欧欧联邦空间中的一般螺线

欧欧联邦空间中的一般螺线

一般螺旋是欧洲空间微几何的重要曲线。作为一种特殊的曲线，一般螺钉的研究对曲线理论是非常重要的。一般螺线的概念和基本性质详见参考文献。Minkowski空间是爱因斯坦狭义相对论的时空模型,Minkowski几何是在洛仑兹变换群下几何性质保持不变的一门科学,与欧式几何有很大的不同。文献给出了Minkowski空间、Minkowski空间中的一般螺线的定义和基本性质,说明了这类曲线的重要性,本文在此基础上继续探讨Minkowski空间中的一般螺线。1t面为三维mr,bs设R3为三维向量空间,a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)是R3中的2个向量,定义它们的伪内积为[a,b]=-a1b1+a2b2+a3b3,称R3,[,]为三维Minkowski空间,记为R13,对三维Minkowski空间中任意的向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3),定义它们的伪向量积为:定义1(正则曲线)设r∶I→R13,其中I是一个开区间,如果坌t∈I,r(t)可导并且r′(t)≠0,称r(t)为R13中的光滑正则曲线。分别称曲线r(t)为空间型曲线、时间型曲线、光型曲线,如果坌t∈I,r′≠(t),r′(t)≠>0,≠r′(t),r′(t)≠<0或r′≠(t),r′(t)≠=0。本文中出现的曲线均是指非光型的光滑正则曲线。对于非光型曲线,仿三维欧式空间中弧长的定义模式,三维Minkowski空间中从a到t曲线的弧长为:很多情况下曲线以它的弧长s作为参数使问题大大简化,而||r′(t)||=1。定义2(Frenet标架)称t(s)=r′(s)为曲线r(s)在s点的单位切向量,定义曲率为:曲线r(s)在s点的单位主法向量由r″(s)=k(s)·n(s)确定,定义b(s)=t(s)>n(s)为s点的单位副法向量。t(s)、n(s)和b(s)构成了曲线r(s)在s点的Frenet标架,而且以下的Frenet公式成立:其中A=而τ(s)是曲线r(s)在s点的挠曲率。Frenet公式是在R13中研究非光型曲线的基本公式。进一步的研究表明,t(s)、n(s)和b(s)构成的标架有以下3种:(1)t(s)为空间型向量,n(s)为空间型向量,b(s)为时间型向量(称此曲线为第一类类空曲线)。(2)t(s)为空间型向量,n(s)为时间型向量,b(s)为空间型向量(称此曲线为第二类类空曲线)。(3)t(s)为时间型向量,n(s)为空间型向量,b(s)为空间型向量(称此曲线为类时曲线)。对应的Frenet公式中的A分别为:定义3(一般螺线)假如r=r(s)是三维Minkowski空间中的光滑正则曲线,s是它的自然参数,称r=r(s)是三维Minkowski空间中以a为参考向量的一般螺线(简称螺线),若r′s(s),as=c,其中a为单位常向量,c∈R为实常数。定理1若r=r(s)是非光型曲线,ue420s,k(s)≠0,τ(s)≠0,则以下条件彼此等价。(1)r=r(s)是三维Minkowski空间中以a为参考的螺线。(3)ue420s,b(ss),as为一常数。(4)为一常数。2维轴类空一般螺线的计算定理2r=r(s)-(r1(s),r2(s),r3(s))是三维Minkowski空间中以a=(a1,a2,a3)为参考的螺线,其充分必要条件是存在常数c,d∈R使得:证明设r′s姨s姨,as=c,那么定理3若r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))是三维Minkowski空间中以a=(a1,a2,a3)为参考的螺线,又曲线r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))不是单映射曲线,那么r=r(s)必是平面曲线。证明r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))为以a=(a1,a2,a3)为参考的螺线,由定理2得:而r=r(s)作为映射而言不是单的,存在s1≠s2,使得r(s1)=r(s2),故ri(s1)=ri(s2),cs1+d=cs2+d,c=0,-a1r1(s)+a2r2(s)+a3r3(s)=d,r=r(s)是平面曲线。下面的命题是三维欧式空间中一个定理的推广,首先回到二维平面和三维欧式空间。引理1二维平面∏中以∏中单位向量为参考的一般螺线必是直线。证明建立坐标系使得a=e2,则类似于定理2易知r=r(s)=(r1(s),r2(s))=(r1(s),cs+d)其中:c、d为常数;s为曲线的弧长参数。由r′(s)=1得:所以,。其中:b为常数;为直线。引理2三维欧式空间中平面∏上的关于∏中单位向量的一般螺线在与其参考向量垂直的平面上的正交投影还是一般螺线。证明由引理1,平面上∏的关于∏中单位向量的一般螺线是直线,平面∏上的直线的参考向量有很多,如果r′1s1和参考向量不平行,那么直线的投影也是直线,从而是一般螺线。定理4三维Minkowski空间中平面∏上的一般螺线在与其参考向量垂直的平面上的正交投影还是一般螺线。证明若r=r(s)=(r1(s),r2(s),r3(s))是三维Minkowski空间中以a为参考的螺线,∏是三维Minkowski空间中的平面,r=r(s)哿∏,选择伪标准坐标架(e1,e2,e3),让e3=a,由定理2知埚c,d∈R,s.t.:任选一常向量u与平面∏伪垂直,不妨u=(u1,u2,u3),则令,对投影曲线r*=r*(s)=(r1(s),r2(s),0)而言,所以,r*=r*(s)=(r1(s),r2(s),0)为以u*为参考的螺线。定理5三维Minkowski空间中具有非零常曲率的贝特朗曲线是一般螺线。证明设曲线r=r(s)=1r1(s),r2(s),r3(s)3是第一类类空曲线,s是曲线的弧长参数,曲率k(s)=k为常数。r1(s1)=r(s)+λ(s)n(s)是r=r(s)的贝特朗侣线,s1是曲线r1=r1(s1)的弧长参数。将r1(s1)=r(s)+λ(s)n(s)两端对参数s1求微商,得:上式中,k(s)=k为常数。由于n1s113=±n(s),在上式两边同时与n(s)作伪内积,得到λ′(s)=0,又显然λ(s)≠0,所以λ(s)=λ为非零常数,故:如果t1(s1)为空间型向量,[t1(s1),n(s)]=0,设t1(s1)到t(s)的角为θ,则于是得到t1(s1)=[t(s)+λ1-kt(s)+τ(s)b(s)3]·ds/ds1=chθ·t(s)+shθ·b(s),故下证θ为常数,从而θ、λ、k均为常数,继而由上式知τ为常数,对于第一类类空曲线,为常数,由定理1知,r=r(s)是R13中的一般螺线。事实上,t1(s1)=chθ·t(s)+shθ·b(s)。等式两边对s求导得:如果t1(s1)为时间型向量,设t1(s1)到t(s)的角为θ,那么t1(s1)=shθ·t(s)+chθ·b(s),证明过程类似,略。对于第二类类空曲线或类时曲线,证明过程类似,略。定理6R13中的第一类类空曲线,其曲率为k(s),挠率为τ(s),则它的曲率中心的曲率k1(s)为:方便起见,记k(s)为k;τ(s)为τ;k1(s)为k1。于是以上结论较容易推广到第二类类空曲线和类时曲线的情况,在此省略。定理7具非零常曲率的一般螺线的曲率中心还是一般螺线。