回归系数的假设检验

回归系数的假设检验前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。我们知道即使X、Y的总体回归系数卩为零,由于抽样误差,其样本回归系数b也不一定为零。因此需作p是否为零的假设检验,可用方差分析或t检验。应变量Y的平方和划分示意图任一点P的纵坐标被回归直线与均数卩截成三段:第一段（丫-Y）,表示实测点P与回归直线的纵向距离,即实际值Y与估计值V之差•称为剩余或残差。第二段（P-P）,即Y估计值P与均数V之差•它与回归系数的大小有关。|b|值趣大ta-y）也趣大，反之亦然。当b=0时,&-Y）亦为零，则（y-r）=（r-F）,也就是回归直线不能使残差（K-X）减小。第三段V,是应变量Y的均数。依变量y的总变异（），-刃由y与X间存在直线关系所引起的变异（y-V）与偏差（y-刃两部分构成，即（y-55）=（y-y）+（＞-＞）上式两端平方,然后对所有的n点求和，则有力（y-齐=工［6-亍）+（〉T，）F=艺（$-刃'+》（y-疔+2艺（$-刃（y-$）由于y=a+bx=y+b（x-x）,所以y-y=b（x-x）于是 Z（y-刃0一可（y-勿=■左）［（）'_彳）_'Xx-左）］=刃心-可（y-刃-D（x-X）-b（x-X）=0所以有 -刃‘=刃'+Z（-v-＞'）2ZCV-.V）2反映了y的总变异程度，称为y的总平方和•记为SS、.；》（•*疔反映了由于y与X间存在直线关系所引起的y的变异程度,称为回归平方和,记为SSr；z（.v--v）2反映了除y与X存在直线关系以外的原因,包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为ssr。总变异ss总是由回归关系引起的ss回和与回归无关的其它各种因素产生的ss剩所构成。若回归直线与各实测点十分吻合,则ss回将明显大于ss剩，当全部实测值都在回归直线上时，ss总二ss回,ss剩=o,反之,若回归直线拟合不好rss回相对较小，SS剩则相对増大。可见SS回/SS剩反映了回归的效果。上式又可表示为：SS、.=SSK+ss「这表明y的总平方和划分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应・y的总自由度仏也划分为回归自由度叭与离回归自由度叭两部分，即^fy=百r+r在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即妙r=1;y的总自由度仏="-1；离回归自由度dfr=n-20于是：离回归均方MSr=SS「/dfrt回归均方MSr=SSr/dfR(1).方差分析法：具体计算如下：建立无效假设:Ho:p=0,即胆固醇与年龄之间无直线关系H!:p#0,即胆固醇与年龄之间有直线关系a=0.052、 计算SS总=88.8081df总=19SS0=bIXy=0.141(453.7385)=63.9771df0=1SS剩二SS总—SS回=88.8081-63.9771=24.8310df剩T8方差分析结果表

变异来源SSdfMSF总变异88.808119回归63.9771163.977146.377剩余24.8310181.3795查表确定p值Fo.o5（i,i8）=4.41,Fo.oi（i,i8）=8.29P<0.01故按a=0.05水准拒绝无效假设，接受备择假设。结论:可以认为高血脂病人治疗前胆固醇与年龄由直线关系。(2\t检验基本思想与样本均数与总体均数比较的t检验类似,而检验统计量t值的计算按下式完成：b-0Sbb-0Sb本例n=20fSS剩=1.3795,lxx=3216.95,b=0.14124.831s、,=2。一2心

S,="745J3216.95=0.02070.141S,="745J3216.95=0.02070.1411~0.0207=6.812按df=18，查t界值表,to.o5（i8）=2.101,to.oi（i8）=2.878,按a=0.05水准f拒绝H。，接受Hir结论同上。直线回归方程的应用统计预测：1、总体回归系数0的区间估计根据参数估计原理，回归系数b是总体回归系数p的点估计,正像样本均数%不一定恰好等于总体均数“一样，需要对总体回归系数P迸行区间估计。SQ式中Sb为回归系数的标准误；n-2为自由度。回归方程为孑=2.661+0.14U根据资料的样本回归系数b=0.141估计总体回归系数p的95%可信区间。已知6=0.141, Sg0・0207, v=20—2=1&to.o5（i8）=2.101则总体回归系数卩的95%可信区间为（0.141-2.101x0.0207,0.141+2.101x0.0207）=（0.0975,0.1977）2、冷的区间估计b是指总体中自变量X为某一定值X。时・P的总体均数。对心的估计可计算可信区间:(P-仏T)»P+匕”_2)»)式中S”即卩的标准误,可按下式计算:片=险点+£二春式中SY.X为剩余标准差。当X。二文时，S严Syx灯，此时，可信区间的范国最窄，预测精度相对较高。试计算当Xo=5O岁时，心的95%可信区间。已知尢=39.45,^(X-X)2=3216.95,sy,x=1.175r=2.661+0.141x50=9.71S. =1.175p-+('0_39來)'=0.3418(〃〃加//乙)r V20 3216.95v=20—2=1&to.o5(i8)=2.101当Xo=5O时•冷的95%可信区间为(9.71-2.101x0.3418,9.71+2.101x0.3418)=(8.99,10.43)mmol/L即当年龄为50岁时，估计其胆固醇的的总体均数心在(8.99,10.43)mmol/L范圉内的可能性为95%0

胆固醇4.00-12.00-10.00-8.00-6.00-20 30 40 50 60胆固醇4.00-12.00-10.00-8.00-6.00-20 30 40 50 60年龄3、个体Y值的容许区间总体中,X为一定值时，个体Y值的波动范国，可按下式求岀：式中SY为X取一定值时，个体Y值的标准差,其计算公式为SY=Syxb+1+ryX\H工(X-X)，试计算当Xo=5O时，个体Y值的95%容许区间。已知Y=9.71,to.05(18)=2・101 fSy.x=1.175Sy=1.175』+丄+('0_'9來)]=1.2230' V20 3216.95故当Xo=5O岁时，个体Y值的95%容许区间为：(9.71-2.101x1.2230,9.71+2.101x1.2230)=(7.14,12.28)mmol/L即当年龄为50岁时•总体中有95%的个体Y值波动在(7.14,12.28)mmol/L的范国内。用回归方程逬行统计控制控制是指党要求Y值在一定的范国内波动时，如何il过控制X的范国来实现统计控制的目标，所以统计控制是利用回归方程迸行的逆估计。如：为使一名糖尿病人的血糖维持在正常范圉(4.44・6.66mol/L),如何控制血中胰岛素水平?这可以对回归的逆运算来实现。例如：资料已建立了有胰岛素估计血糖平均水平的直线回归方程•问：欲将血糖水平控制在正常范圉的上限6.66mol/L以内时，血中胰岛素应维持在什么水平上？X=18.7957-0.4585X,n=20,5；=1.6324•取a=0.05,本例当个体y值取6.66mol/L时的x值，故取单侧toa㈣=1.734,所得方程为：6.66=y+r005US)S\=(1&7957—0.4585)+1.734x1.6324=21.6262—0.4585兀由此式解得x=32.64(mu/L),即如要将一名糖尿病人的血糖控制在6.66mol/L以内，胰岛素水平可维持在32.64(mu/L)以上。又例：某市环境监测站在某交通点连续测定30天，每天定时采样3次，发现大宅中NO2浓度Y(mg/m3)与当时的汽车流量X(辆/小时)呈直线关系根据90对观测数据求得回归方程f=-0.064866+0.000133%,剩余标准差0.032522。若NO2最大容许浓度为0・15吨/计,则汽车流量应如何控制？设a=0.05e本例S"=0.032522,a=0.05fv=90-2=88,查表得单侧fo.o5(88)=1.6624。由于本例未给出每小时汽车流