《三反证法与放缩法》教学设计(广东省县级优课)-数学教案

课题名称选修4-5第二讲证明不等式的基本方法《反证法与放缩法（第1课时）》授课者王丽玲教材分析前面所讲比较法、综合法、分析法几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。教学目标（一）知识与技能：了解反证法的概念和步骤。培养学生用反证法证明不等式问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题能力。（二）过程与方法：通过一些简单不等式证明问题，使学生了解反证法的基本步骤，引导学生体会适宜于用反证法证明的不等式的特点．探索用反证法证明不等式的技巧。学会用反证法证明不等式。（三）情感态度与价值观：培养学生的逻辑推理能力，在推理过程中体验数学活动充满探索性和创造性，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。教学的重难点重点：理解反证法的思路方法和步骤，分析要用反证法证明的不等式问题的特点，理解用反证法证明不等式的思想。难点：反证法的证明技巧，从不等式结论的否定推出矛盾，得到不等式的证明。教学方法本节课采用以探究发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合导学案和多媒体辅助教学。教学环节教学内容设计意图问题引入，引发思考问题情境请判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。1.三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°2.两条直线相交只有一个交点。3.若|a|<a+2,则a>-1思考：用什么证明方法解决问题？师生活动：分析3个命题的真假，引导学生发现判断的方法：正难则反，逆向思维，引出反证法。从对3个较简单的命题的研究，引入反证法，让学生初步体会反证法的思想方法。概念巩固加深理解（一）反证法的定义在证明一个命题时，先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）相矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，称为反证法。（二）反证法的证明步骤（1）反设——假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2）归谬——从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）存真——由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。师生活动：师生共同研讨反正法的特点，需要注意的地点及基本步骤。引导学生回顾反证法的基本思想方法及其证明步骤。为后面采用反证法证明不等式提供方法依据。自主检测强化知识1.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这也三角形内角和为180°矛盾。故假设错误。②所以一个三角形不能有两个直角。③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°.上述步骤的正确顺序为______________.2.若要证明“a,b中至少有一个小于2”，用反证法证明时应假设为_________________3.命题“”用反证法证明时应假设为________4.已知,用反证法求证时的假设为()师生活动：学生自主完成检测题，通过课题交流，师生共同完善、补充如何正确的否定命题结论，走好第一步。通过检测1检测学生对反证法证明步骤的掌握，通过检测2-4引导学生重视反证法第一步——如何正确反设。知识应用例题剖析例1：已知且求证：中至少一个小于2。探究1：例1的结论包含了哪些情况？你能用直接证法来证明这个问题吗？师生活动：分析例1结论的几种情况，学生通过亲自尝试，认识到直接证明的困难，从而考虑用反证法证明。师生共同完成例1的完整证明。教师引导学生发现，像这种有“至少”“至多”的命题的证明一般从反面去证明.【变式训练1】已知，求证：中至少有一个不少于。师生活动：学生独立思考，给出证明，引导学生认识当所给条件较少，矛盾不明确时，如何根据条件创造矛盾。例2.已知实数a,b,c，求证：探究2：该命题结论的否定（a,b,c不全是正数）包含几种情形，可否简化？师生活动：教师提出问题，先由学生思考回答，引导学生注意有多种情形，由于反面情况太多，将学生的思路引到如何简化的问题上，让学生发现特点，并独立完成证明过程。【变式训练2】若a,b,c都是小于1的正数，求证：反证法通常用于直接证法不能实现证明的目的的情况，首先应该让学生对于问题的特点和困难有一定的认识，才能使学生认识引入反证法的必要性，并尝试用反证法去证明。引导学生关注条件“轮换对称”的特点，并学习用这种特点简化证明。学生独立完成训练题，进一步强化反证法证明不等式的基本思想和方法技巧。方法小结【说一说】你能总结出要用反证法证明的不等式的特点，以及用反证法证明不等式时要注意的问题吗？师生活动：教师引导学生总结，凡涉及不等式为否定性命题、唯一性、存在性命题可考虑反证法。如证明中含有含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式。用反证法证明不等式时，正确地否定不等式的结论非常重要，应全面、、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用。引导学生及时归纳反证法证明不等式的基本思想。课外拓展【学家眼中的反证法】维也纳科学哲学家皮普尔说：“不能被反正的理论就不能称为科学的理论。”牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象