连续多跨高精度三角高程在跨海工程中的应用

连续多跨高精度三角高程在跨海工程中的应用

一、高高差的生长严格地说，垂直线是空间的曲线，土壤中的两点垂直线是两个空间的异面直线（图1）。但一般文献用图1中的平面三角形P1OP2导出的公式(1),其函数模型误差达厘米级,不宜用在高精度三角高程高差测量中。以球近似地球,用图2中的平面三角形P1P2Q。文献导出了大地天顶计算大地高高差公式,即H2−H1=S1‚2(1+HmR+S21‚212R2)tan(Z2−Z12)(2)Η2-Η1=S1‚2(1+ΗmR+S1‚2212R2)tan(Ζ2-Ζ12)(2)由三角形P1P2Q可知(180°-Z1)+(180°-Z2)+γ=180°因此Z2−Z12=90°+γ2−Z1(3)Ζ2-Ζ12=90°+γ2-Ζ1(3)将式(3)代入式(2)并略去二次小项可得Jordon公式将γ=S/R,sinZ1≈1代入式(4)同时略去二次项即得H2−H1=S1‚2(1+HmR)cotZ1+S22RΗ2-Η1=S1‚2(1+ΗmR)cotΖ1+S22R文献用椭球近似地球,导出大地天顶计算大地高高差的公式式中,B2,B1,Bm分别为P2,P1点的纬度和平均纬度,其椭球项影响为:ae22(B2−B1)2cos2Bmae22(B2-B1)2cos2Bm。由图2可知大地天顶Z和观测天顶距Z′有以下关系式中,ε是照准方向的垂线偏差分量,δ是垂直折光差角,R是P1,P2点的平均曲率半径。将式(6)代入式(5)中同时略去二次小项可得大地高差和正常高高差有以下关系式中,Δζ是高程异常差之差,εm是测线沿线垂线偏差分量均值,将式(8)代入式(7)得设测站点地面的正常高是hr11r,照准点地面的正常高是hr22r,i1是仪器高,v2是觇标高,显然有将式(10)代入式(9)得式(11)是目前文献所能见到的最严密三角高程测量计算公式,等式右边的第4、5、6项分别是垂线偏差改正,折光差改正和椭球改正项,对于几千米的边长其函数模型误差小于0.5mm。同理,将式(6)、式(8)和式(10)代入式(4)可得用大地线长度计算正常高高差公式因为式(12)是由球近似导出的,它缺少椭球项的影响,对于几千米的单向三角高程观测,椭球项的影响最大可达几厘米,是不可忽略的。而式(11)、式(12)中垂线偏差非线性变化改正项中的εm,实际上很难求定,而这项影响尤其在山区也可达几厘米,是不可忽略的,必须用可以简单计算的方式来取代,为此下文将导出相应的公式。二、角高程测量严密工程常用两种距离进行三角高程计算,一是光电测距仪测得的斜距;二是平均施工高程平面上的平距。下面分别导出这两种距离的三角高程测量严密的计算公式。如图1所示,过P1点的垂线P1O,过P2点的垂线P2O′,它们是两条空间异面直线,总能找到一条平行与地轴的直线使其与两垂线相交,或尽可能地靠近到对下文的推导其误差可以忽略不计的程度,设两垂线分别交于O,O′点。1.s122向水平垂直剖面的计算由图1中平面三角形P1P2O可得因此D1,2cos(Z1′+δ1)+h1+R1′=(R2′+h2-OO′cos(90°-φ2))cosε展开上式并略去二次小项得因为δ1≈K1S2R,DsinZ1′≈Sδ1≈Κ1S2R,DsinΖ1′≈S,将其和式(10)代入上式经整理可得hr2−hr1=D1‚2cosZ1′+i1−v2+2(R2′+h2)ε2ε2−S2−K12R−(R2−R1)+OO′sin2φ2(14)h2r-h1r=D1‚2cosΖ1′+i1-v2+2(R2′+h2)ε2ε2-S2-Κ12R-(R2-R1)+ΟΟ′sin2φ2(14)由图2可知{180°-(Z1′+δ1)}+{180°-(Z2′+δ2)}+ε=180°-ε=180-(Z1′+δ1+Z2′+δ2)同理可得-γ=180-(Z1+Z2)代入式(6)得-γ=180-(Z1′+δ1+Z2′+δ2)+(ε2-ε1)=-ε+(ε2-ε1)即ε=γ+(ε2-ε1)(15)将式(15)代入式(14),略去二次小项。顾及到2(R2′+h2)γ2≈l2(R2′+h2)γ2≈l,则得斜距单向观测三角高测量计算正常高高差的公式其反向观测公式为取正、反向观测的平均值得双向观测方程式中,l为平均高程面上的平距,可用椭球近似来估算12OO′(sinφ2−sinφ1)−(R2′−R1′)12ΟΟ′(sinφ2-sinφ1)-(R2′-R1′)项;式中的(ε2-ε1)为地面P1,P2点相对垂线偏差在测线方向上的分量,是一个可以用地面测量值计算的量。2.高精度三角高程测量的垂线偏差修正利用图1中三角形P1P2O,用类似公式(4)的推导得出下式将Z1=Z1′+δ1,ε=γ+(ε2−ε1),δ1=K1S2RΖ1=Ζ1′+δ1,ε=γ+(ε2-ε1),δ1=Κ1S2R代入式(19)展开并略去小于0.01mm的二次项得由图1可知将式(21)代入式(20)同时顾及到hr11r=h1-i1,hr22r=h2-v2,则得平距单向三角高程公式其反向方程为对式(22)和式(23)取平均值,于是得平距双向三角高程公式设地面上测得平距为l,高斯平面上的距离为d,可将式(22)、式(23)、式(24)改为相应距离的三角高程公式式(16)、式(17)、式(18)和式(22)、式(23)、式(24)对于几千米的三角高程测量其函数模型误差小于0.5mm,满足高精度三角高程测量的应用,与式(11)比较,其垂线偏差改正可以计算。应用式(18)、式(24)计算的三角高程测量高差相当于水准测量高差的结果。当由它们组成高精度三角高程测量闭合或附合线路时,与水准测量一样应考虑水准面不平行改正。由对向三角高程测量公式可知,若不考虑后三项改正,将产生系统误差,其中最主要的是两观测点在观测时间内的折光差系数之差异,这种差别与对向观测时间间隔的长短,观测时的天气情况及视线高度有关。显然山区折光差的影响比平原小,但垂线偏差变化大,因