人教版初中数学第27章相似

九年级第二十七章相似一、知识点集结考点课

标

要

求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用图形的相似比例的基本性质，线段的比。成比例线段∨认识图形的相似，探索相似图形的性质∨相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方∨两个三角形相似的概念，图形的位似∨探索两个三角形相似的条件∨利用位似将一个图形放大或缩小∨考点的引发、思维的拓展考点一、比例的基本性质，线段的比。考点内容分解：1、比例式与比例系数。1、……=k2、比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积；2、①黄金分割与比例中项。②3、等比性质。3、……=k4、合分比性质。4、例01．已知，求的值。变式：线段，满足，求的值例02．已知，求的值例03．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，第三个数是________。例04．设，求的值变式1．如果，则的值为。变式2．若，则的值是__________变式3．已知：如图，在中，，，，且（1）求的长；（2）求证：考点二、认识图形的相似，探索相似图形的性质考点内容分解：⑴对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。⑵对应边的比值是相似三角形的相似比。⑶基本性质定理：对应角相等；对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。例01．已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，则面积为。变式1．已知：如图，，，，（1）当与，之间满足怎样的关系时，∽；（2）当与，之间满足怎样的关系时，∽；（3）当与，之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似。考点三、探索两个三角形相似的条件考点内容分解：①如果有两个角对应相等，那么这两个三角形相似；②如果三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；③如果有两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。例01、如图所示，已知平行四边形ABCD中，E为AD延长线上一点，，BE交DC于F，指出图中各对相似三角形及相似比．例02．已知：如图，在四边形中，，.求证：∽例03．如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似.例04．已知：如图，在中，，、分别是、上的两点，并且求证：变式1．如图，已知为内一点，为外一点，且，，求证：∽变式2．如图1-1，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上。变式3、已知：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF＝3FC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCF．考点四、探索两个三角形相似的类型考点内容分解：1、“宝塔”型（“A字”）与“8字”型：①与“平行线”互相依存，对应点在同一直线上；②平行线所分线段对应成比例。2、“交错”型与“双交错”型：①对应点相互错开，对应线段相互错开；②一般是通过“两个角对应相等”或“两边对应成比例且夹角相等”来证明。3、“母子”型（“双垂直”）：①“母子”相似；②“双垂直”定理（“射影”定理）。例1、如图，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于F，则图中相似三角形共有对。例2．如图，梯形ABCD中，，且，，则_______，________.例3．（河北省，2001）在中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当时，有（如图）（2）当时，有（如图）（3）当时，有（如图）在下图中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明（其中是正整数）.例4．如图，，是是高，求证：例5．如图，已知：是的斜边上的高，为上任意一点，，垂足为求证：变式1．如图，H为□ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K，则（）A．B．C．D．变式2．已知：如图，在中，，，ED的延长线交BC的延长线于N，则的值是（）A．B．C．D．变式3．如图，已知：在中，，于，在上，若于。求证：变式4．如图，D在BC上，且，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，求.学科之间的综合应用及数学思想的培养探索相似中的证明技巧考点内容分解：1、“乘积式”与“平方式”的证明；2、利用“中间比”进行转化；3、“倍分式”关系的证明。例01．如图，已知：在中，，，是角平分线，求证：。例02．如图，P是ABCD的对角线AC上的任一点，EF，MN是过点P的两直线与ABCD的边分别交于E，F，M，N.求证：.例03．如图，已知：在中，，和是的高。求证：例04已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证：BC2＝2CD·AC．例05．已知，如图(1)，，，垂足分别为，，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求证明）AABADBACBAEBAFBAAABADACDAEDAFDA(1)(2)若将上图中的垂直改为斜交，如图(2)，，、相交于点，过作，交于点，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由（2）请找出，和间的关系式，并给出证明.变式1．如图，已知：在梯形中，，，，，且求证：变式2．如图，为的角平分线，垂直于的延长线于，于，，的延长线交于点，求证：变式3．如图，AD是中BC边上中线，从C引射线交AD于E，AB于F.求证：.变式4．如图，梯形ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，，（），求GH的值.变式5．过ABCD的顶点A作任一直线与BD，BC及DC延长线于E，F，G，求证：.课时作业（根据学生情况设置）综合测试（100分单元测试）填空题（每小题3分，共30分）1、如图1，在△ABC中，AB：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为。AABCDE图12、由三角形三边中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的。3、图2中，x=。11（）30°45°x30°）（105°图224、在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有条。5、已知M是线段AB延长线上的一点，且AM：BM=7：3，那么AM：AB=。6、雨后天晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远处的一块小积水里，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m，该学生的眼部高度为1.5m，那么旗杆的高为。7、已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是和。8、如图3，已知在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，四边形EFDH为内接正方形，则AE：AB=。AABCDFEH图39、如果点C是线段AB靠近B的黄金分割点，且AC=2，那么AB=。10、如图4，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为cm2。AABCFED图4选择题(每小题4分，共40分)11、如图5，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸上的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（）A、FB、GC、HD、K··ABCCKHGFDE12、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A、1：2B、1：4C、2：1D、4：113、（2006年天津）如图6，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（）4对B、5对C、6对D、7对AABCDEGHF图614、已知==，且a-b+c=10，则a+b-c的值为（）A、6B、5C、4D、315、两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则较大的五边形面积是（）cm2。A、44.8B、52C、54D、4216、如图7所示，它是小孔成像的原理，根据图中尺寸(AB∥CD)，如果已知物体AB=30，则CD的长应是（）A、15B、30C、20D、10AABCDO图71212363617、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一地块的三角形的面积之比是（）A、25：1B、5：1C、1：25D、1：518、如图8，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长是（）ABABCDP）60°图819、一个钢筋三角架三边长分别为20cm、50cm、60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）种一B、二C、三D、四20、如图9，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于（）AABECFD图9A、B、C、D、解答题（每小题7分，共35分）（1）若=，判断代数式-+1值的符号若==，求的值。已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长。23、如图10，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD等于2m的标杆，现测量者从E处可以看到标杆顶点C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD=20m，FD=4m，EF=1.8m，求树高。AABCDEF图10△△AABCDEF图1124、如11图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C求证：△ABF∽△EAD若AB=4，SABCD=，求AE的长在（1）、（2）条件下，若AD=3，求BF的长（计算结果可含根号）25、如图12，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°求证：△ABD∽△DCE设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式AABCDE图12AABCDEF图13拓广探索题（共15分）26、（7分）已知，如图13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明+=成立，若将图13中的垂直改为斜交，如图14，AB∥CD，AB与BC交于点E，过点E作EF∥AB交BD于F，则+=还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由。请找出S△ABC，S△BED和S△BDC间的关系，并给出证明。AABCDEF图1427、（8分）若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形操作：请你在如图15所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）AABCD图15填空题1～108247：4305，201+30提示：4、如图1，过D分别作BC、AB的平分线有两条，另外，作∠ADE=∠ABC又一条，作∠CDF=∠ABC又一条，共4条AABCDEF图18、====9、∵==，又∵=∴=∴BC=-1∴AB=2+-1=1+10、如题图：EF=DE=8-3=5∵EC=3，∴FC=4，易证△ABF∽△EFC∴BF：3=8：4BF=6∴S阴影=·6·8+·4·3=30选择题11～20CACACDAABC提示：18、∵△ABC为等边三角形∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC，∴△APB∽△PCD∴：1=（AB-1）：AB∴AB=320、∵AE2+EF2=42+32=52=AF2∴∠AEF=90°，∴易证△ABE∽△EFC∴AB：EC=4：3设AB=xx：（x-）=4：3∴x2=解答题21、解：（1）设==k，则a=bk，c=dk，代入，得，求值式=-+1=k-k+1=1＞0，故所求式的符号为正（2）当a+b+c≠0时，因为abc≠0，所以由等比性质得：===所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，代入得，求式==8当a+b+c=0，a+b=--c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式==-122、解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′=20：15：9：8设A′B′=20x，B′C′=15x，C′D′=9x，D′A′=8x，由四边形A′B′C′D′的周长为26，得20x+15x+9x+8x=26，解得x=∴A′B′=10，B′C′=7.5，C′D′=4.5，D′A′=423、解：如图2，过E作EN⊥AB，交AB于N点交CD于M点，由题意知，MN=BD=20，EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，则CM=0.2ABCDEF图2△ABCDEF图2△△MN∴CM：AN=EM：EN∴AN==1.2∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3所以树高为3m24、证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠BAF=∠AED∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D