三角函数与平面向量专题复习

专题一：三角函数与平面向量一、高考动向：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．二、知识再现：三角函数跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数，不等式，立体几何问题时，三角函数是常用的工具，在实际问题中也有广泛的应用，平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、距离、共线等问题，以解答题为主。1．三角函数的化简与求值（1）常用方法：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（2）化简要求：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤2．三角函数的图象与性质（1）解图象的变换题时，提倡先平移，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（2）函数，，图象的对称中心分别为。（）（3）函数，图象的对称轴分别为直线3．向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共的，和向量是始点与已知向量的重合的那条对角线，而差向量是，方向是从指向。（2）三角形法则的特点是，由第一个向量的指向最后一个向量的的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从的终点指向的终点。（3）当两个向量的起点公共时，用法则；当两个向量是首尾连接时，用法则。（4）要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量，使得平面向量的几何推导成为可能。①在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。②在中，，是的外心；一定过的中点；通过的重心；，是的重心；，是的垂心；通过的内心；三、课前热身：1.（天津卷）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）（A），（B），（C），（D），2.（湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 3．（江苏）函数的单调递增区间是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．（重庆卷)若过两点,的直线与x轴相交于点，则点分有向线段所成的比的值为（）(A)－ (B)－(C) (D)5．（山东卷）已知为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，.若，且，则角B＝.四、典例体验：题型一：三角函数基本公式的应用例1（安徽卷）已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。例2．在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．变式训练：在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。题型二：三角函数的图像与性质例3.已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在区间上的值域。例4.（2011四川卷）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.变式训练：已知函数在时取得最大值4．(1)

求的最小正周期；(2)

求的解析式；(3)

若(α

+)=,求sinα．题型三：三角函数与向量综合例5.已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，.若，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积例6.（湖北卷）设函数，其中向量，，，。（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。变式训练：已知向量，，函数．求：（1）求函数的解析式；（2）当时，求的单调递增区间；（3）说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到．题型四：解斜三角形例7.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）若cosB=，ABC的周长为5，求b的长。例8.在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．变式训练：在△ABC中,角A、B、C所对边分别是、、,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.五、能力提升1.三角函数是一种特殊函数，因此，要重视函数思想对三角函数的指导意义，要注意数形结合、分类整合，化归与转化思想在三角中的运用，要熟记正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心和它们的图象特征，能从图象中直接看出它们的性质。2.解题策略：切割化弦；活用公式；边角互化3.常用技巧：“1”的代换；角的变换；特殊角；辅助角公式；降幂公式练习1.（江西卷）如图，正六边形中，有下列四个命题：A．B．C．D．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．2.已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．3.在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．六、高考真题1、（05年四川高考）已知函数求使为正值的的集合.2、（06年四川高考）已知是三角形三内角，向量，，且。（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求3、（07年四川高考）已知，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．4、（08年四川高考）求函数的最大值和最小值．5、（09年四川高考）在中，为锐角，角所对应的边分别为，且（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）若，求的值。七、专项训练一.选择题：（30分）1．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为（）A［0，］B［，］C［，］D［，］2．△中，若，则度数是：（）A600B450或1350C1200D3003.将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是（）A.B.C.D.4．已知k＜－4，则函数的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋15.给定性质：=1\*GB3①最小正周期为，=2\*GB3②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质=1\*GB3①=2\*GB3②的是（）（A）（B）（C）（D）6.设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为A． B．C． D．二.填空题：（8分）7．（湖南卷）