专题2抽象函数

专题二抽象函数一、常见解题方法：特殊值法（赋值法）常见的赋值技巧：等等。（2）函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等。（3）函数模型法初等函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数模型幂函数指数函数对数函数正切函数，二、典型例题例1.已知函数对一切实数都有，且当时，，又是判定该函数的奇偶性；是判断该函数在上的单调性；求在[-12,12]上的最值。分析：容易知道是线性函数抽象得出的函数，即解析（1）令得得；再令得则，定义域关于原点对称，为奇函数。（2）任取，则依题意。，即在上单调递减。（3）由（2）知函数在上单调递减，且在上单调递减。在上是奇函数，所以。综上。。。例2.已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。分析：一次函数模型，设，则满足解：设且则即，故为增函数，因此不等式的解集为。例3.已知定义在非零实数集上的函数对任意的都有，且当时，。（1）求证：是偶函数；（2）求证：在上是增函数；（3）解不等式。分析：对数函数模型。设则解析：（1）令，则得；令，则得再令，定义域关于原点对称，是偶函数。2)任取则因，，，为上的递增函数。是增函数且是偶函数，，又原不等式等价于，又为上的递增函数，解得的函数满足，当时，，且对任意的，都有。求证：；（2）求证:对任意的恒有；求证：是上的增函数；解不等式。分析:指数函数模型，即满足解析：（1）证明：对一切有。且，令，得(2当时，；当时，；当时，，令，所以，。对任意的恒有。(3)设且，则，即为增函数。原不等式转化为（因为）由（3）知是上的增函数，所以，得原不等式的解集为例5.定义在（）上的函数满足（1），对任意都有，（2）当时，有，（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；（3）求证。分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。解：（1）对条件中的，令，再令可得，所以是奇函数。（2）设，则，，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。（3）上的函数满足对任意都有且当时，。求证：函数是奇函数求证：函数在上是单调递减函数解不等式。例6．已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力..知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.例7已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。例题8、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且时。（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R上单调递减；（3）设，若，确定的范围。（1）证明：令，已知时，设，，，即当x<0时f(x)>1（2），则f(x)在R上单调递减。（3）f(x)在R上单调递减（单位圆内部分）（一条直线）三、高考试题例11.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。例12.已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。分析：由知直线是函数图象的对称轴。又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。满足：，，则____________．例14．定义在上的函数满足（），，则等于（A）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】(2010年高考重庆市理科15)解析：取x=1y=0