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文档简介

北京西城14中2023年高三全国统一考试仿真卷(五)数学试题试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为,,虚轴的两个端点分别为,,若四边形的内切圆面积为,则双曲线焦距的最小值为()A.8 B.16 C. D.2.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.63.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.4.的展开式中的系数为()A. B. C. D.5.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市月至月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是()A.1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B.第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了C.8月是空气质量最好的一个月D.6月份的空气质量最差.6.运行如图所示的程序框图,若输出的值为300,则判断框中可以填()A. B. C. D.7.已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线的方程为()A.或 B.或 C.或 D.8.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.9.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.已知x,,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________.14.已知二项式ax-1x6的展开式中的常数项为-16015.六位同学坐在一排,现让六位同学重新坐,恰有两位同学坐自己原来的位置,则不同的坐法有________种(用数字回答).16.在数列中,已知,则数列的的前项和为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数,,.(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点,().(i)求的取值范围;(ii)求证:随着的增大而增大.18.(12分)已知函数(1)若,不等式的解集;(2)若,求实数的取值范围.19.(12分)如图,在正四棱锥中,,点、分别在线段、上,.(1)若,求证:⊥;(2)若二面角的大小为,求线段的长.20.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.21.(12分)已知抛物线上一点到焦点的距离为2,(1)求的值与抛物线的方程;(2)抛物线上第一象限内的动点在点右侧,抛物线上第四象限内的动点,满足,求直线的斜率范围.22.(10分)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A=(k≠0)的一个特征向量为α=,A的逆矩阵A-1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据题意画出几何关系,由四边形的内切圆面积求得半径,结合四边形面积关系求得与等量关系,再根据基本不等式求得的取值范围,即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意,画出几何关系如下图所示:设四边形的内切圆半径为,双曲线半焦距为,则所以,四边形的内切圆面积为,则,解得,则,即故由基本不等式可得,即,当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用,圆锥曲线与基本不等式综合应用,属于中档题.2、B【解析】

由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.3、A【解析】

详解:由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛:本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。4、C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.点睛:此题主要考查二项式定理的通项公式的应用,以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是常考知识点.在二项式定理的应用中,注意区分二项式系数与系数,先求出通项公式,再根据所求问题,通过确定未知的次数,求出,将的值代入通项公式进行计算,从而问题可得解.5、D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天,月份的空气质量最差.故本题答案选.6、B【解析】

由,则输出为300,即可得出判断框的答案【详解】由,则输出的值为300,,故判断框中应填?故选:.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.7、A【解析】

过作与准线垂直,垂足为,利用抛物线的定义可得,要使最大,则应最大,此时与抛物线相切,再用判别式或导数计算即可.【详解】过作与准线垂直,垂足为,,则当取得最大值时,最大,此时与抛物线相切,易知此时直线的斜率存在,设切线方程为,则.则,则直线的方程为.故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及到抛物线的定义,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.8、B【解析】

可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.9、C【解析】

设过点作圆的切线的切点为,根据切线的性质可得,且,再由和双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,即可求解.【详解】设过点作圆的切线的切点为,,所以是中点,,,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.10、D【解析】

,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【详解】因为x,,当时,不妨取,,故时,不成立,当时,不妨取,则不成立,综上可知,“”是“”的既不充分也不必要条件,故选:D【点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件的判定,属于容易题.11、C【解析】

根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.12、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项,再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(-x)=≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称,排除选项B,C.又f(2)==-<0.排除A,故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可.【详解】解:因为椭圆,则焦点为,又因为椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,在椭圆中:由椭圆的定义:在双曲线中:,所以双曲线的实轴长为:,实半轴为则双曲线的离心率为:.故答案为:【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.14、2【解析】

在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项,再根据常数项等于-160求得实数a的值.【详解】∵二项式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常数项为-C63故答案为:2.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15、135【解析】

根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择,再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,计算得到答案.【详解】根据题意先确定2个人位置不变,共有种选择.再确定4个人坐4个位置,但是不能坐原来的位置,共有种选择,故不同的坐法有.故答案为:.【点睛】本题考查了分步乘法原理,意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解析】

由已知数列递推式可得数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列,求其通项公式,得到,再由求解.【详解】解:由,得,,则数列的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.,..故答案为:.【点睛】本题考查数列递推式,考查等差数列与等比数列的通项公式,训练了数列的分组求和,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)(i)(ii)证明见解析【解析】

(1)求出导函数,分类讨论即可求解;(2)(i)结合(1)的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围;(ii)设,通过转化,讨论函数的单调性得证.【详解】(1)因为,所以当时,在上恒成立,所以在上单调递增,当时,的解集为,的解集为,所以的单调增区间为,的单调减区间为;(2)(i)由(1)可知,当时,在上单调递增,至多一个零点,不符题意,当时,因为有两个零点,所以,解得,因为,且,所以存在,使得,又因为,设,则,所以单调递增,所以,即,因为,所以存在,使得,综上,;(ii)因为,所以,因为,所以,设,则,所以,解得,所以,所以,设,则,设,则,所以单调递增,所以,所以,即,所以单调递增,即随着的增大而增大,所以随着的增大而增大,命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性,根据函数的零点个数求参数的取值范围,通过等价转化证明与零点相关的命题.18、(1)(2)【解析】

(1)依题意可得,再用零点分段法分类讨论可得;(2)依题意可得对恒成立,根据绝对值的几何意义将绝对值去掉,分别求出解集,则两解集的并集为,得到不等式即可解得;【详解】解:(1)若,,则,即,当时,原不等式等价于,解得当时,原不等式等价于,解得,所以;当时,原不等式等价于,解得;综上,原不等式的解集为;(2)即,得或,由解得,由解得,要使得的解集为,则解得,故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:由于图形是正四棱锥,因此设AC、BD交点为O,则以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系,可用空间向量法解决问题.(1)只要证明=0即可证明垂直;(2)设=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量为,利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得.试题解析:(1)连结AC、BD交于点O,以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系.因为PA=AB=,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因为=0,所以MN⊥AD(2)解:因为M在PA上,可设=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).设平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一组解为x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取=(λ-1,0,λ).因为平面ABD的法向量为=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,从而M,N,所以MN==.考点:用空间向量法证垂直、求二面角.20、(1)见解析(2)需要,见解析【解析】

(1)由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度

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