基于问题理解的学生问题解决错误“诊断”研究

基于问题理解的学生问题解决错误“诊断”研究摘要：基于学生问题理解的直译策略和问题模式策略，以百分数的应用问题解决为例，结合学生的问题理解过程对问题解决错误进行了''诊断发现：百分数应用问题解决错误的学生在问题理解上并不主要是因为直译策略的运用，但直译策略确实阻碍了一部分学生对多步问题意义和结构的理解；问题模式策略虽然可以帮助学生基于对问题情境的理解构建对问题的数学表征，但由于学生对问题的理解受多种因素的影响，如对概念的理解程度、已有知识经验的错误、问题情境转译错误、急于求成的心理等，问题模式策略也无法保证学生对问题的全面有效理解.关键词：问题理解；问题解决；直译策略；问题模式策略1问题提出学生在数学学习中出现的错误具有普遍性、长期性、复杂性、多样性等特点，虽然无法直接避免，但教师通过对学生数学错误的及时捕捉，并对其深入研究，找出学生数学错误的根源，采取一定的策略将错误变成学生学习和教师教学的资源，可以减少错误的发生.正如研究者指出，关于数学错误分析的研究是永恒的主题［1］.问题解决贯穿于教师数学教学和学生数学学习的过程之中，其对于提升学生的思维水平、培养学生问题解决能力发挥着重要价值.在问题解决教学中，教师要面对学生出现的各种错误.这些错误可能会对学生之后的数学学习产生负面的影响.正如有研究发现，数学问题解决错误是很多人数学焦虑的根源闵.然而在实践中，教师往往忽略学生的错误，或将错误视为不被接受的事物，因此改错教学更看重学生订正错误的结果，忽视了学生错误的原因分析.学生的问题解决过程是基于其先前知识经验进行建构的过程，他们不仅需要理解成功解决问题所需要的数学表征、问题解决方法，还需要理解他们尝试的解答过程为什么是错误的，而这种错因分析常常可以帮助学生形成更有差异性的更高一级的概念结构［句.由此可见，结合学生的问题理解过程对问题解决错误进行''诊断"的研究显得尤为重要.2文献综述问题解决是数学教育的一个非常重要的方面.从本质上讲，问题解决是学生的一种极其复杂的思维活动形式，它涉及的远不止是简单地回顾和运用数学知识，而是依赖于很多因素的相互作用（如知识获取和使用、信念、社会文化背景等）［5］.因此学生问题解决错误的原因也非常复杂.早期研究者注重对不同类型问题特征的研究来解释学生问题解决错误的原因.研究者通过线性回归模型，以及信息处理技术，概括出决定问题解决难度的4个任务变量：内容及内容背景变量、结构变量、语法变量和启发式行为变量，如研究发现问题陈述的长度和语句顺序的变化会影响问题的难度［6］.随着认知科学的发展，研究者更多地致力于关于问题解决成功者和失败者之间认知和情感特质的研究.如西尔弗观察到成功的问题解决者更注重问题的结构特征，失败的问题解决者更关注问题的表面细节［7］.随后，研究发现大多数学生在问题解决中遇到的困难是对问题的理解，而不是计算［8］.于是问题解决错误研究的重点就转向关注学生对问题的理解.学生对问题的理解过程即建构对问题的数学表征的过程［9］.研究表明对问题情境的不理解是学生问题解决失败的重要原因，旨在促进学生对问题理解的教学可以调高学生解决问题的能力［10-11］.希加蒂等人研究发现问题解决失败的学生在表征变量关系时，更多的采用的是直译策略［12］，依赖于直译策略的学生在解决问题时，关键字传达给学生的信息并不能反映问题的意义和结构，因此很难帮助学生对问题进行有效的数学表征［13］.阿瓦洛斯等人对6~7岁学生的数学问题理解能力与问题解决水平之间的关系调查发现，用学生的问题理解能力可以预测其问题解决水平，但不能预测学生的运算水平［14］.诺特维德运用实验法研究了计算水平相当但理解能力水平不同的两组学生被试（两组被试的计算能力都高于所在整体的平均水平；第一组被试的理解能力比平均水平低，第二组被试的理解能力比平均水平高），研究发现在这两组学生解决一步问题时，第一组被试的问题解决成绩稍稍差于第二组被试，但在解决多步问题时，第一组被试的成绩与第二组被试的成绩有显著性差异［15］.该研究表明在计算能力水平相当的情况下，学生对问题理解水平的高低可以预测学生的问题解决水平，其理解水平越高，则问题解决成功的可能性就越大，反之亦然.基塔拉与比约恩通过对八年级学生的问题理解能力与问题解决水平之间的关系进行了调查，也得出了类似的结论：学生的问题解决水平与学生的问题理解能力显著相关［16］.另外，也有研究者发现学生的视图表征能力也影响学生的数学问题解决.如布宁等人对128位六年级学生进行了实验研究,发现学生厘清问题的已知条件与所求问题间的关系、对问题的视图表征是保障学生问题解决成功所需要的基本能力叫.事实上，学生在问题解决过程中，首先需要理解问题，然后将问题的文字表述转化为视图表征，对问题的理解是学生问题解决的第一步.由此可见，学生对问题理解程度的高低往往决定着他们问题解决的成败.尽管相关研究证实了学生的问题理解是问题解决的关键，但这些研究更多地是以量化研究的方法研究问题解决失败者和问题解决成功者在问题理解上的不同，很少有研究通过质性方法分析问题解决错误学生的数学理解过程，且以往研究中涉及的问题解决更多的是整数加减法领域.研究采用质性研究方法，分析百分数应用问题解决错误学生的问题理解过程，以期为改进问题解决教学提供借鉴.3理论基础关于问题解决中学生数学理解有很多种定义，研究中的学生数学理解指的是学生在解决问题中写在纸上的、用语言表达的或头脑中构建的想法的组合四.很明显，学生对问题的理解有很多不同的表现形式，如口头语言、书面语言、符号、心理意象等，它是学生认知活动的工具3〕.关于学生的问题理解，希加蒂等人研究发现学生理解数学问题的两种策略:直译策略和问题模式策略网.直译策略，即学生试图根据题文中的关键字和数据来表征题文，具体表现为学生在问题解决时，根据问题文字表述中的''关键字''来选择相应的计算方法，比如看到"一共"就用加法计算，看到"...比...少"就用减法计算，看到"...是...的几倍"就用乘法计算，看到"平均分"就用除法计算.另一种是问题模式策略，即学生组织题文信息，并根据上下文将题文转换成基于问题情境描述的心理模型，据此进行数学运算，并对数学运算进行解释和论证，具体表现为学生根据问题表述中的数量关系来建立数学表征，并选择相应的计算方法，很少受"关键字"的影响.学生运用直译策略或问题模式策略的问题理解过程如图1所示四. a|读题杉 |理解语义|L_|选择数据和关键词||建立问题模型|制定问题解决方案||执行问题解决方案］图1学生问题解决理解过程模型根据这一模型，学生理解问题的过程可以分为3个阶段，分别是理解语义、构建模型或选择数据及关键字、制定解决方案.学生在问题解决的过程中，对题文信息的理解和建立模型是问题解决的关键［21］.因此研究重点是学生语义理解和模型构建或选择数据及关键字这两个过程，即学生构建问题数学表征的过程．语义理解即学生阅读题文后要对题文中的语句逐一理解，这一过程包括确定问题中的已知量、未知量，并建立一个初步的情境模型.在语义理解阶段，学生对题文信息的理解是以递增的方式来实现的，即学生会根据题文的标点符号，逐句读取，依次获取信息，并建立这些信息之间的关系.简言之，学生在这一阶段的主要任务是将外在的问题描述逐步转化为其内部理解，并在其内部构造一个语义网络.在建立问题模型阶段，学生能将之前建立的情境模型建成一个更抽象的心理模型四，是成功解决数学问题的关键.哈尔福特认为，心理模型是学生思考问题、组织和指导后续工作的脚手架网.在这个阶段，运用直译策略的学生会根据题文中的关键字和数据进行数学表征的构建．他们对问题的表征中所包含的信息往往少于题文中所包含的信息，且可能是基于错误的数量的关系.运用问题模型策略的学生，会基于问题情境构建数学表征，注重分析每个语句中涉及的量之间的关系．4研究设计4.1研究问题（1）问题解决错误学生是如何理解问题的？（2）阻碍问题解决错误学生有效理解问题的因素有哪些？4.2样本选择通过方便取样的办法选取北京市海淀区一所普通公立小学六年级的6个班，共208名学生，这些学生已经学习了"百分数的应用"相关内容.4.3数据收集与分析采用质性研究方法进行数据收集.为深入了解学生问题解决错误的原因，采用维果茨基的微衍生法网，即先采集学生进行百分数应用问题解决的材料，经过分析，找出学生在问题解决中出现的问题：在学生解决的百分数应用问题中，当题文中包含两个百分数，且两个百分数对应的单位"1"不同时，学生问题解决的错误率相对较高.在与任课教师、六年级教研员商讨的基础上设计如下问题解决任务：前些天，学校组织了捐书活动。据统计，六（1）班同学捐书数量占六年级捐书总数的30%，六（2）班捐书数量是六（1）班捐书数量的120%，六（2）班比六（1）班多捐30本书，六年级学生共捐多少本书？学生独立解答后，找出所有解答错误的样本:共56份），并反馈给解答者本人，运用放声法收集问题解决错误学生解答的具体思维过程材料，在此基础上，根据需要对学生进行访谈，尽可能保证研究材料的全面与详尽.具体数据收集及分析流程如图2.5研究结果5.1问题解决错误学生对问题的理解从问题理解策略上来看，在56份错误解答中，运用直译策略理解问题的学生有15位，约占27%;运用问题模式策略理解问题的学生有41位，约占73%.下面具体分析这些问题解决错误的学生是如何理解问题的.5.1.1基于题文的关键字和数据建立''量''与''率"的关系运用直译策略的学生倾向于脱离问题的情境来理解题文语句，并从题文中选择他们认为的关键字和数据，然后依据所选的关键字和数据直接将问题的要素转化为算术计算.这些学生往往认为：如果要解决六年级捐书量这个百分

数应用的问题，就需要找一个率和一个量，于是他们从题文中选择一个明确的率，即六（1）班捐书量是六年级捐书的30%，然后再想办法寻找一个量，如错例1（图3）,该同学根据“六（1）班同学捐书量占六年级捐书总数的30%”这句话，找到了六（1）班捐书量所占六年级捐书量的百分率，这句话中的“占”是学生理解这句题文数学意义的关键字，然后脱离情境，将六年级的捐书量设为100本，根据量率对应关系，用100x30%求出六（1）班的捐书量；再如错例2（图4），该同学在访谈时表示［六（1）班捐书量是六年级捐书的30%，30%表示的是率，没有量，所以我就用30作为量，然后用量除以率求出六（1）班的捐书量.”当追问该学生为什么要用30作为量时，他表示题文中只有30是具体的量，其他数据都是百分数，即率.图2数据收集及分析流程图图3错例13。七3宓刁。。宿）十%—3。。粉1图3错例1图4错例2通过对这15位运用直译策略理解问题的学生进行算式分析和进一步的访谈，发现他们往往花更多的时间来理解题文中的数字和关系术语，而忽略题文中的其它情境信息，即使有学生在解题过程中可能会多次重读题文，但依然没有基于问题情境对问题进行模式表征，因此这种策略阻碍了学生对问题意义和结构的理解.直译策略的运用往往导致学生很难从问题表述中厘清问题的已知条件之间、已知条件与问题之间的关系，转而套用模版的方式（在这里具体表现为所谓的'量率对应关系”来解决问题，过度地使用问题表述中的'关键字”，从而建立了错误的运算关系，导致问题解决错误.5.1.2基于问题情境理解的多元化数学表征运用问题模式策略的学生主要依据问题情境思考问题解决方案，即学生的问题解决思路源于他们对问题的意义及量与量之间关系的理解.对这41位同学的解答过程进行归纳，发现他们运用问题模式策略理解问题的方式主要有3种，分别是画线段图（20人），如错例3（图5）；直接用算式表征（14人），如错例4（图6）；把百分数转化成份数（7人），如错例5（图7）,所占百分比分别为49%、34%、17%.图5错例3 图6错例4运用问题模式策略的学生，无论是画线段图，还是直接用算式表征问题、或把百分数转化成份数，他们对问题理解的过程有共同的特征：基于对问题情境的理解来对问题进行模式建构.在错例3中，学生根据六（1）班和六年级捐书量之间的关系、六（1）班和六（2）班捐书量之间的关系绘制了表征三者之间关系的线段图；在错例4中，学生依据题文中给出的已知条件：六（2）班捐书量是六（1）班的120%，且六（2）班比六（1）班多捐30本，再根据量率对应关系求出六（1）班的捐书量；在错例5中，学生根据六（2）班捐书量和六（1）班之间的关系将相应的百分数转化成对应的份数进行逻辑推理.在对部分学生进行访谈中发现，他们不但依据题文情境信息来进行数学表征，还注重对其理解的合理性进行解释和论证，如出现错例5的同学在描述自己问题解决过程时说“1200%-1=20%，是因为六（2）的捐书量是六（1）班的120%，也就是说六（2）班比六（1）班多20%，多的这20%正好与六（2）班比六（1）班多的30本相对应，所以用30除以20%就可以求出六（1）班的捐书量”但由于学生问题理解过程受多种因素的影响，因此学生运用问题模式策略也不能保证对问题的理解全部有效.5.2阻碍学生有效理解问题的因素学生运用直译策略从题文中选择他们认为的关键字和数据来理解问题，忽略了问题的意义和结构，因此直译策略是阻碍学生有效理解问题的重要因素之一.研究对阻碍41位运用问题模型策略有效理解问题的因素进行了归纳，这些因素有：已有知识经验错误、问题情境转译错误、对问题中相关概念的理解不全面、急于求成的心理.已有知识经验错误在错例3中，学生采用绘制线段图的策略对题文中的数量关系进行直观化表征，然而该学生是以线段图上端点的数量来确定六年级的捐书量，导致六年级捐书量在线段图上平均分成的是9份，而不是10份.同样在线段图上把六（1）班平均分成10份时，他还是在线段图上数端点作为份数.而在线段图上根据六（1）班和六（2）班捐书量关系表征六（2）班捐书量时，学生是数线段的数量，确定六（2）班的捐书量占12份.可见学生在用线段图表征数量关系时混淆了线段图上每条线段与端点表示的数量关系导致问题表征错误.问题情境转译错误在错例4中，学生首先根据六（1）班和六（2）班捐书量之间关系求出六（1）班的捐书量，然后计算出六（2）班的捐书量，最后求六（1）班和六（2）班的总捐书量.访谈该同学时，她说“做题的时候，我觉得六年级就两个班，所以把两个班的捐书量加在一起就可以了”错例6（图8）是学生在算出六（1）班的捐书量之后，

又算出六（2）班的捐书量，然后把六（2）班捐的180本看作六年级捐书的30%，以此来计算六年级的捐书量.访谈中他表示“读完题目后，我觉得自己有了很清晰的解题思路，没想到自己把六（1）班与六年级捐书量之间的关系想成六（2）班和六年级捐书量之间的关系了.”错例7（图9）是学生把六（1）班的捐书量150本看作是六（2）班的捐书量.在访谈时他讲到“我觉得这道题并不难，可惜做题的时候我把我算出的六（1）班的捐书量当成六（2）班的了，所以才用150减30算六（1）的班捐书量”如％-碱''I-3拂TfMW—*团佛图7错例5图8错例6化0X低伏夕'"°。札出现这类错例的学生共性的地方是他们不需要借助线化0X低伏夕'"°。札5.2.3概念理解不全面学生对问题中涉及概念的理解程度是问题解决的重要因素之一［26］.在错例8（图10）中，学生可以在线段图上表示六（1）班和六年级捐书数量的关系，但不知道如何继续表征六（1）班捐书数量和六（2）班捐书数量之间的关系.这类错误的出现，与学生对百分数这一概念理解不够全面有关.北师版教材对于百分数相关知识的呈现，第一阶段（百分数的认识）是偏向部分与整体的关系来帮助学生理解百分数，而在第二阶段（百分数的应用）中会涉及两个独立量之间关系比较的百分数.由于学生最早是基于部分与整体的关系理解来百分数，因此当学生解决涉及两个独立量之间比较关系的百分数问题时，自然会对百分数的理解产生偏差，造成学生很难在线段图上将题文中的3个关系量转换为一个数量关系集.,2。角一 =2。％3。2。%=，如冰）1^0一3。=120（^）12,0十30%—十。。（末J图9错例7图图9错例7在错例9（图11）中，学生将六（2）班比六（1）班多捐的20%转化成2份，再根据这20%对应的捐书量是30本，求出1份对应15本.学生在访谈中阐述了自己的想法［我觉得只看题目中百分数，找不到解题的思路，于是我把六（2）班比六（1）班多捐的20%转化成两份，这样我就可以求出1份对应的捐书量.但是往下怎么做我就想不出来了！我试着用120%+15，但感觉不对”问题解决的关键是学生能否构建出反应问题本质的数学表征，而在这个过程中认知加工图式发挥着非常重要的作用［27］.认知加工图式是学生相关知识和经验的组织［28］.虽然学生求出了六（1）班捐书量1份（10%）对应的捐书数量是15本，但由于不理解百分数120%所表示的六（2）班捐书量与六（1）班捐书量之间的关系，也不具备量率对应关系图式，因此无法继续解答问题.5.2.4急于求成的心理在错例10（图12）中，学生借助线段图来表征题文中蕴含的数量关系.从线段图上可以看出学生把表示六年级捐书量的这条线段平均分成10份，取3份表示六（1）班的捐书量，然后又把表示六（1）班捐书量的这3份平均分成10份，在10份的基础上再增加2份.与其他学生所画线段图不同的地方是，这个学生又把六年级捐书量由原来的10份划分成20份.他在访谈中说到“因为我已经知道六（2）班比六（1）班多30本，所以我觉得只要在线段图上确定六（2）班捐书量比六（1）班多的20%占六年级的百分之几，根据量率对应关系，就可以求出六年级的捐书量，但是我不知道怎么确定，于是我把六年级的捐书量又进行了划分，发现六（2）班比六（1）班多出的2份正好与我第二次划分的线重合，于是我快速地找到了答案：多出的这两份占六年级捐书量的5%.”可见，该学生不是通过对问题情境的进一步分析，而是试图通过对线段进行二次划分来确定六（2）班和六年级捐书量之间数量关系.像这样，为了达到在问题解决中快速地找到问题解决方案的目标，学生往往试图想办法找到快捷的解决途径，来回避对问题的深入分析，由于缺少对问题准确地逻辑推理，导致他们对问题的数学表征错误.12。%土匹 2OX卯-booc幸7图11错例9 图12错例106讨论和启示6.1百分数问题解决错误的学生多数运用问题模式策略理解问题通过对百分数问题解决错误的56位学生的问题理解过程进行分析，发现运用问题模式策略的学生远远多于运用直译策略的学生，这表明问题解决错误的学生多数是运用问题模式策略来理解问题.这与希加蒂等人研究发现问题解决错误的学生主要是运用直译策略理解问题这一结论不一致.为避免研究中偶然性的发生，研究者又翻阅了这些学生日常作业中的问题解决过程，和研究发现一致，多数同学在问题理解上运用的是问题模式策略，这表明学生理解问题的策略具有稳定性，他们往往在理解数学问题时倾向于运用同一种策略.而学生问题理解策略的选择受环境因素的影响［29］，对于学生来说最重要的环境因素就是课堂.于是研究者对学生的问题解决课堂学习情况进行了追问，学生在访谈中提及到他们在问题解决的课堂学习中，教师经常引导他们比较不同的问题解决思路，并让他们对不同的问题解决思路进行解释和论证.合理的解释和论证必然要基于对问题情境的理解，所以可以肯定的是教师基于情境意义的问题解决教学可以帮助学生认识到基于情境建构问题表征的重要性，但这样的过程在学生形成稳定的问题模式策略的过程中起了多大的作用是需要进一步思考的问题，因为学生个人因素也会对理解问题的策略选择产生影响.研究也证实了运用直译策略的学生比运用问题模式策略的学生在建构问题的表征上要困难得多，他们花更多的时间回顾问题中的他们认为很关键的信息，非常纠结于如何根据题文中的关键字和数据进行算术运算，若不确定算术运算的必要性，他们也会对题文进行多次阅读，但他们并不是试图通过利用问题情境来构建问题的心理模型.而学生问题解决的成功与否取决于是否基于对问题的理解将问题要素转换成一个适且的心理模型，且这个心理模型必须将这些要素整合成一个相互联系的整体网.那么教师如何帮助学生实现这种问题理解策略上的转变呢？首先教师在教学中要为学生提供一些运用直译策略不能很好地解决的数学问题，让学生深切体会直译策略在理解一些多步问题上的局限性.其次，在教学中为学生提供可以帮助学生理解问题情境的具体方法，如刘易斯通过使用数线图的方法来帮助学生掌握问题模式策略来理解问题.6.2学生运用问题模式策略理解问题的过程受多种因素的影响希加蒂等人研究发现成功解决问题的学生主要是运用