新文科概率论与数理统计第一讲

对中学的内容的继续，加深，系统化是自然科学，管理科学，系统科学不可缺少的研究自然，社会现象统计规律性的一门科学包含的内容：随机现象样本空间随机事件事件的关系和运算

1.1.1随机现象自然界与社会生活中的两类现象确定性现象不确定性现象及其运算E1：抛一枚硬币，连续抛三次，观察正面H和反面T出现的情况。E2：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E4：对某只灯泡做实验，观察其使用寿命。为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察。观察的过程称为试验。随机现象(randomphenomenon)：首先，在不确定的现象中，可能会有许多不同结果，不同结果的发生具有偶然性,在一次试验中可能发生，也可能不发生.其次，在大量重复试验中，每种结果的发生具有某种规律性。随机试验(randomexperiment)E具有特点：可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的所有结果进行试验前并不知道哪个试验结果会发生1.1.2样本空间(samplespace)实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为；试验的每一个根本结果或样本空间的元素称为一个样本点.〔可用小写字母带下标表示〕样本点的特征：表述的唯一性与不可分性。注：同一个试验，试验的目的不同，样本空间也不同。1.1.3随机事件(randomevent)随机事件:试验E的样本空间的任意一个子集。随机事件通常用大写字母：A,B,C等来表示。由一个样本点组成的单点集称为一个根本领件,记为随机事件的表述(用语言对试验的一种判定的陈述):——随机事件的两重性语言对试验的一种判定集合的表述→事件A←→集合A={所有使事件A出现的样本点}当给定一个试验，随机事件有可能发生，也有可能不不发生。——————根本属性注意到样本空间的定义，有结论对于给定的试验，试验后，他所对应的样本空间有且仅有一个样本点对应的现象出现约定：称某事件发生，当且仅当属于该集合的某个样本点(唯一)在试验中出现。几何图示必然事件与不可能事件——

他们对应什么集合？由于样本空间本身包含了所有的样本点，故每次试验后必有一个样本点出现，即必然发生，称为必然事件〔certainevent〕———————试验后，必然会发生的事件。空集不包含任何样本点，但它是一个子集，由约定试验后它不发生，故称为不可能事件

———————试验后，一定不会发生的事件。、事件间的关系及其运算

由于事件是一个集合，故事件之间的关系和运算可以定义成集合的关系和运算。事件的图示1.事件的关系〔1〕事件的包含〔A是B的子事件〕（同集合的关系一致）(2)

事件的相等(3)

事件的并(和)例：并联电路显然{或}：推广n个事件的并(和)：A1+A2+…+An(4)

事件的交(积)推广n个事件的交(积)：A1A2…An例：串联电路{且}：(5)

事件的(差)(6)

互不相容事件即：AB=

{且}：=-BA(7)

对立事件结论：A

Ā＝,且AĀ

＝

2.事件的运算(8)

完备事件组由于事件是一个集合，故事件之间的运算可以看成对应集合的运算。1、交换律：A

B＝B

A，AB＝BA2、结合律：(A

B)

C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(A

B)C＝(AC)(BC)，(AB)

C＝(AC)(B

C)4、对偶(DeMorgan)律：第6页习题1-11,3,6题；

第6页2，4看一看一、概率的统计定义概率论是研究随机现象的规律性。仅仅知道试验中出现哪些事件是不够的，还必须知道事件发生可能性的大小。随机事件在一次实验中是否发生是不确定的，但是在大量的、重复性实验中具有统计规律性。事件发生的频率：的定义及其性质易见,频率具有下述根本性质:1.2.3.设是两两互不相容的事件,那么定义1

1(概率的统计定义)频率反映的统计规律性：注意到一事件A发生的频率不唯一，但是当试验次数很大时，它的数值在某个确定的常数之间徘徊，而且随着试验次数的增多，事件A的的频率就却接近于那个确定的常数。概率的统计定义反映的两点：1、事件的概率取决于事件本身的结构；2、不能精确计算概率P(A),只能求进似值〔见表1-2〕产品数351550100200400600合格品数34134689180362541合格品频率1.000.800.8670.9200.8900.9000.9050.902但当很大时，在0.9这个固定的数值附近摆动．【例2】产品合格率试验.为了检测某种产品的合格率，从一批产品中分别随机地抽出3件，5件，15件，50件，100件，200件，400件，600件，在相同条件下进行检验，得到的统计结果如下：当取不同值时，合格品的频率不尽相同．定义设是随机试验,对于的每一事件赋予一个实数,记为,若满足下列三个条件:1.非负性:对每一个事件,有;2.完备性:;3.可列可加性:对任意可数个两两互不相容的事件有那么称为事件的概率.二、概率的公理化定义是它的样本空间,性质1性质2(有限可加性)设是两两互不相容的事件,那么有性质3性质4(1)(2)概率的性质：若那么性质5概率的性质：【例3】设事件与的概率分别为下列三种情况下求的值．试在（1）；（2）；（3）解（1）由得于是(2)由，得

(3)

性质6注:任意有限个事件的并的情形.例如,性质6可推广到概率的性质：【例4】设求解因为所以【例5】，，

再由加法公式，得问〔1〕中至少有一个发生的概率是多少？都不发生的概