构造函数法证明不等式的常见方法

,.构造函数法证明不等式一、教学目标：1.知识与技能：利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性和最值来证明不等式.谢谢阅读2.过程与方法：引导学生钻研教材，归纳求导的四则运算法则的应用，通过类比，化归思感谢阅读想转换命题，抓住条件与结论的结构形式，合理构造函数.谢谢阅读3.情感与态度：通过这部分内容的学习，培养学生的分析能力（归纳与类比）与推理能力感谢阅读（证明），培养学生战胜困难的决心和解题信心。二、教学重难点：解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数精品文档放心下载的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数谢谢阅读是用导数证明不等式的关键。难点：将命题的结论进行转化与化归，变成熟悉的题型。感谢阅读三、教法学法：变式训练四、教学过程：（一）引入课题：1.复习导数的运算法则：2.问题探源：（教材第32页B组题第1题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证感谢阅读(3)ex1x(x0)(4)lnxx1(x0)3.问题探究：1、直观感知（几何画板演示）；（2）推理论证,.高考探究：1、(2013年北京高考）设L为曲线C：ylnxx在点(1，0)处的切线.精品文档放心下载(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.感谢阅读变式练习1：若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)感谢阅读,.变式练习2：证明：对任意的正整数n，不等式ln(11)111都成立n1n（类似还有2012年湖北高考题第22题）变式练习3：已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n(1n)m精品文档放心下载思考题5．（全国卷）已知函数g(x)xlnx谢谢阅读0ab,证明：g(a)g(b)g(ab)谢谢阅读22,.五.小结：（1）知识点：（2）解题步骤：（3）数学思想方法高考真题训练：1.【2015年新课标Ⅰ文21】.（本小题满分12分）设函数fxe2xalnx.感谢阅读2分析：利用函数最值和不等式单调性证明.,.2.【15北京理科】已知函数fxln1x求证：当x0，1时，fx2x3；1x，x3分析：移项构造函数利用函数单调性求证。3.【2013年陕西高考21题】已知函数f(x)ex,xR.精品文档放心下载设ab,证明：abf(b)f(a).f2ba,.4.【2015年新课标Ⅱ】设函数f(x)emxx2mx.谢谢阅读若对于任意x1,，x2∈[-1,1]，都有｜f(x1)-f(x2)｜≤e-1，求m的取值范围．谢谢阅读方法小结：利用绝对值的定义化归，转化为函数的单调性和最值证明不等式.谢谢阅读,.5.【2014年新课标Ⅰ21】.设函数f(x0aexlnxbex1，曲线yf(x)在点（1，f(1)x处的切线为ye(x1)2.(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）证明：f(x)1.方法小结：不等式转化为f(x)g(x)minmax6.【2013年新课标Ⅱ】已知函数f(x)exln(xm)，当m≤2时，证明f(x)>0精品文档放心下载方法小结：分类讨论，充分利用第一问的结论作为条件解题，超越方程利用勘根定理近似计精品文档放心下载算，利用极值证明单调性。,.高考函数不等式证明答案1.解：（I）fx的定义域为0,,fx2e2xax(x0).精品文档放心下载a≤0时，fx0，fx没有零点；谢谢阅读a0时，因为e2x单调递增，ax单调递减，所以fx在0,单调递增，又fa0，精品文档放心下载b满足0＜b＜a且b＜1时，f(b)0，故当a>0时fx存在唯一零点.谢谢阅读4 4,.……6分（II）由（I），可设fx在0,的唯一零点为x，时，f＜0；00故fx在x0，x单调递减，0xx，时，fx＞0.0在，取得最小值，最小值为fx.000由于2e2x0a0，所以fxa2axa1n22aa1n2.x02x0aa00故当a0时，22aa1na.fx……12分2.解：（Ⅰ）f(x)ln1x,x(1,1),f(x)2,f(0)2,f(0)0，1x1x2yfxy0；曲线在点0，f0处的切线方程为2x32(xx3)0（Ⅱ）当x0，1时，fx2x3，即不等式f(x)，对3x(0,1)成立，设F(x)ln1x2(xx3)ln(1x)ln(1x)2(xx3)，则1x33Fx)2x4x0，1F(x)0F(x)1x2(，当时，，故在（0，1）上为增函数，则F(x)F(0)0，因此对x(0,1)，f(x)2(xx3)成立；3x3（Ⅲ）使fxkx3成立，x0，1，等价于Fx)1xkxx3x0，1(ln1x(3)0，；22)kx42k，F(x)k(1x1x21x2,.当k[0,2]时，F(x)0，函数在（0，1）上位增函数，F(x)F(0)0，感谢阅读符合题意；当k2时，令F(x)0,x4k2(0,1)0k，x(0,)x(,1)xx000F(x)-0+F(x)]极小值ZF(x)F(0)，显然不成立，综上所述可知：k的最大值为2.（I）函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)aex1nxaexbex1bex1.谢谢阅读x x2 x4.解由题意可得f(1)2,f'(1)e.谢谢阅读故a1,b2.22（II）由（I）知f(x)ex1nxex1,从而f(x)1等价于x1nxxexe.感谢阅读所以当x(0,1e)时，g'(x)0;当x(1e,)时，g'(x)0.精品文档放心下载故g(x)在（0,1e）单调递减，在（1e,）单调递增，从而g(x)在(0,)的最小值为g(1e)=-1e.精品文档放心下载设函数h(x)xex2e,则h'(x)ex(1x)