信号与系统（第4版）课件 第8、9章 离散信号与系统Z域分析、状态变量法

第8章离散信号与系统Z域分析工业和信息化部“十四五”规划教材信号与系统（第4版）01离散信号的Z变换PARTONELIZ变换的定义收敛域

由于F(z)是z-i的无穷嘉级数，只有级数绝对收敛时，Z变换才有意义，故必有一个Z变换的收敛域问题。常用序列的Z变换常用序列的Z变换Z变换和拉普拉斯变换的联系02Z变换的基本性质PARTTWOZ域微分性Z域积分性

时域折叠性和时域卷积定理部分和初值定理与拉普拉斯变换类似，也可利用序列的单边Z变换F(z)来确定原序列的初值。Z变换的基本性质03Z反变换PARTTHREE幕级数展开法部分分式展开法Z反变换Z反变换反演积分法(留数法)根据复变函数理论可证明P(z)的反变换为04利用Z变换求解离散系统的响应PARTFOUR零输入响应的Z域求解零状态响应的Z域求解

全响应的Z域求解

对于系统全响应的求解，可以依照上面的方法将零输入响应和零状态响应分别求出，然后相加得到全响应，也可以对非齐次差分方程直接取单边Z变换来求得全响应。下面通过例子说明全响应的直接求解方法。05Z域系统函数PARTFIVE定义

一个线性时不变离散时间系统的零状态响应为H(z)的物理意义H(z)的应用1应用系统函数日(z)是离散时间系统非常重要的Z域模型，并且在实际工程分析中得到广泛应用。主要应用有：(1) 可求得系统单位序列响应，即(2) 在给定激励时可求得其对应的零状态响应，即(3) 当给定系统初始状态时，可由H(z)求得零输入响应时。(4) 由H(z)可求得系统的模拟图。(5) 由H(z)可写出系统的差分方程。H(z)的应用1应用(6) 由H(z)可进行系统稳定性判别。(7) 根据H(z)可对稳定系统的频率特性进行分析。(8) 由H(z)可求得稳定系统的正弦稳态响应。(9) 根据H(z)的零极点分布可对系统时域和频域特性进行分析研究。06H(z)的零、极点分布对系统特性的影响PARTSIX由H(z)的零、极点分布确定单位序列响应特性

把系统函数的分母进行因式分解由H(z)的零、极点分布确定单位序列响应特性H(z)的零、极点分布与系统的因果性和稳定性由于因果序列的Z变换的收敛域为圆外，而且包括无限远处，所以，从系统函数H(z)来讲，它的收敛域为圆外，而且包括无限远处。从另一角度讲，系统函数H(z)为关于z的多项式之比，而且分子多项式的阶次羽不能大于分母多项式的阶次几。有以下结论：

(1)如果离散LTI系统的系统函数H(z)的收敛域为圆外，而且包括无限远处，那么该系统为因果系统；(2)如果离散LTI系统的系统函数H(z)为关于z的多项式之比，而且分子阶次不大于分母阶次，那么该系统为因果系统。H(z)与系统正弦稳态响应谢谢观看第9章状态变量法工业和信息化部“十四五”规划教材信号与系统（第4版）01基本概念与定义PARTONE基本概念与定义1. 状态一个动态系统的状态是表示系统的一组数目最少的数据，只要知道t=t0时这组数据和t>t0时的系统输入，就能完全确定系统在8Ni0任何时间的响应，则这组数据就称为系统在t=1而时刻的状态。表示系统状态的这组数据的最小数目是系统的阶次。或者说，系统状态的数目就是系统独立储能元件的数目。2.状态变量对于动态系统，在任意时刻t都能与激励一起用一组代数方程来确定系统全部响应的一组独立完备的变量，称为系统的状态变量。状态向量若系统是几阶的，则将有n个状态变量，如图9-2所示。基本概念与定义基本概念与定义

初始状态状态变量在某一时刻t0的值，称为系统在t0时刻的状态。状态变量在t=0-时刻的值称为系统的初始状态或起始状态。

初始状态状态变量在某一时刻t0的值，称为系统在t0时刻的状态。状态变量在t=0-时刻的值称为系统的初始状态或起始状态。基本概念与定义状态向量所在的空间称为状态空间。n维状态向量对应的状态空间就是n维状态空间。其图形如图l-9(a)示，即用一粗箭头表示，箭头旁边标以(1)，表示δ(t)图形下的面积为1，称为冲激函数的强度，简称冲激强度。在状态空间中，状态向量端点随时间变化而描绘出的路径称为状态轨迹用来从已知的激励与初始状态向量x（O-）中，求状态向量的一阶向量微分方程，称为状态方程。基本概念与定义

输出方程基本概念与定义状态变量法以系统的状态方程与输出方程为研究对象，对系统特性进行系统分析的方法，称为状态变量法。其一般步骤是：(1) 选择系统的状态变量。(2) 列写系统的状态方程。(3) 求解状态方程，以得到状态向量x(t)。(4) 列写系统的输出方程。(5) 将第(3)步求得的状态向量xt及已知的激励向量时，代入第(4)步所列出的输岀方程中，即得所求响应向量02连续系统状态方程与输出方程的建立PARTTWO由电路图直观列写系统状态方程与输出方程(1)确定状态变量数目，它等于系统独立记忆(储能)元件的数目，即独立电容和独立电感的数目之和。(2)选择状态变量，一般选取电路中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。(3)根据网络约束条件即KVL和KCL建立电路方程。为保证所列写出的状态方程中等号左端只为一个状态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容列写岀只含此独立电容电压一阶导数在内的节点KCL方程;对每一个独立电感列写出只含此独立电感电流一阶导数在内的回路KVL方程。由电路图直观列写系统状态方程与输出方程

(4)若在第(3)步所列出的方程中含有非状态变量，则应利用适当的节点KCL方程和回路KVL方程，将非状态变量也用激励和状态变量表示出来，从而将非状态变量消去，然后整理成式(9-3)所示的矩阵标准形式。单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写图9-7所示为一个几阶的单输入单输出系统顶。单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写1.直接型模拟——相变量法与式（9-8）相对应的直接型模拟图和信号流图如图9-8所示。单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写

2.并联型模拟——对角线变量法单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写级联型模拟于是可画出其级联型模拟图与信号流图，如图9-10所示。单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写级联型模拟于是可画出其级联型模拟图与信号流图，如图9-10所示。

多输入多输出系统状态方程与输出方程的列写图9-12所示为具有两个输入fM，fM和两个输岀yt(i)，y2（0）的多输入多输岀系统。选取每个积分器的输出变量为状态变量，则有03连续系统状态方程与输出方程的S域解法PARTTHREE状态方程的S域求解单边拉普拉斯变换是求线性微分方程的有力工具，用它来求解状态方程显得很容易。对式(9-3)求拉普拉斯变换得输出方程的S域解法与转移函数矩阵H(s)转移函数矩阵H(s)的物理意义04连续系统状态方程与输出方程的时域解法PARTFOUR状态方程的时域求解将式（9-3）的等号两端同时左乘以将上式等号两端同时左乘以矩阵指数函数曜，即得状态向量的时域解为矩阵函数的卷积与eAT的求解

输出方程的时域解与单位冲激响应矩阵h(t)

将式(9-25)代入式(9-4)，即得响应向量的时域解为状态转移矩阵的性质

前面已指出，状态转移矩阵描述的是系统本身的特性(即转移特性)，在系统分析中起着重要作用。它具有以下重要性质：05状态空间与状态轨迹PARTFIVE状态空间与状态轨迹状态向量所在的空间称为状态空间。当状态向量为几维时，称为几维状态空间。状态向量在n个坐标轴上的投影分量即为相应的n个状态变量.n>3的状态空间只是一种抽象空间，客观世界中并不存在。当n=3时即得三维空间，这就是人类所处的自然空间。当n=2时即得二维空间，这就是自然界中的平面，又称为状态平面。当时间变量E由0向无穷增大时，状态向量的末端点在状态空间中所描绘的轨迹称为状态轨迹。状态向量的一阶导数。代表状态向量X。的末端点沿状态轨迹运动的速度;的方向就是状态向量，的末端点沿状态轨迹的运动方向。借助于对状态轨迹的研究，可进一步研究系统的一些重要性质，特别是非线性动态系统的一些重要性质，如稳定性、振荡性、自激性、跳跃性等。06离散系统状态变量分析PARTSIX状态方程与输出方程的列写用状态变量法分析离散系统，与连续系统的情况一样，也是先要建立系统的数学模型——状态方程与输岀方程。在离散系统中，状态方程与输出方程的矩阵标准形式为状态方程与输出方程的Z域求解状态方程与输出方程的Z域求解

输出方程的Z域解与转移函数矩阵H(z)状态方程与输出方程的时域解1状态方程的时域解状态方程与输出方程的时域解2.输出方程的时域解与单位响应矩阵