安徽省合肥一中八中、六中2023年高二上数学期末检测试题含解析

安徽省合肥一中，八中、六中2023年高二上数学期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.2．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（）A.1 B.C.3 D.3．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（）A.圆 B.直线C.平面 D.线段4．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A. B.C. D.5．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）6．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.7．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（）A. B.C. D.8．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.9．圆心在直线上，且过点，并与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.10．若，则（）A.22 B.19C.－20 D.－1911．已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点T在抛物线C的准线上，线段FT与抛物线C的交点为W，，则（）A.1 B.C. D.12．在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据的平均数为4，方差为3，若另一组数据的平均数为10，则该组数据的方差为_______.14．已知正方体的棱长为2，E为线段中点，F为线段BC上动点，则（1）的最小值为______；（2）点F到直线DE距离的最小值为______.15．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是__________16．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn18．（12分）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若时，对任意都有恒成立，求实数的最大值19．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点（1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值20．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏50岁以上6022050岁及50岁以下4080（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率知识解释其合理性；（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，则，，.21．（12分）已知函数图像在点处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）求函数在上的最值.22．（10分）已知圆O：与圆C：（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答若______，判断这两个圆的位置关系；（2）若，求直线被圆C截得的弦长注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2、D【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.【详解】由，可知，则有，解之得故选：D3、C【解析】根据法向量的定义可判断出点所构成的图形.【详解】是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件，所以，构成的图形是经过点，且以为法向量的平面.故选：C.【点睛】本题考查空间中动点的轨迹，考查了法向量定义的理解，属于基础题.4、A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.5、D【解析】根据图形可得（1）具有函数关系；（2）（3）的散点分布在一条直线或曲线附近，具有相关关系；（4）的散点杂乱无章，不具有相关关系.【详解】对（1），所有的点都在曲线上，故具有函数关系；对（2），所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；对（3），所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；对（4），所有的散点杂乱无章，不具有相关关系.故选：D.6、A【解析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围【详解】对任意都有恒成立，则时，，当时恒成立，

，当时恒成立，，故选：A7、D【解析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，，取AC的中点O，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以在上的投影的长度为，故点C到直线距离为：.故选：D8、C【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；故选：C9、A【解析】设圆的圆心，表示出半径，再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.【详解】∵圆的圆心在直线上，∴设圆心为(a，－a)，∵圆过，∴半径r＝，又∵圆与相切，∴半径r＝，则，解得a＝2，故圆心为(2，－2)，半径为，故方程为.故选：A.10、C【解析】将所求进行变形可得，根据二项式定理展开式，即可求得答案.【详解】由题意得所以.故选：C11、B【解析】根据平面向量共线的性质，结合抛物线的定义进行求解即可.【详解】由已知得：，该抛物线的准线方程为：，所以设，因为，所以，由抛物线的定义可知：，故选：B12、C【解析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】，，，为锐角三角形，的外接圆就是它的最小覆盖圆，设外接圆方程为，则解得的最小覆盖圆方程为，即，的最小覆盖圆的半径为.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、12【解析】根据题意，先通过原始数据的平均数、方差及新数据的平均数求出k，进而求出新数据的方差.【详解】由题意，原式数据的平均数和方程分别为：，则新数据的平均数，于是新数据的方差.故答案为：12.14、①.；②..【解析】建立空间直角坐标系.空一：利用空间两点间距离公式，结合平面两点间距离公式进行求解即可；空二：根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有.空一：，代数式表示横轴上一点到点和点的距离之和，如下图所示：设关于横轴的对称点为，当线段与横轴的交点为点时，有最小值，最小值为；空二：设，为垂足，则有，，，因为，所以，因此，化简得：，当时，即时，此时，有最小值，即最小值为，故答案为：；【点睛】关键点睛：利用空间向量垂直的性质进行求解是解题的关键.15、【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.故答案为：16、【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.【详解】，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题18、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）利用导数与单调性的关系分类讨论即得；（2）由题可得在上恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即可.【小问1详解】的定义域为，且当时，显然，在定义域上单调递增；当时，令，得则有：极大值即在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，，对于满足恒成立，在上恒成立，令，只需∴，，，令，则，在上单调递增，又，，存在唯一的，使得，即，两边取自然对数得，极小值，则的最大值为19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【小问1详解】因为D，H分别是PA，PC的中点，所以因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，综上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小问2详解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，则因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，有，，，，则，，设平面BPC的法向量为，则，令，则设平面PCA的法向量为，则，令，则所以．由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为20、（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.【解析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断；(ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.【详解】（1）依题意有，由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）(ⅰ)若潜伏期，由，得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，于是，则，，当时，；当时，；∴，.故当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率21、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲线在的值以及切线斜率容易确定a与b的值；根据导数很容易确定函数单调区间以及极值点.【小问1详解】，，，由于切线方程是，当x=1时，y=-8，即，即=-8……①；又切线的斜率为-12，∴……②；联立①②得.【小问2详解】由（1）得：，；当时，，导函数图像如下：在时，单调递增，时，单调递减，时单调递增；∴在x=-1有极大值，x