2024届甘肃省武威第十八中学三高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024届甘肃省武威第十八中学三高二数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（）A.若，则存在无数条直线，使得B.若，则存在无数条直线，使得C.若存在无数条直线，使得，则D.若存在无数条直线，使得，则2．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B.C. D.3．已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.-4 B.4C.-2 D.24．设函数的图象为C，则下面结论中正确的是（）A.函数的最小正周期是B.图象C关于点对称C.函数在区间上是增函数D.图象C可由函数的图象向右平移个单位得到5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（）A. B.C D.6．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.67．设是周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.C. D.8．正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（

）A. B.C. D.9．点到直线的距离是（）A. B.C. D.10．执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.8 B.9C.27 D.3611．如图，在空间四边形中，（）A. B.C. D.12．如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为和，标准差分别为和，则（）AB.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数为奇函数，当时，，则_______14．数列满足前项和，则数列的通项公式为_____________15．若直线与圆有公共点，则b的取值范围是_____16．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在数列中，，是与的等差中项，（1）求证：数列是等差数列（2）令，求数列的前项的和18．（12分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.19．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.（1）求此抛物线的方程；（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.20．（12分）已知，以点为圆心圆被轴截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.21．（12分）已知椭圆经过点，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B是椭圆C的上，下顶点，点P是直线上的动点，直线PA与椭圆C的另一交点为E，直线PB与椭圆C的另一交点为F．证明：直线EF过定点22．（10分）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，（1）求数列的首项和公差；（2）求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据直线和直线，直线和平面的位置关系依次判断每一个选项得到答案.【详解】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确；若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确；若存在无数条直线，使得，，，则，C正确；当时，存在无数条直线，使得，D错误.故选：D.2、C【解析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.3、B【解析】根据，利用等比数列的通项公式求解.【详解】因为，所以，则，解得，所以.故选：B4、B【解析】化简函数解析式，求解最小正周期，判断选项A，利用整体法求解函数的对称中心和单调递增区间，判断选项BC，再由图象变换法则判断选项D.【详解】，所以函数的最小正周期为，A错；令，得，所以函数图象关于点对称，B正确；由，得，所以函数在上为增函数，在上为减函数，C错；函数的图象向右平移个单位得，D错.故选：B5、A【解析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A6、D【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D7、A【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，又函数为奇函数，∴．故选A【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值8、B【解析】由正方体表面积求得棱长，再求得正方体的对角线长，即为外接球的直径，从而可得球表面积【详解】设正方体棱长为，由得，正方体对角线长，所以其外接球半径为，球表面积为故选：B9、B【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.【详解】由点到直线距离公式得故选：B10、B【解析】执行程序框图，第一次循环，，满足；第二次循环，，满足；第三次循环，，不满足，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11、A【解析】利用空间向量加减法法则直接运算即可.【详解】根据向量的加法、减法法则得.故选：A.12、B【解析】直接根据图表得到答案.【详解】根据图表：样本数据均小于等于10，样本数据均大于等于10，故；样本数据波动大于样本数据，故.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.【详解】函数为奇函数，当时，，所以.故答案为-1.【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.14、【解析】由已知中前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式【详解】∵数列前项和，∴当时，，又∵当时，，故，故答案为.【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键15、【解析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数取值范围是.故答案为：16、【解析】由，可得∥，从而可得，代入坐标列方程可求出，从而可求出【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量，，所以∥，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差数列的定义可证得结论成立；（2）求出，可计算得出，利用并项求和法可求得数列的前项的和.小问1详解】解：由题意知是与的等差中项，可得，可得，则，可得，所以，，又由，可得，所以数列是首项和公差均为的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得：，，对任意的，，因此，.18、（1），中位数为；（2）.【解析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数性质求中位数即可.（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.【小问1详解】由图知：，解得.学生成绩在的频率为；学生成绩在的频率为.设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.【小问2详解】由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.19、（1）（2）【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.【详解】（1）由题知：抛物线的焦点到准线的距离为，∴抛物线的方程为（2）设联立，得，则，，，∵以为直径圆过原点O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.20、（1）（2）或【解析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：解得：则圆的方程为：【小问2详解】当直线的斜率不存在时，则有：故此时直线与圆相切，满足题意当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为直线的方程为：则有：解得：，此时直线的方程为：综上可得，直线的方程为：或21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，通过解方程组，即可求出答案.（2）法一：设，，；当时，根据点的坐标写出直线PA的方程，与椭圆方程联立，可求出点的坐标；同理可求出点的坐标，然后即可求出直线EF的方程，从而证明直线EF过定点.法二：首先根据时直线EF的方程为，可判断出直线EF过的定点M必在y轴上，设为；然后同方法一，求出点，的坐标，根据，即可求出的值.【小问1详解】由题意，知，解得，所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】法一：设，，，当时，直线PA的方程为，由，得解得，所以．所以同理可得所以直线EF的斜率为，所以直线EF的方程为，整理得，所以直线EF过定点当时，点E，F在y轴上，EF的方程为，显然过点综上，直线EF过定点法二：当点P在y轴上时，E，F分别与B，A重合，直线EF的方程为，若直线EF过定点M，则M必在y轴上，可设当点P不在y轴上时，设，，，则直线PA的方程为，由，得，解得，所以