人大四版微积分第4章中值定理与导数的应用

第四章

中值定理与导数的应用§

4.1

中值定理§

4.2

洛必达法则§

4.3

函数的增减性§

4.4

函数的极值§

4.5

最大值与最小值，极值的应用问题§

4.6

曲线的凹向与拐点§

4.7

函数图形的作法§

4.8

边际分析与弹性分析介绍三个定理——极限计算——函数性态的研究经济应用——2§4.1中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理3罗尔中值定理则

①在闭区间[a,b]上连续;②

在开区间(a,b)上可导;③

f(a)=f(b).若f(x)

满足：一、罗尔中值定理几何意义注：1.

定理的条件：三个缺一不可.2.

定理的应用：导函数零点(根)的存在问题.1111-111Rolle,(法)1652-17194例1.验证f(x)

x2

2x

3在[-1,3]上满足罗尔定理条件，找出满足f

(

)=0的

.注意到f(x)(x

1)(x

3),在[-1,3]上显然连续; f

(x)

2x

2

2(x

1)

在(-1,3)上显然可导； f(

1)

f(3)

0

存在

1

(

1,3)

使f

(1)

0

解

故f(x)满足罗尔定理的条件.罗尔定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.5例2

不求导

判断函数f(x)

(x

1)(x

2)(x

3)的导数有几个实根、及其所在范围

解

而f

(x)是二次多项式

仅有上述两个根

f(1)

f(2)

f(3)

0

∴

f(x)在[1,2]

[2,3]上满足罗尔定理条件

∵

f(x)在R上连续、可导且根据罗尔定理，有：罗尔定理是其他微分中值定理的基础，该定理对判别方程根的存在性特别有效.6所以最值不可能同时在端点取得.使有证对于有

由极限的保号性78拉格朗日中值定理则

使得①在闭区间[a,b]上连续;②

在开区间(a,b)上可导.若f(x)

满足：二、拉格朗日中值定理几何意义注：2.拉格朗日公式的等价形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是罗尔定理的推广.Lagrange(法)1736-1813

9分析定理的结论就转化为函数利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数.将变为使的问题.10的单调性、极值、凹凸性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.它表明函数在区间上的变化与导数之间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数拉格朗日中值定理微分中值定理11证

例3

证明不等式

arctan

x2

arctanx1

x2

x1(x1

x2)

设f(x)

arctan

x

arctan

x2

arctanx1

x2

x1

在[x1,x2]上应用拉格朗日定理，有

如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.12例4证由上式得设由

关键

满足拉格朗日中值定理的条件,证明函数不等式的惯用手段！13推论2设f和g

在区间I上可导，且,则在区间I上f(x)和g(x)只差一个常数，即是I上的常值函数.推论1设f(x)在区间I上可导，且,则f(x)例5.证明：证明函数恒等式的惯用手段！14注意AB的斜率切线斜率15柯西中值定理①在闭区间[a,b]上连续;②

在开区间(a,b)上可导;若函数f和g满足：③

g’(x)≠0,x∈(a,b).则

使三、柯西中值定理几何意义注：几何意义：考虑参变量方程v=f(x)u=g(x)例6.

设函数f在区间[a,b](a>0)上连续,在(a,b)上可导，则存在

∈(a,b),使Cauchy(法)1789-185716

前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了

现在对两个给定的函数

f(x)、g(x),构造即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数

分析上式写成

用类比法17拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；f

(

)=0.罗尔定理问题：证明存在

∈(a,b),使得H(a,b,

)=0化为求根问题将a,b与

分离，找匹配形式18§4.2洛必达法则一、0/0型未定式二、∞/∞

型未定式三、其他未定式L’Hospital法国数学家(1661-1704)19则注：1.此法可推广到其他各类0/0型函数极限.①③②

f和g在某Uo(x0)内都可导且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型未定式极限2.此法可以与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.洛必达法则20例1.计算下列0/0型未定式极限：21注：1.此法可推广到其他各类∞/∞

型函数极限.二、∞/∞

型未定式极限2.此法可与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.则①③②

f和g在某Uo(x0)内都可导且；若（A也可以是∞,±∞）洛必达法则22例2.计算下列∞/∞

型未定式极限：注：洛必达法则并非万能公式,应验证条件！23三、其他未定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化为0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,经通分化为0/0型④数列形式未定式：化为e0·∞型(

)改求函数极限求例6.24例7.解:(根据洛必达法则)①②(根据二阶导定义)作业:习题四P1571(1,3),2(2),9(4,6),1126定理

单调增加;单调减少.§4.3函数的增减性

27证

拉格朗日中值定理(1)(2)

此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注28例解定义域为问题如本例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调．那么，如何找这些具有单调性的区间？29单调区间的寻找方法：定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．单调区间求法则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间30例解定义域所以函数f(x)在且没有不可导点.31例解单调区间为定义域定义

若函数f在某U(x0)有定义，且对一切xÎUo(x0)有则称f在x0处取得极大值,称点x0为极大值点.(小)(小)○·例：x3,x5x1,x2,x4注：极值

vs.最值1.局部vs.整体，2.极值不在端点，最值可以3.区间内的最值点是极值点多值vs.唯一极大值点：极小值点：非极值点：x6§4.4函数的极值32极值的必要条件设f在U(x0)有定义,且在

x0可导.若点x0是f的极值点，则必有驻点注：极值点

vs.驻点1.可导的极值点是驻点,“可导”条件不可去，2.驻点不一定是极值点，例:f(x)=|x|;例：f(x)=x3.寻找极值点：①求驻点、不可导点②根据极值定义做判断？33定理（极值的第一充分条件）设f(x)

在点x0

连续，在某

上可导，(1)若当时,当时，则x0

是

f

的极小值点；(2)若当时,当时，则x0

是

f

的极大值点；(3)若f

在内不变号，则x0

不是

f

的极值点.（左减右增

极小）（左增右减

极大）34令f

(x)

0

得驻点x

1

不可导点为x

0

列表

f(x)

f

(x)

无0

↗↗↘0极大值x(

0)01(1

)(01)解:例1.求函数的极值点与极值.即是极小值.35函数定义域为一、二、三、(1)若则x0

是

f

的极小值点；设

定理（极值的第二充分条件）(2)若则x0

是

f

的极大值点；则3637例2.求函数的极值.解：区间端点（区间内）极值点不可导点驻点最值点§

4.5

最大值与最小值，极值的应用问题已知：若

f在[a,b]上连续,则f

在[a,b]上有最大(小)值.问题：如何找出最大(小)值点?求f

在[a,b]上最值的步骤：①列出区间端点、区间内不可导点及驻点，求对应点函数值；②以上函数值之最大(小)者，即f在[a,b]上的最大(小)值。38解:例1.求在

上的最大值与最小值.函数的驻点x

1,不可导点为x

0,

所以f在处取得最大值0，在处取得最小值.39问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，例2.

解:设正方形的边长为a,每个小正方形的边长为x.而则盒子的容积为又所以为V(x)在区间内唯一驻点,所以为唯一的极大值点，此时盒子容积最大.4041问题?如何研究曲线的弯曲方向§

4.6

曲线的凹向与拐点定义若函数f在区间I

上满足:(1)曲线总在曲线上点的切线的上方，则称f

在I

上上凹(凹)；(2)曲线总在曲线上点的切线的下方，则称f

在I

上下凹(凸).42定理若函数f在区间I

上二阶可导，(1)若则f

在I

上上凹(凹)；(2)若则f

在I

上下凹(凸).定义曲线上凹、下凹的分界点称作拐点.注:1.二阶导为零、或二阶不可导的点可能是拐点.432.二阶导为零不一定是拐

点

，例：y=x4

,x0=0.

解

例1

求曲线y

x4

2x3

1的凹向与拐点

y

4x3

6x2

y

12x2

12x

12x(x

1)

得x1

0

x2

1

令y

0

列表

所以曲线在(

0)

(1

)上凹,在(0

1)下凹.

y

yx(-

,0)0(0,1)1(1,+

)

0

0

上凹1(拐点)下凹0(拐点)上凹(0

1)和(1

0)是拐点

44

解

当x

2时

y

0

y

不存在

列表

因此曲线在(

,2)下凹,在(2,

)上凹,

拐点(2,0)

y

y

x

(-

,2)2(2,+

)

不存在

下凹0(拐点)上凹

例2

求曲线y(x

2)5/3

的凹向与拐点

45作业:习题四P15918(5,7),19(1),32(2,4)一、曲线的渐近线§

4.7函数图形的作法定义如果曲线y=f(x)上的点沿着曲线趋于无穷远时

该点与直线L

的距离趋于0

则称L

为曲线的渐近线.1)若或称y

b

为水平渐近线

称x

c

为铅垂渐近线

2)若或称y=kx+b

为斜渐近线，

3)若其中，

47注:水平渐近线是斜渐近线的特例.48

斜渐近线

斜渐近线若则曲线

解

因为所以x

1是曲线的铅垂渐近线

因为所以y

x

1是曲线的斜渐近线

例1.

求曲线的渐近线

49所以曲线没有水平渐近线

50例求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.函数作图基本步骤：1.求函数的定义域；3.求函数的某些特殊点，比如：4.确定函数的单调区间、极值点,凹向区间、拐点；5.考察渐近线；6.综合上述结果,列表并作图.与坐标轴的交点、不连续点、不可导点；二、函数图形的作法2.考察函数的奇偶性、周期性；51例2.解:f的定义域为x≠0，且知f无不可导点.令得故函数图象过点与令=0,得驻点x=-2，令=0,得特殊点x=-3.f是非奇、非偶、非周期的连续函数.凹/减凹/增极小值点凹/减拐点凸/减++++0--+0---f(0,+∞)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-∞,-3)x列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：52f的图象过点：例2.解(续):由及得斜渐近线y=-2；由得铅垂渐近线x=0.补充函数图象上的点：根据以上结果绘制函数图象(左图).凹减凹增凹减凸减f(0,+∞)(-2,0)(-3,-2)(-∞,-3)x53真实图象：草图：54§4.8变化率及相对变化率（一）函数变化率——边际函数

（二）成本在经济中的应用

（三）收益

（四）函数的相对变化率——函数的弹性

（五）需求函数与供给函数

（六）需求弹性与供给弹性

（七）用需求弹性分析总收益的变化（一）函数变化率——边际函数设函数可导，导函数也称为边际函数.称为在内的平均变化率，它表示在内的平均变化速度.际函数值，相应改变的真值应为。在点处，从改变一个单位，在处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边它表示在点处的变化速度。单位很小时，但当改变的或的“一个单位”与值相对来说很小时，则有的改变时，当产生一个单位这说明在处，在应用问题中解释边际函数值的具体意义近似改变个单位。时一般略去“近似”二字。

例1函数在点处边际函数值为它表示当时，改变一个单位，（近似）改变个单位。

例2设某产品成本函数（为总成本，为产量），其变化率称为边际成本。本。称为当产量为时的边际成西方经济学家的解释是：生产前最后一个单位产品所增添的成本。当产量达到时，（二）成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定资本与可变资本组成。

平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本。

边际成本是总成本的变化率。在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数。设为总成本，为固定成本，为可变成本，为平均成本，为边际成本，为产量则有总成本函数平均成本函数

例3已知某商品的成本函数为边际成本函数本。

解由求：当时的总成本、平均成本及边际成有平均成本最小？平均成本

解由总成本当时，边际成本

例4例3中的商品当产量为多少时，令得又所以时，平均成本最小。（三）收益

收益是生产者出售一定量产品时所得到的全部收入。

平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每出售单位产品所得到的收入，

边际收益是总收益的变化率。即单位产品的售价。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。设为商品价格，为商品数量，益，为平均收益，为边际收益，为总收则有需求（价格）函数总收益函数平均收益函数边际收益函数需求与收益的关系总收益与平均收益的关系总收益与边际收益的关系（参见第六章）

例5设某产品的价格与销售量的关系为收益。求销售量为时的总收益、平均收益的与边际

解

下面讨论最大利润原则：取得最大值的必有条件为即取得最大利润的必有条件：设总利润为边际收益边际成本取得最大值的充分条件为即取得最大利润的充分条件：边际收益的变化率边际成本的变化率

例6已知某产品的需求函数为成本函数为求产量为多少时总利润

解由并验证是否符合最大利润原则。最大？有令，得所以当时，总利润最大。此时有有所以符合最大利润原则。

例7某工厂生产某种产品，每生产一单位产品，元，问每年生产多少产品时，元，总利润最大？固定成本成本增加已知总收益是年产量的函数此时总利润是多少？得总利润函数为总成本函数为

解由题意知，令，得所以时最大。此时即当年产量为个单位时，总利润最大，此时总利润为元。**（四）函数的相对变化率——函数的弹性前面谈到的函数的改变量与函数的变化率是绝对改变量与绝对变化率，到，仅仅研究函数的绝对改变量和变化率是不够的。商品乙每单位价格1000元，例如，商品甲每单位价格10元，品的绝对改变量都是1元，从实践中我们体会涨价1元；也涨价1元。两种商但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大不同，商品甲涨了10%，因此我们有必要研究函数的相对改变量和变化率。此时自变量与因变量的绝对改例如，而商品乙只涨了0.1%。100改变到144，而当由10改变到12时，由变量分别为这表明当改变到时，的改变量，产生了产生了的改变。这就是相对改变量。函数的平均相对变化率。这表明在内，从，改变时，平均改变，称它为从到，函数的相对改变量

【定义4.5】设函数在点称为与自变量的相对改变量之比，处可导，函数从到两点间的相对变化率，或称为两点间的弹性。当时，即的极限称为

在处的相对变化率（或弹性），记作或当为定值时，为定值。则对一般的，若可导，称为的弹性函数。的变化反应的强烈程度或灵敏度。是的函数，函数在点的弹性反映了随着的变化变化的幅度的大小，即对的改变时，在应用问题中解释弹性的具体意义时，“相对性”是相对初始值而言的。表示在点处，

说明两点间的弹性是有方向的，因为当产生1%近似地改变。经常略去“近似”二字。

解

例8求函数在处的弹性

解

例9求函数的弹性函数及函数在点的弹性

解函数

例10求幂函数（为常数）的弹性

说明幂函数的弹性函数为常数，即在任意点处弹性不变，称其为不变弹性函数。（五）需求函数与供给函数

（1）需求函数“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。现在不考虑价格以外的因素，只研究需求与价格的关系。设表示商品价格，则有称为需求函数。（为自变量，为因变量）表示需求量，一般而言，商品价格低，需求大；格高，需求小。商品价因此，一般需求函数是单调减少函数。求函数。其反函数也称为需经济学中用表示需求曲线，如图所示常用下列一些初等函数来拟合需求函数，建立经验曲线：线性函数反比函数幂函数指数函数称为边际需求。需求函数的边际函数

例如若已知需求函数为则边际函数当时，称为时的边际需求它表示：当时，价格上涨（下跌）1个单位需求将减少（增加）4个单位。

（2）供给函数“供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。现在不考虑价格以外的因素，只研究供给与价格的关系。设表示商品价格，则有称为供给函数。（为自变量，为因变量）表示供给量，一般而言，商品价格低，供给少；格高，供给多。商品价因此，一般供给函数是单调增加函数。给函数。其反函数也称为供经济学中用表示供给曲线，如图所示需求曲线供给曲线线性函数幂函数指数函数常用下列一些初等函数来拟合供给函数，建立经验曲线：

（3）均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，如图所示需求曲线供给曲线是在需求曲线与供给横坐标。曲线相交的点处的当时，消费者希望购买的商品量为，市场上出现“供不应求”，生产者愿意出售的商品量为，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况。这种情况不会持久，必然会导致价格上涨，增大。当时，消费者希望购买的商品量为，市场上出现“供过于求”，生产者愿意出售的商品量为，商品滞销。这种情况也不会持久，必然会导致价格下跌，减小。市场上的商品价格将围绕均衡价格波动

例11设某商品的需求函数和供给函数

解分别为求均衡价格得均衡价格（六）需求弹性与供给弹性函数，为正数，只讨论需求与供给对价格的弹性性，为了用正数表示需求弹采用需求函数相对变化率的相反数（绝对需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变动的强弱。由于需求函数为单调减少与异号，于是及皆为负数。值）来定义需求弹性。

【定义4.6】某商品需求函数在记为处可导