专题一整式的乘除

整式的乘除法一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5..掌握因式分解的常用方法。二、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：6、幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：7、积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（=8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：9、零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。如：13、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：14、完全平方公式：公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意：完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。15、三项式的完全平方公式：16、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：17、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：18、因式分解：【用提公因式法把多项式进行因式分解】【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。【分类解析】1.把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。2.在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组，求代数式的值。分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。3.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。题型展示：例1.计算：精析与解答：设，则例2.已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：是及的公因式也是多项式的二次因式而b、c为整数得：【实战模拟】1.分解因式：（1）（2）（n为正整数）（3）【运用公式法进行因式分解】【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式：特别地：（1）当时，有（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。【分类解析】1.把分解因式的结果是（）A. B.C. D.分析：。再利用平方差公式进行分解，最后得到。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。3.在几何题中的应用。例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。题型展示：例1.已知：，求的值。例2.已知，求证：例3.若，求的值。【实战模拟】1.分解因式：（1）（2）（3）3.若是三角形的三条边，求证：【用分组分解法进行因式分解】【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式分解因式，所得的结果为（）例2.分解因式2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”题型展示：例1.分解因式：例2.已知：，求ab+cd的值。例3.分解因式：【实战模拟】1.填空题：2.已知：3.已知：，试求A的表达式。【用十字相乘法把二次三项式分解因式】【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。2.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。题型展示例1.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1 B.-1 C. D.2说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。求证：【实战模拟】1.分解因式：（1）（2）（3）2.在多项式，哪些是多项式的因式？3.已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4.分解因式：三、例题分析：1.同底数幂、幂的运算：例题1.若，则a=；若，则n=.例题2.若，求的值。例题3.计算2.积的乘方例题1.计算：3.乘法公式例题1.利用平方差公式计算：2009×2007－20082例题2.利用平方差公式计算：．例题3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－变式练习2、（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－．3、已知，求xy的值4、如果a＋b－2a＋4b＋5＝0，求a、b的值4.单项式、多项式的乘除运算（1）（a－b）（2a＋b）（3a2＋b2）；（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．《整式的乘除与因式分解》单元试题一、选择题：（每小题3分，共18分）1、下列运算中，正确的是()A.x2·x3=x6 B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2 D.（x2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）（A）（B）（C）（D）3、下列各式是完全平方式的是（ ）A、 B、 C、 D、4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）（A）（B）（C）（D）5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（） A.–3 B.3 C.0 D.16、一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为（）A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm二、填空题：（每小题3分，共18分）7、在实数范围内分解因式8、___________9、若3x=，3y=，则3x－y等于10、绕地球运动的是7.9×10³米/秒，则卫星绕地球运行8×105秒走过的路程是三、计算题：（每小题4分，共12分）11、12、

13、［（x－2y）＋（x－2y）（2y＋x）－2x（2x－y）］÷2x．

四、因式分解：（每小题4分，共16分）14、15、2x2y－8xy＋8y16、a2(x－y)－4b2(x－y)

五、解方程或不等式：（每小题5分，共10分）17、

六、解答题：（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）18、若，求的值。

2