苏教版（2023）选择性必修第一册4.3.1等比数列的概念与通项公式 课件共43张PPT

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4.3.1等比数列的概念

高二数学备课组

学习目标

1.通过实例，理解等比数列的概念.

2.掌握等比中项的概念并会应用.

3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.

4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.

情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：

；①

；②

.③

请看下面几个问题中的数列

情境导入

情境2：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”

一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之捶”视为1份，那么每日剩下的部分依次为

…④

情境3：细胞分类

某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为

1，2，4，8，16，···⑤

情境导入

情境4：银行存款

某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：

⑥

课堂探究

观察，并说出它们的运算特点.

（1）…

（2）…

（3）…

（4）

（5）1，2，4，8，16，32，…

（6）

共同特点：

从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.

新课引入

如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等数列的_____，公比通常用字母q表示

二

比

同

等比数列

公比

比

等比数列的概念

即

或

1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列一定是等比数列吗

提示:不一定,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.

2.等比数列的首项不为零,公比可以为零吗其它项是否可以为零

提示:不能.

3.常数列一定是等比数列吗

提示:不一定,如0,0,0,….

1.下列数列为等比数列的是()

A.2,22,3×22,…B.,,,…

C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…D.0,0,0,…

解析:BA、C、D不是等比数列,A中不满足定义,C项可为0,

不符合定义.

2.若-1,b,-9成等比数列,则b＝.

解析:由等比数列定义知＝,即b2＝9,故b＝±3.

答案:±3

对等比数列的定义的理解

(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；

(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；

(3)任意一项

(4)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即

或.

特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为非零常数列，

非零常数列是特殊的等比数列．

【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn＝(an-1)(n∈N*)

(1)求a1,a2;

解(1)由S1＝(a1-1),

得a1＝(a1-1),所以a1＝-.

又S2＝(a2-1),

即a1＋a2＝(a2-1),

得a2＝.

例题解析

题型一等比数列的判定

(2)求证:数列{an}是等比数列.

(2)证明:

当n≥2时,an＝Sn-Sn-1

＝(an-1)-(an-1-1),

得＝-.

又a1＝-,

所以{an}是首项为-,公比为-的

等比数列.

可利用等比数列的定义来判断一个数列是否为等比数列

{an}是等比数列

或{an}是等比数列

类比等差数列，在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列：

(1)2，()，8(2)-12，()，-3

4或-4

6或-6

由三个数a，G，b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列.

这时，G叫做a与b的等比中项且G2＝ab.

课堂探究

注：

G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，

符号相反的两个实数不存在等比中项

，即等比中项有两个，且互为相反数．

(2)反过来，当时，G不一定是a与b的等比中项．

例如，但0,0,5不是等比数列．

（三维P95）

例题解析

例2

增加什么条件可以使得该数列为等比数列？

课堂练习

在数列中，若，且.证明：数列是等比数列.

证明：

（法一定义法）

因为，所以.

又因为

所以

所以数列是首项为，公比为2的等比数列.

例题解析

等比数列的判定与证明

课堂练习

证明：

（法二等比中项法）

因为，所以.

又因为

所以

所以

即成等比数列，

所以，数列是等比数列.

例题解析

等比数列的判定与证明

在数列中，若，且.证明：数列是等比数列.

注：证明数列是等比数列常用的方法

合作探究

定义法：

或

为等比数列

等比中项法：

小结

4.3.2等比数列的通项公式（1）

高二数学备课组

思考1：前面我们已经学习了等差数列，你还记得我们从哪几个方面研究的吗？

1.等差数列定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母d表示）.

数学表达式为：

an-an-1=d(n≥2)

或an+1-an=d

复习回顾

2.等差数列的通项公式：

an=a1+(n-1)d

=am+(n-m)d

方法：归纳法、累加法

3.等差数列通项公式的基本性质：

复习回顾

等比数列定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母q表示）.

数学表达式为：

复习回顾

思考：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等比数列的公比为q，根据等比数列的定义，可得

.

课堂探究

探究1:等比数列的通项公式

等差数列

归纳

等比数列

.

等差数列

等比数列

（累加）

（累乘）

(n-1)个

式子相加

(n≥2)

(n-1)个式子相乘

(n≥2)

则

由此可得

又即满足上式

已知一个等比数列的首项和公比，可以确定这个数列的任何一项。

公式中共有四个量，只要知道其中的任意三个量的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一。

新知讲解

首项为，公比为q的等比数列的通项公式为

例题解析

角度一:等比数列的基本运算

【例1】在等比数列{an}中:

(1)a1＝1,a4＝8,求an;

解(1)因为a4＝a1q3,所以8＝q3,所以q＝2,

所以an＝a1qn-1＝2n-1.

(2)an＝625,n＝4,q＝5,求a1;

解(2)a1＝＝＝5,故a1＝5.

（三维P94例2）

(3)a2＋a5＝18,a3＋a6＝9,an＝1,求n.

解(3)因为

由,得q＝,从而a1＝32.

又an＝1,

所以32×＝1,

即26-n＝20,故n＝6.

例题解析

合作探究

练一练：若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，

求的第5项.

分析：

等比数列由，q唯一确定，

可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解.

解法1：

由，得

②的两边分别除以①的两边，得

解得

把

代入①，得

此时

把

代入①，得

此时

因此，的第5项是24或-24.

解法2：

因为是与的等比中项，所以

所以

因此，的第5项是24或-24.

使用等比中项法计算时要特别注意该项的符号！

思考：若把题目中的条件改成第3和第7项呢？

等差数列

若等差数列{an}的公差为，

则任意两项与满足:

等比数列

类比

课堂探究

探究2:等比数列的基本性质

若等比数列{an}的公比为q，

则任意两项与满足:

例2:在等比数列{an}中,

(1)已知a3=20，a6=160，求an;

例题解析

(2)已知a5=8，a8=1，求a1和q;

(3)已知a4=12，a8=6，求a12.

在等比数列{an}中,

(1)已知a3=2，q=-1，求a15;

(3)已知a5=4，a7=6，求a9.

巩固练习

(2)已知a2=18，a4=8，求a1和q;

例题解析

角度2:灵活设元求解等比数列问题

答案45

（1）解析设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,

则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列.

即

整理得解得a＝3,q＝2.

因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.

【例3】(1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是.

(2)解法一:设前三个数为,a,aq,

则·a·aq＝216,所以a3＝216.所以a＝6.

因此前三个数为,6,6q.

由题意知第4个数为12q-6.

所以6＋6q＋12q-6＝12,解得q＝.

故所求的四个数为9,6,4,2.

法二:设后三个数为4-d,4,4＋d,则第一个数为(4-d)2,由题意知(4-d)2×(4-d)×4＝216,解得4-d＝6.所以d＝-2.故所求得的四个数为9,6,4,2.

(2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.

几个数成等比数列的设法

(1)三个数成等比数列设为：,a,aq.

推广到一般:奇数个数成等比数列设为:…,,,a,aq,aq2,…;

(2)四个符号相同的数成等比数列设为:,,aq,aq3.

推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为:

…,,,,aq,aq3,aq5,…;

(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,

可设为:a,aq,aq2,aq3.

1.在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两个数的和为()

A.-4或B.4或

解析:B设插入的第一个数为a,则插入的另一个数为.

由a,,20成等差数列得2×＝a＋20.

∴a2-a-20＝0,解得a＝-4或a＝5.

当a＝-4时,插入的两个数的和为a＋＝4.

当a＝5时,插入的两个数的和为a＋＝.

C.4D.17

跟踪训练

2.在等比数列{an}中.

(1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5;

解:(1)因为a5＝a1q4,而a1＝5,q＝＝-3,

所以a5＝405.

(2)若a4＝2,a7＝8,求an.

解:(2)因为所以

由得q3＝4,从而q＝,而a1q3＝2,

于是a1＝＝,所以an＝a1qn-1＝.

课堂探究

探究3:等比数列的运算性质

等差数列

等比数列

{an}

等比数列的运算性质

在等比数列中，若m+n=p+q（），

则，

①特别地，当m+n=2k（）时，

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积

等于首末两项的积，

即

课堂探究

2.若等比数列{n}的各项均为正数，且1011＋912＝2e5，则ln1＋ln2＋…＋ln20＝________.

50

3.在等比数列{n}中，各项均为正值，且610＋35＝41，48＝5,则4＋8＝________

1.在等比数列{n}中，若3，15是方程x2－6x＋8＝0的根，则9(117)＝________

合作探究

等比数列与指数函数的关系

由可知，

当q>0且

时，

等比数列的第n项

是指数函数当x=n时的函数值，

即（右图所示）.

反之，任给指数函数

则

构成一个等比数列

其首项为，

公比为a.

课堂探究

探究4:函数角度理解等比数列

合作探究

等比数列的单调性

由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性

如下：

（1）当时，等比数列为