基于层次最小应变能分析的拉压杆模型构形优化

基于层次最小应变能分析的拉压杆模型构形优化

在钢筋混凝土的小切割交叉结构中（切割交叉比小于2），有一种“梁作用”和“拱作用”的双重剪切机制，这两种机制的作用比例与许多因素有关，包括梁的切割长度、锁的类型、混凝土强度等。12，尤其是对于切割和交叉的深深梁，剪力主要通过“拱模型”直接通过支撑柱。1.23时，这两种机制是共同的。为了恰当反映小剪跨比RC梁内的复杂受剪机制,国内外学者提出了多种理论模型,如桁架拱模型［3］、拉压杆模型［4］等.这些模型均为超静定模型,难点是如何进行解耦分析.一种处理方式是假设模型中所有杆件均具有相同的轴向刚度,以此求解超静定模型［5-6］;还有学者通过非线性有限元分析来求解超静定模型［7］,其中模型中压杆的宽度根据支承情况确定,并假设拉杆能够达到屈服;本文作者也曾借助于拉压杆模型的最大强度建立准则,从理论上给出了“梁作用”和“拱作用”的解耦关系［8］.本文遵循能量原理的思路,通过3个层次的最小应变能分析,研究了小剪跨比RC梁受剪分析的最优拉压杆模型.该模型是静定模型,并且能够恰当表达小剪跨区域内的双重受剪机制.1u3000能量封闭体系拉压杆模型的理论基础是塑性下限定理,然而,混凝土材料的塑性变形能力有限,并不是塑料力学中所假想的理想刚塑性材料.因此,为避免出现超出混凝土塑性变形能力的应力重分布,拉压杆模型的变形应尽可能小,即为“最大刚度准则”.同时,结构的刚度和内部的应变能是直接相关的.对于能量封闭体系,能量守恒表现为外力功W等于结构应变能U,即式中,P为外荷载;K为拉压杆模型的总体刚度;Fi,Li及εmi分别为拉压杆模型中第i根杆件的内力、长度及平均应变.据此,可推演得到“最大刚度准则”等价于“最小应变能准则”,即考虑到混凝土压杆的刚度远大于钢筋拉杆的刚度,因而拉压杆模型的应变能绝大部分集中在拉杆［4］.因此,拉压杆模型的最小应变能准则可改写为式中,Π为拉杆应变能指标;Ti和Li为第i根拉杆的内力和长度;εy为钢筋屈服应变.本文遵循能量原理的思路,借助多层次的最小应变能分析,以此实现拉压杆模型的最优参数化构形.所提出的策略是:拓扑优化分析→STM基本构形→最小应变能分析→STM最优构形.即首先通过结构拓扑优化分析确定拉压杆模型的基本构形,然后针对由混凝土压杆和钢筋拉杆构成的拉压杆模型,进行最小应变能分析,以此推导模型的最优构形参数.2在最小适应性条件下，优化分析2.1基于anasas的程序的实现拉压杆模型的自动生成问题可转化为连续体的拓扑优化问题,并常常以最小应变能作为优化目标.在基于最小应变能指标的拓扑优化分析中,通过不断地从连续体中剔除应变能密度低的单元,最后实现结构总体刚度的极大化,即结构应变能的最小化.优化的目标函数可表示为［9］式中,Cj为结构中单元j的应变能;Wj为单元j的重量.若进一步定义结构性能指标ω,则优化目标是使得性能指标取得极大值,即式中,下标“0”表示初始状态;“i”表示经过第i次优化后的状态.本文借助既有相关拓扑优化算法,通过对通用有限元程序ANSYS进行二次开发,实现了结构渐进拓扑优化功能,可实现平面和空间拉压杆模型的自动生成.该程序的编制框架为(见图1):程序不断地剔除低应变能密度的单元,直至有限元模型的连续性遭到破坏而不能运算为止;性能指标ω取得最大值时对应的拓扑构形,即为最优构形.编制该程序的关键技术包括:1通过ANSYS程序中的生死单元功能来实现单元的剔除.2通过三参数(ρe,R0和RΔ)来控制单元剔除的速度.通过单元移除率ρe来控制在每次演进过程中,剔除单元数量占总激活单元数量的最大比例(一般可取为5%~10%);同时,通过下式来计算第i次演进时低应变能密度的阀值:式中,[ζe，i]为第i次演进时低应变能密度的阀值,当单元的应变能密度小于该值时,应进行剔除;ζ珋e，i为第i次演进时所有激活单元的应变能密度平均值;R0为初始比率,可取为1%;RΔ为演进速率,可取为1%.3通过平滑化操作来避免棋盘式单元形态的出现.首先计算节点的平滑应变能(将与节点相邻单元应变能的平均值作为该节点的平滑应变能),然后计算单元的平滑应变能(将单元上4个节点平滑应变能的平均值作为该单元的平滑应变能).2.2小剪跨比梁中拉压杆模型的基本构形针对跨中作用单点集中力的简支梁,进行了最小应变能拓扑优化分析,得到了不同剪跨比加载梁的最优拓扑构形(见图2),由图2可得:1当剪跨比λ=1时,全部的集中荷载通过斜压杆直接传递至支座;2当剪跨比有所增大时,模型中出现了斜向拉杆,表明桁架模型开始发挥作用;3当剪跨比进一步增大,λ>2时,模型中出现多根间接斜压杆,说明桁架模型逐渐起主导作用.至此,借助于拓扑优化分析的结果,可以确定小剪跨比梁中拉压杆模型的基本构形为:1当λ≤1时,最优模型为“直接压杆模型”.该模型中的斜压杆为集中力作用点与支座中心的连线,易于确定.2当1<λ≤2时,最优模型为“带斜拉杆的桁架模型”(见图2(b)、(c)).在无腹筋梁中,斜拉杆为混凝土拉杆;在有腹筋梁中,斜拉杆由腹筋构成.该模型中存在3根倾角不同的斜压杆,但目前还无法定量确定其几何参数.3在最小适应性参数分析中为了定量计算深梁(1<λ≤2)中拉压杆模型的斜压杆倾角,这里进行了2个层次的最小应变能参数分析.3.1拉压杆最优模型求解利用编制的算法,自动搜索应变能最小的拉压杆模型构形.模型的基本形状如图3(a)所示,模型中节点B(或节点C)的位置可在竖向和水平向2个方向变动,节点E(或节点F)的位置可在水平方向变动.算法的基本结构如下:1分层变化拉压杆模型的几何参数x1(0→a),x2(0→d)和x3(0→a);2提取每种模型中所有拉杆的内力Ti和长度Li,并计算应变能指标∑TiLi;3搜索应变能指标最小的拉压杆模型,即为最优模型.针对不同剪跨比的深梁,按上述算法可自动搜索得到拉压杆模型的最优几何参数(x1,x2和x3),如表1所示.通过对这些最优拉压杆模型的几何形状进行观察,可以发现以下规律:1杆件AE和BE大体上呈垂直关系;2杆件AE和BD大致平行.根据这些规律,可用图3(b)所示的简化模型来代替前述最优模型,该模型中只存在斜压杆倾角θ这一单参数.3.2斜压杆倾角针对图3(b)所示的单参数简化模型,基于最小应变能原理,直接推导斜压杆倾角θ的最优取值.在简化模型中,拉杆的应变能分析如表2所示.半模型中拉杆的应变能指标为为使应变能取得最小值,斜压杆倾角θ应满足因此,斜压杆倾角θ的最优取值可求解为同时,可求得最优模型中斜拉杆BE的内力为在无腹筋梁中,该斜向拉力由受拉混凝土承担;在有腹筋梁中,主要由腹筋承担.在表1中,除列出了最优模型的几何参数外,还列出了不同模型的应变能指标.可以发现,虽然“直接压杆模型”中的荷载传递最为直接,但其拉杆应变能并不是最小的.只有当梁的剪跨比λ接近于1时,“直接压杆模型”中的应变能才与最优的“带斜拉杆的桁架模型”的应变能相差无几.3.3最优拉压杆模型通过前述3个层次的最小应变能分析(最小应变能拓扑优化分析、最小应变能自动搜索和最小应变能目标函数求解),确定了小剪跨比RC深梁的最优拉压杆模型构形,该模型具有以下特征:1当梁的剪跨比λ≤1时,受剪分析的最优模型为“直接压杆模型”,此时剪力荷载通过斜压杆直接传递至支座;2当梁的剪跨比1<λ≤2时,受剪分析的最优模型为“带斜拉杆的桁架模型”(见图3(b)),斜拉杆与斜压杆大体上呈垂直关系,而斜压杆倾角θ与剪跨比λ直接相关,其最优角度为θ=78-13λ.4腹板厚度的计算在无腹筋小剪跨比RC梁中,拉压杆模型中的斜向拉杆表征了混凝土的受拉作用.当混凝土斜拉杆断裂时,可反映无腹筋梁劈裂破坏时的抗剪承载力,即式中,WBE为斜向拉杆的宽度,可假设为与之垂直压杆AE长度的一半［10］,即WBE=0.5d/sinθ;TBE为斜向拉杆的内力,可按式(10)计算;b为腹板厚度;ft为混凝土轴心抗拉强度,可按ft=0.5(fc)2/3进行换算,fc为混凝土棱柱体抗压强度.根据式(11),抗剪承载力可推导为将斜压杆倾角θ的最优取值代入式(12),并经最小二乘拟合,最终可得无腹筋小剪跨比RC梁抗剪承载力的简化计算式为式中,λ≤2.为验证本文所提抗剪强度计算公式的正确性,与文献收集的20根无腹筋短梁的抗剪承载力试验值进行对比,如图4所示.由此可见,本文公式能够较好地反映剪跨比对无腹筋梁抗剪承载力的影响,并且与GB50010—2010规范［12］中的式(6.3.4)相比,本文所提出的理论公式与试验数据拟合线更为接近,有更好的计算精度.5最优构形参数分析1)提出了确定拉压杆模型最优构形的“多层次最小应变能分析方法”.该方法首先借助结构拓扑优化分析拟定拉压杆模型的基本构形,并利用最小应变能参数分析确定模型的最优构形参数,具有适应能力强、参数化建模等特点.