四川省雅安市天立学校2022-2023学年高二上学期第一次月考 数学（文科）试题（含解析）

雅安天立学校高2021级2022—2023学年度上期第一次教学质量测试文科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.已知：直线，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以，此时两直线不重合，所以的值为.故选：B2.已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，4【答案】C【解析】【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解.【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，所以圆的圆心和半径分别为，2.故选：C.3.已知点和在直线的异侧，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两点在直线的异侧，即可求出a的取值范围.【详解】由题意，点和在直线的异侧,即,解得：，的取值范围是,故选：D.4.已知直线l经过点，点，则直线l的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，根据点斜式方程求出直线方程.【详解】解：因为直线l经过点，点，所以，所以：，整理得，，故直线：，故选：A.5.若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点与圆的位置关系，列出不等式求解即得.【详解】由点在圆C：外，得，而，所以实数m的取值范围是.故选：C6.设点，，直线l过与线段AB相交，则l的斜率k取值范围是（）A.或 B.C. D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图，当直线与线段相交时，或，所以斜率取值范围是或.故选：A7.已知0＜x＜2，0＜y＜2，且M＝+则M的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据两点间距离公式化为动点到四个定点的距离和，再根据图象确定最小值取法，即得结果.【详解】解：根据题意，可知表示点（x，y）与点A（，0）的距离；表示点（x，y）与点B（0，）的距离；表示点（x，y）与点C（，2）的距离；表示点（x，y）与点D（2，）的距离.M表示点（x，y）到A、B、C、D四个点的距离和的最小值.则可画图如下：∵的最小值是点（x，y）在线段AC上，同理，的最小值是点（x，y）在线段BD上，∴点（x，y）既在线段AC上，又在线段BD上，∴点（x，y）即为图中点P.∴M的最小值为|AC|+|BD|＝4.故选：D.【点睛】本题考查两点间距离公式以及利用数形结合求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.8.在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则即，又，联立解得：，即，所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为.故选：B.9.某公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（）A.18000元 B.16000元 C.14000元 D.12000元【答案】C【解析】【分析】设出A，B两种产品的生产吨数，列出不等关系，运用线性规划知识进行求解.【详解】解：设A产品生产吨，B产品生产吨，所获得的利润为，由题意得，约束条件为，画出约束条件的可行域，如图所示，作直线，当此直线平移过点时，取得最大值，故，所以该颜料公司一天内可获得的最大利润为元.故选：C.10.如图，在边长为的等边三角形ABC中，圆与△ABC相切，圆与圆相切且与AB，AC相切，…，圆与圆相切且与AB，AC相切，依次得到圆，，…，．当圆的半径小于时，（），n的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】设圆的半径为，则可证为等比数列，求出其通项后可求n的最小值.【详解】如图，设圆与相切于点，过作的垂线，垂足为，则，故，设圆的半径为，则即，而内切圆的半径即，故，所以即为等比数列，所以，令，则，所以，故的最小值为5，故选：A.11.已知实数x，y满足，若，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出可行域即可得出实数的最小值.详解】由题意，在中，，∴作出可行域如下：即为可行域，∵，∴转化为求与所连直线的斜率最大问题，由几何知识得，当时，直线斜率最大，为，∴，故选：D.12.在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过的重心，则Q的坐标等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出Q的坐标.【详解】由题意，如图建立直角坐标系：则，直线方程为即，三角形重心为即，设，关于直线对称点为，则，解得由光的反射可知四点共线，又，所以直线斜率为，则直线方程为，且过重心，即，整理得，解得舍去，，∴直线的解析式：，即，∵直线与直线交于点，∴，解得：，即.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；将答案书写在答题卡对应题号的横线上．）13.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______.【答案】【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率.故答案为：14.圆和圆的公共弦所在的直线方程为______．【答案】【解析】【分析】利用圆与圆的关系运算即可得解.【详解】由，方程做差得：.∴公共弦所在的直线方程为.故答案为：.15.已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是______．【答案】6【解析】【分析】求出直线所过定点，设点，由⊥得到点轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而得到的最大值为，得到答案.【详解】变形为，令，解得，故恒过点，设点，则⊥，即，整理得，所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆，又，即在圆外，则的最大值为.故答案为：616.已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果.【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为，由于直线与x轴的交点为，由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，求得.②若点M在点O和点A之间，如图：此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得，求得，故有.③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得.设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即，化简可得，由于此时，所以，两边开方可得，所以，故有.综上可得b的取值范围应是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性.三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余每题各12分，共70分；将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.直线：与直线：的交点为M，求点M到直线的距离.【答案】【解析】【分析】先联立直线方程求出点M坐标，再利用点到直线距离公式计算即可.【详解】由，解得，所以交点.因为，所以，即点M到直线的距离为.18.已知圆经讨三点．（1）求圆的一般方程；（2）已知圆，判断圆和圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）（2）圆与圆两圆相交；理由见解析【解析】【分析】（1）设圆的一般方程为，将已知点代入圆的方程，解方程组可得所求圆的方程；（2）求出两圆的圆心距，与两圆的半径和或半径差比较可得结论.【小问1详解】解：设圆的一般方程为，将代入方程可得：，解得故所求的圆的方程为：．【小问2详解】解：圆，将其化为标准方程为，记圆的圆心为，半径为．可知该圆的圆心，半径．同理将圆，将其化为标准方程为，记圆的圆心为，半径为．可知该圆的圆心，半径．，圆与圆两圆相交．19.设x，y满足．（1）求的最值；（2）求的最值．【答案】（1），（2），．【解析】【分析】（1）将求转化为直线与圆相切时的截距的最值，即可求出的最值；（2）将转化为圆上一点到原点的距离的平方的最值，即可求出的最值.【小问1详解】由题意可知x，y的轨迹为一个圆心，半径为1的圆，令，则，即求直线与圆相切时的截距的最值，当圆心到直线距离等于半径时可取到最值，∴，则或，∴，．【小问2详解】由题等价于圆上一点到原点距离的平方的最值，∴，∴，．20.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.【答案】（1）；（2）2．【解析】【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由，解得：．故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，∴，∴，由，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算21.已知某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：每件产品A每件产品B研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数，总收益用Z表示.（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益.【答案】（1），作图见解析（2）搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元.【解析】【分析】（1）由题意列出关于的不等式组及目标函数，由不等式组得到平面区域即可；（2）根据（1）中的可行域，结合目标函数的几何意义求最大值.【小问1详解】设搭载产品A为x件，产品B为y件，预计总收益.则即，作出可行域，如图：【小问2详解】作出直线：并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，联立，解得，所以（万元）.答：搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元.22.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．【解析】【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根