2023-2024学年湖南省醴陵两中学高二上数学期末检测模拟试题含解析

2023-2024学年湖南省醴陵两中学高二上数学期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设变量满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.C.3 D.42．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）A. B.C. D.3．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（）A. B.C. D.4．一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为12，则（）A. B.C.2 D.35．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.6．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，过作轴的平行线交椭圆于、两点，为坐标原点，双曲线的虚轴长为，且以、为顶点，以直线、为渐近线，则椭圆的短轴长为（）A. B.C. D.7．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条8．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值9．如图，在棱长为1的正方体中，P、Q、R分别是棱AB、BC、的中点，以PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. B.C. D.10．若：，：，则为q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件11．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面12．双曲线的虚轴长为（）A. B.C.3 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.14．抛物线C：的焦点F，其准线过（-3，3），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p=___________；弦AB的长为___________.15．若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是___；该双曲线的焦距是___16．如图，正方体中，点E，F，G分别是，AB，的中点，则直线与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.18．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.19．（12分）已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点（1）若的面积为，求直线l的方程；（2）求的面积的最小值20．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.21．（12分）已知圆：和圆外一点，过点作圆的切线，切线长为.（1）求圆的标准方程；（2）若圆：，求证：圆和圆相交，并求出两圆的公共弦长.22．（10分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）：任意两个等边三角形都是相似的；（2）：，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由，可得，因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为，故选：A.2、D【解析】由抛物线定义可得，注意开口方向.详解】设∵点P到y轴的距离是4∴∵，∴.得：.故选：D.3、B【解析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B4、D【解析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可解得；【详解】解：因为，所以又汽车在时的瞬时速度为12，即即，解得故选：D【点睛】本题考查导数在物理中的应用，属于基础题.5、C【解析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数的单调性，进而得出，变形即可得出结果.【详解】令，则，又，所以，令，令，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以，即，则.故选：C6、C【解析】不妨取点在第一象限，根据椭圆与双曲线的几何性质，以及它们之间的联系，可得点的坐标，再将其代入椭圆的方程中，解之即可【详解】解：由题意知，在椭圆中，有，在双曲线中，有，，即，双曲线的渐近线方程为，不妨取点在第一象限，则的坐标为，即，将其代入椭圆的方程中，有，，解得，椭圆的短轴长为故选：7、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.8、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B9、C【解析】分别取的中点，连接，利用棱柱的定义证明几何体是三棱柱，再证明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【详解】如图所示：连接,分别取其中点，连接，则，且，所以几何体是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因为正方体的棱长为1，所以,所以直三棱柱的体积为，故选：C10、D【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为：，：，所以，所以为q的既不充分又不必要条件.故选：D.11、D【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，若平面，因为，则平面平面，事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，平面，平面，则，，，平面，而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，平面，则，，，则平面，若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，平面，平面，而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；对于D选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，，，平面，因为平面，因此，平面平面平面，D对.故选：D.12、D【解析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，所以，则，且切线斜率，即，所以切线方程或，整理得或.故答案为：或.14、①.6；②.48.【解析】先通过准线求出p，写出抛物线方程和直线方程，联立得出，进而求出弦AB的长.【详解】由知准线方程为，又准线过（-3，3），可得，；焦点坐标为，故直线方程为，和抛物线方程联立，，得，故，又.故答案为：6；48.15、①.②.2【解析】由题意可得，由此可解得m的范围，进一步将方程化为标准方程即可求得焦距【详解】由所表示的曲线是双曲线，可知，解得，当时，方程可变为：，此时双曲线焦距为，当时，m不存在，不合题意；故双曲线的焦距：故答案为：；16、【解析】连接，由得出直线与GF所成角，再由余弦定理得出直线与GF所成角的大小.【详解】连接，因为，所以直线与GF所成角为.设，则，，，又异面直线的夹角范围为，所以直线与GF所成角的大小是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得，，再由，即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.【详解】解（1）由题意得：，，∴，∴∴椭圆的方程为(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立可得：①设两点的坐标为，由韦达定理得：，∴点到直线的距离，∴由①知：，，令，则，∴令，则在上的最大值为∴的最大值为综上所述：三角形面积的最大值2.【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.18、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.详解：(1),.则(2)，因为“”是“”的必要不充分条件，所以且.由，得，解得.经检验，当时，成立，故实数的取值范围是.点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.19、（1）或（2）4【解析】（1）设直线方程为，根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线，利用面积求出后可得直线方程.（2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.【小问1详解】法一：（1）设直线，则解得或，所以直线或法二：设直线，，则，则，∴或﹣8所以直线或【小问2详解】法一：∵，∴，∴，此时，∴面积的最小值为4，此时直线法二：∵，∴，此时，∴面积的最小值为4，此时直线20、（1）；（2）.【解析】（1）首先将圆的参数方程华为普通方程，再转化为极坐标方程即可.（2）首先联立得到，再求的长度即可.【详解】（1）将曲线C的参数方程，（为参数）化为普通方程，得，极坐标方程为.（2）联立方程组，消去得，设点A，B对应的极径分别为，，则，，所以.21、（1）（2）证明见解析，公共弦长为【解析】（1）根据切线长公式计算即可得到，然后代入可得圆的方程.（2）联立两圆的方程作差可得直线的方程为，然后利用圆的弦长公式计算即可.【小问1详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径.由勾股定理可得，解得.所以圆的标准方程为.【小问2详解】由题意得圆的圆心，半径，圆的