b的关系式,无法使用推论1中的公式。文献给出的修正的估计式σ有显著的修正效果;当n→∞时,两种估计式趋于一致,而样本越小修正效果越显著。推论2关于组合估计式的偏因子的结论说明,在将多个不很大的样本加以组合时,修正的σ估计式较文献的原估计式有明显的优越性,因为修正式没有明显的偏量,而文献的式在小样本时的严重偏小性质,却会在求组合估值时被固定下来,失去了在n很大时偏因子趋于1的好的性质。3调整型升降法的应用假设对一个正态总体,需要作求估值μ和σ的感度试验。由于μ的精度总是优于σ,作试验设计时可以只从求σ着眼考虑。采用相对误差概念,σ的估值精度可以用表示。根据(2.12)式,有调整型升降法试验设计和分析程序可描述如下:Ⅰ.给定精度指标δ>0。给出初始估值μ和σ。置k=1。转Ⅱ。Ⅱ.取。取Nk件样品,完成一组升降法试验。转Ⅲ。Ⅲ.按升降法的分析公式,求出和Hk。然后根据公式(2.9)和(2.11)求μ和σ,再用(3.1)式求出r。转Ⅳ。Ⅳ.如果r≤δ,则转V;否则置k=k+1,转Ⅱ。Ⅴ.以μ和σ为最终的估值,同时据(2.13)、(2.10)和(2.12)式求出n,σμ和σσ。停止。程序完。从公式(3.1)可以看出,下述定理明显成立。定理2.设各系数Gi和Hi有界,N,有正的下界,则对于预定的精度指标δ>0,利用调整型升降法,一定可以通过有限组试验,得到符合精度要求的估值。显然,在定理2的假设条件下,r值随k的增大而单调下降趋向于零。因为随着d和y0值的调整,会避免H值无界增长的可能性,所以定理2中关于Gi和H,的假设是合理的。关于Ni,宜取Ni≡30。这是一个合理的折衷:Ni过小,不利于各单组试验的估值;过大的“组”单位则会降低此调整设计的意义。上述程序中加入下列步骤,可以进一步加强调整的效果。首先修改Ⅳ为Ⅳ.如果r≤δ,则转V;否则转Ⅵ。Ⅵ.如果成立0≤(σ-d)/σ≤0.1,则在原第k组试验的基础上,依升降法规则续试N′件样品,然后转Ⅲ;否则转Ⅱ。取N′<