固体物理试题1答案

一、填空题（每小题2分，共12分）1、体心立方晶格的倒格子是面心立方点阵，面心立方晶格的倒格子是体心立方点阵。2、晶体宏观对称操作的基本元素分别是1、2、3、4、6、i、m（2）、4等八种。3、 N对钠离子与氯离子组成的离子晶体中，独立格波波矢数为N，声学波有3支，光学波有3 支，总模式数为6N。4、 晶体的结合类型有金属结合、共价结合、离子结合、范德瓦耳斯结合、氢键结合及混合键结合。5、共价结合的主要特点为 方向性与饱和性 。6、晶格常数为a的一维晶体电子势能V（x）的傅立叶展开式前几项（单位为eV）为：卩（x）=%+2exp（z—X）+iexp（z—x"）-i2exp（j—x）+—exp（z—6、在近自由电子近似下，第二个禁带的宽度为 2（eV）。、单项选择题（每小题2分，共12分）1、晶格常数为a的NaCl晶体的原胞体积等于（D）1、A、B、C、a5!2D、2、3、4A、B、C、a5!2D、2、3、4、5、6、D）。D、4.一个立方体的点对称操作共有（C）。A、230个 B、320个 C、48个对于一维单原子链晶格振动的频带宽度，晶格振动的频带宽度变为原来的（AA、2倍B、4倍C、16倍晶格振动的能量量子称为（CA、极化子B、激子

三维自由电子的能态密度金刚石晶体的配位数是（A、12 B、8C、6D、32个.若最近邻原子之间的力常数B增大为4B，则）。1倍.D、）。C、声子与能量E的关系是正比于（C）D、光子.1C、E1/2D、E.AC、E1/2D、E.三、问答题（每小题4分，共16分）1、与晶列［"丛］垂直的倒格面的面指数是什么?解答正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面（讥％）与倒格矢■■,］■kh=九勺+局玄+尽鸟垂直,则倒格晶面（矽J与正格矢瓦=也+呃+也正交。即晶列［仏厶］与倒格面（£4）垂直。2、晶体的结合能、晶体的内能、原子间的相互作用势能有何区别?解答自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量,称为晶体的结合能。原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。在0K时,原子还存在零点振动能.但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。所以,在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。3、 温度一定，一个光学波的声子数目多呢,还是声学波的声子数目多?而对同一个振动模式,温度高时的声子数目多呢,还是温度低时的声子数目多?解答频率为®的格波的（平均）声子数为：1n（w）=e方w/kBT-1・因为光学波的频率①。比声学波的频率①A高，（e加o/匕丁-1）大于（e加a/匕丁-1）,所以在温度一定情况下,一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。设温度T〉T,由于（e心匕口-1）小于（e心匕乙-1）,所以温度高时的声子数目多于温HL度低时的声子数目・4、 将布洛赫函数中的调制因子u（r）展成付里叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远k离和在布里渊区边界上两种情况下,此级数有何特点?在紧束缚模型下,此级数又有什么特点?解答由布洛赫定理可知,晶体中电子的波函数由u（由u（r）的展开公式可得姝］叭k离布里渊区边界时，它的行为与自由电子近似，。对于近自由电子,当电子波矢远叱（玲近似一常数。因此，叱）的展开式中，除了住®）外，其它项可忽略•。当电子波矢落在与倒格矢Kn正交的布里渊区边界时，与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射，妆⑺展开式中，除了迎）和gKQ两项外，其它项可忽略•在紧束缚模型下，电子在格点牛附近的几率樹认削2大，偏离格点R的几率就认刼2小・。对于这样的波函数，其付里叶级数的展式包含若干项.也就是说，紧1束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造。四、计算题（每小题10分，共30分）1、求出一维单原子链的S态能带、速度、有效质量的表达式解E（k）=E—J（0）-爹邻J（R）e-ikRsssRs壬0=E—J（0）—J（e-ika+eika）=E—J（0）—2Jcos（ka）s1s1V(k)=1VE(K)=

岛k1dE_2Ja= i—sinka岛dk岛d2E(k))=dk22Ja2coska12、某固体表面原子形成二维长方晶格，其布拉伐点阵为：R=la+la，其中~a，22求其倒格子点阵，并画出第一、第二布里渊区。解2兀/ 、 2兀/b= (axa丿，b= (a1Q2 3 2Q3取a为垂直晶面的单位矢量k于是3b21nb+22图中横线区为1BZ，竖线区为2BZxa)，1,a、a0123、计算CsCl晶体的几何结构因子F(K)，并讨论衍射h面指数与衍射光强的关系。解每个元胞有两个不同离子，位矢为r:(0,0,0),r:(1/2,1/2,1/2)12所以，CsCl晶体的几何结构因子FK)为：hF(h,h,h)=E123fe-2兀(h1x1+h2ixi2+hxi3)=f+fe-汎(hi+h2+h3)当h当h+h+h=奇数，123F=fi-f12当h+h+h=偶数，F=f+f；1 2 3 1 2衍射强度I*|f|2，所以，当h+h123+h=偶数时，衍射加强，当h+h+h=奇数时，衍射123减弱。如果f二f，贝I」I二0，出现衍射消光。12五、证明题(每小题题10分，共30分)1、NaCl型离子晶体排斥势的幂指数为：4冗£x18KR4n=1+ 0 0-ae2证：d2U晶体平衡时的体积弹性模量为K=V3dV2V0A B ne2 dU其中，V=N(2r3),U=N(-—+—),A= 平衡条件=0，结合诸式可得r rn 4n& drr00ne2(n-1)k= n=1+ o o—兀£ 18R4 ne2002、某三维晶体光频支的色散关系为®(q)=3-Aq2，则对应的声子谱密度为:0 (3 - (3 -3)1/24冗2A3/2 0P(3=)<003 <3<3min 03>303<3min3min2/3证：P(3)= 口(2冗)3dS V 4冗P(3)= 口(2冗)3dS V 4冗q23 = xV3(q)(2冗)3 2Aqqs— (ro-3)1/24冗2a3/2 03<3)02/3又由f30p(3)d3=N得3min3min (3 -3)1/24冗2a3/2 0所以，p(3=)<003 <3<3min 03>3 >03<3min3•根据布洛赫布洛赫定理,晶体中电子的波函数为屮且3>3minr)=eik.ru (r),ku(r)=u(r+R)，则kklr)满足方程：(2⑴u- (Sik)2+V(r))u(r)=E(k)u(r)k2mkk(2)E(k)=E(k+k),屮 (r)=屮(r)，k为倒格矢。hk k+Khh证：▽2屮=▽2〔eik.ru(rk)〕=eik.r(▽+ik)2u(kr)①k▽2屮+V(r)屮=E(k)屮2m•(-•(-亘2m▽+ik)2+V(r))u(k,r)=E(k)u(k,r)又丁屮(r)