2024版新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念导学案新人教A版必修第一册

第1课时奇偶性的概念【学习目标】(1)理解奇函数、偶函数的定义．(2)了解奇函数、偶函数的图象特征．(3)能用定义判断函数的奇偶性．【问题探究1】观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：(1)这两个函数的图象有何共同特征？(2)对于上述两个函数，f(1)与f(－1),f(2)与f(－2)，f(a)与f(－a)有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？【问题探究2】观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：(1)这两个函数的图象有何共同特征？(2)对于上述两个函数，f(1)与f(－1),f(2)与f(－2)，f(a)与f(－a)有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？题型1函数奇偶性的判断例1(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；(3)f(x)＝x2＋x；(4)f(x)＝x2题后师说判断函数奇偶性的3种方法跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2xx(2)f(x)＝x4题型2奇、偶函数的图象及应用例2已知函数f(x)为定义在[－3，3]上的偶函数，其部分图象如图所示．(1)请作出函数f(x)在[0，3]上的图象；(2)根据函数图象写出函数f(x)的单调区间及最值．学霸笔记：利用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．跟踪训练2已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．题型3利用函数的奇偶性求值例3(1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝()A．26B．18C．10D．－26(2)设函数f(x)＝x+1x+ax为奇函数，则a＝一题多变(1)将本例(2)中的函数改为f(x)＝x+ax2+1是奇函数，则a(2)将本例(2)中的函数改为函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是________．题后师说1．利用函数奇偶性求值的方法(1)未知的值不在已知的范围内，可利用函数的奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；(2)有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接地求值．2．已知函数的奇偶性求参数的2种方法跟踪训练3(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝()A．1B．1C．－1D．3随堂练习1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()2．下列函数中为偶函数的是()A．y＝1xB．y＝(x＋2)C．y＝2xD．y＝|x|3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则2f(－1)＋3f(－2)的值为()A．－7B．7C．5D．－54．若函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上为奇函数，则a＋b＝________．课堂小结1.函数的奇偶性(1)定义域特点：关于原点对称；(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.2．判断函数奇偶性的方法(1)定义法；(2)图象法．3．利用函数奇偶性求值的方法(1)定义法；(2)特值法．第1课时奇偶性的概念问题探究1提示：(1)都关于y轴对称．(2)f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(a)＝f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等．即f(－x)＝f(x)，满足这种性质的函数叫作偶函数．问题探究2提示：(1)都关于原点对称．(2)f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，f(a)＝－f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相反，f(－x)＝－f(x)，满足这种性质的函数叫做奇函数．例1解析：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数．(2)函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数．(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数．(4)要使函数有意义，需满足x2-4≥0，4-x2≥0，解得x所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．跟踪训练1解析：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝-2x-x2+3＝-2x(2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f(－x)＝-x4-x2-1＝例2解析：(1)画图如图：(2)根据函数图象，f(x)的单调递增区间为[－3，－2]，[0，2]，f(x)的单调递减区间为(－2，0)，(2，3]，f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为－2.跟踪训练2解析：由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，则函数在[－5，5]上图象如下：所以f(x)<0的解集为(－3，0)∪例3解析：(1)方法一由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝-x5+a-x3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.方法二由已知条件，得f①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.故选D.(2)方法一(定义法)由已知f(－x)＝－f(x)，即-x+1-x+a显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)方法二(特值法)由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，即-1+1-1+a整理得a＝－1(经检验满足题意)．答案：(1)D(2)－1一题多变解析：(1)∵f(x)＝x+ax∴f(0)＝a1＝0∴a＝0，检验，当a＝0时，f(－x)＝-xx2+1＝－ff(x)＝xx(2)方法一f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.方法二由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m)，解得m＝2.答案：(1)0(2)2跟踪训练3解析：(1)因为函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1.而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.故选C.(2)因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝13且有－b2a＝0，可得b＝0，因此，a＋b＝13.答案：(1)C(2)B[随堂练习]1．解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.答案：B2．解析：A：f(－x)＝1-x＝－1x＝－f(x)且定义域为{x|xB：f(－x)＝(－x＋2)2≠±f(x)，为非奇非偶函数；C：f(－x)＝－2x＝－f(x)且定义域为R，为奇函数；D：f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)且定义域为R，为偶函数．故选D.答案：D3．解析：依题意，f(x)是奇函数，结