实或复数域f上的套代数

实或复数域f上的套代数

1u3000dimx上的李可乘同构r和s是两个环，rs是一个矩阵。如果对任意的A,B∈R,Φ(AB)=Φ(A)Φ(B),称Φ是可乘的;如果对任意的A,B∈R,Φ([A,B])=[Φ(A),Φ(B)],称Φ是李可乘的,其中[A,B]=AB-BA是A和B的李积,也叫作交换子。进而,如果Φ是双射且李可乘的,称Φ李可乘同构;如果Φ是双射,可加且李可乘的,称Φ李环同构。如果R和S是数域F上的两个代数,Φ是双射,F-线性的且李可乘,称Φ是李代数同构。对于环上的李环同构的研究,参考和相关文献。在这篇文章里我们重点关注Banach空间上的套代数间的李环同构的刻画问题。令X是(实或复)数域F上的Banach空间,X*是它的拓扑共轭。B(X)表示X上所有有界线性算子代数。X上的套N是完备的全序子空间格,即X的闭(在范数拓扑下)子空间链,在任意闭线性张(记为∨)和交(记为∧)的运算下是封闭的,并且包含(0)和X.我们把与套N相对应的套代数记为AlgN,它是保持每个子空间N∈N不变的所有算子构成的弱闭算子代数。对于N∈N,令如果N是X上的套,则是X*上的套并且如果N={(0),X},我们称N是平凡套,在这种情况下,AlgN=B(X).非平凡套代数是非常重要的非半单的、非半素的、非自伴的自反算子代数。如果dimX<∞,X上的套代数同构于某个上三角块矩阵代数。套代数是算子代数的重要研究领域,关于套代数的基础理论,读者可以参考。在文献中,Marcoux和Sourour证明了可分复Hilbert空间上的套代数间的李代数同构都可表示为α+β的形式,其中α是代数同构或负的代数反同构,β:AlgN→CI是在所有交换子上为零的线性映射,即对任意的A,B∈AlgN,满足β([A,B])=0.要把这一结果推广到任意Banach空间上套代数的情形,其主要困难之一是Banach空间的子空间不一定是可补的。Qi和Hou在文献中通过刻画某类Banach空间套代数之间的李可乘同构推广了Marcoux和Sourour的结果。注意到,李可乘同构不一定是可加的。令N,M分别是(实或复)数域F上的Ba-nach空间X,Y上的套,具有性质如果M∈M满足M－=M,则M在Y中可补(明显地,如果Y是Hilbert空间或如果dimY<∞,这个假设是自然满足的)。令AlgN和AlgM分别是相应的套代数,Φ:AlgN→AlgM是双射。Qi和Hou在文献中证明了:如果dimX=∞,且存在N中的非平凡元在X中是可补的,则Φ是李可乘同构当且仅当存在映射h:AlgN→FI,满足对任意A,B∈AlgN,h([A,B])=0,使得Φ(A)=TAT－１+h(A)I对任意的A∈AlgN都成立,或Φ(A)=-TA＊T－１+h(A)I对任意的A∈AlgN都成立。其中,在第一种形式里,T:X→Y是可逆有界线性或共轭线性算子使得N→T(N)是N到M上的序同构;而在第二种形式里,X,Y是自反的,T:X＊→Y是可逆有界线性或共轭线性算子使得N⊥→T(N⊥)是N⊥到M上的序同构。如果dimX=n<∞,可以把套代数和上三角块矩阵代数看成一样,则Φ是李可乘同构当且仅当存在域自同构τ:F→F,可逆矩阵T使得要么Φ(A)=TAτT－１+h(A)对任意A都成立,要么Φ(A)=-T(Aτ)ｔｒT－１+h(A)对任意A都成立,其中对于矩阵A=(aｉｊ),Aτ=(τ(aｉｊ)),Aｔｒ是A的转置。特别地,上面的结果刻画了有限维情形下的套代数之间的李环同构,无限维情形,套N和M满足上面所提条件的套代数之间的李环同构,以及任何Hil-bert空间上套代数之间的李环同构。最近,Wang和Lu在文献中从另外的角度推广了Marcoux和Sourour的结果,证明了Ba-nach空间上的任意套代数AlgN和AlgM之间的李代数同构可以表示为α+β的形式,其中α是代数同构或负的代数反同构,β:AlgN→FI是在每个交换子上为零的线性映射。因为对于套N有非平凡的可补元的情形下,李代数同构在文献中已经得到刻画,Wang和Lu在文献中主要处理N中的所有的非平凡元都不可补的情形。一个自然的问题是如何刻画任意Banach空间上套代数之间的李环同构,从而获得比文献更一般的结果。本文的目的在套的最大元及最小元都是极限元,即(0)＋=(0),X－=X的条件下,回答上述问题。注意,李环同构和李代数同构是非常不同的。例如套代数间的代数同构总是连续的,然而环同构在有限维情形不一定是连续的。下面是本文的主要结果。定理1令N,M是(实或复)数域F上的Ba-nach空间X和Y上的套,AlgN和AlgM分别为相应的套代数。设(0)＋=(0),X－=X,则映射Φ:AlgN→AlgM是李环同构当且仅当存在套代数间的环同构或负的环反同构Ψ,在所有交换子上为零的可加泛函h:AlgN→F,使得Φ(A)=Ψ(A)+h(A)I对所有A∈AlgN都成立。Banach空间算子的套代数间的环同构和环反同构已在文献中定理2.2、定理2.7及注记2.6中刻画。利用这些结果和定理1,我们可以得到李环同构更为精确的刻画。设W,V是复数域C上的线性空间,如果可加映射S:W→V满足S(λx)=ue49fSx对所有的x∈W,λ∈F都成立,则称S是共轭线性的。定理2令N,M是(实或复)数域F上的Ba-nach空间X和Y上的套,AlgN和AlgM分别为相应的套代数。设(0)＋=(0),X－=X,则映射Φ:AlgN→AlgM是李环同构当且仅当存在可加泛函h:AlgN→F满足对任意的A,B∈AlgN,h([A,B])=0,且下列之一成立:1)存在有界可逆线性或共轭线性算子T:X→Y使得N→T(N)是N到M上的序同构,Φ(A)=TAT－１+h(A)I对任意的A∈AlgN都成立;2)X,Y是自反的,存在有界可逆线性或共轭线性算子T:X＊→Y使得N⊥→T(N⊥)是N⊥到M上的序同构,Φ(A)=-TA＊T－１+h(A)I对任意的A∈AlgN都成立。进而,如果F=R,上述算子T是线性的。注意到,对于套N的假设条件(0)＋=(0)和X－=X蕴涵X是无限维的。本文第2部分给出预备引理,它们中的一些也是证明主要结果中的一部分。第3部分给出主要结果定理1的证明。2u3000人在这一部分,我们给出一些预备引理,定义和符号。它们在证明主要结果中要用到。令X,Y是实或复数域F上的Banach空间,N,M是X和Y上的套,AlgN和AlgM分别是对应的套代数。我们知道套代数的交换子是平凡的,即,如果T∈B(X),对任意算子A∈AlgN,TA=AT,则T=λI,λ∈F。这个事实在本文中将不加解释直接应用。另外,符号ranT,kerT和rankT分别代表算子T的值域,零空间和秩(即,值域ranT的维数)。对于x∈X,f∈X＊,xue3c1f表示X上秩不大于1的算子,其定义为,对于任意向量y,(xue3c1f)y=f(y)x.有时候我们用〈x,f〉表示f在x处的值f(x).下面引理是众所周知的,它给出了套代数里一秩算子的刻画。引理1［５］令N为(实或复)Banach空间X上的套,x∈X,f∈X＊.则xue3c1f∈AlgN当且仅当存在子空间N∈N使得x∈N,对于任意非平凡元E∈N,定义在文献中,Wang和Lu证明了L是AlgN中的真极大交换李代数理想当且仅当存在唯一E∈N,L=FI+J(N,E).下面的引理证明了任意极大交换李环理想也是这种形式。引理2J是AlgN中的真极大交换李环理想当且仅当它是真极大交换李代数理想。证明假设J是极大交换李环理想,则对任意A∈AlgN,C∈J和λ∈F,我们有[A,λC]=λ[A,C]∈FJ,这蕴含了FJ是李环理想。明显地,FJ也是可交换的。因为J是极大的,因此因此我们有FJ=J.从而J也是李代数理想。反过来是明显的。证毕。在本文剩下的部分里,我们假设(0)+=(0),X-=X,Φ:AlgN→AlgM是李环同构。于是N包含无限多个非平凡元。则由引理2,对于任何非平凡元E∈N,Φ(FI+J(N,E))是AlgM中的极大交换李环理想。因此存在唯一非平凡元F∈M使得Φ(FI+J(N,E))=FI+J(M,F)。令如果我们得到映射利用上面引进的符号和类比(文献中引理4.1,4.3,4.4)的论证,我们能证明下面的引理对于李环同构仍然是正确的。引理3等式2中的是双射并且要么保序要么反序的。如果我们延拓的定义使得相应地是N到M上的序同构或反序同构。由引理3,对任意的A∈J(N,E),E∈N是非平凡元,存在唯一算子B∈J(M,^E)使得Φ(A)-B∈FI.因此我们可以定义另外一个映射:具有性质对任意的A∈J(N,E)都成立。类似于文献中引理4.2,我们有引理4是双射并且对任意非平凡元E∈N,下面的引理是显而易见的。最后,我们给出一个引理,它在证明我们主要结果时要用到。令E,F分别是X和X＊上的子空间。用Eue3c1F表示集合{xue3c1f:x∈E,f∈F}.设W,V是数域F上的线性空间,τ是F的域自同构,如果可加映射S:W→V满足S(λx)=τ(λ)Sx对所有的x∈W,λ∈F都成立,则称S是τ-线性的。引理6的证明类似文献中的方法可以得到,此处省略。3定理1的证明本节中分别为等式(2)和(3)中定义的映射。引理7假设(0)+=(0),X-=X.令E∈N是非平凡元。则对任意x∈E,是一秩算子。证明由引理3知,双射:N→M要么是保序同构要么是反序同构,故对于套M也有则按的定义,我们需证R是一秩的.用反证法,假设rankR>1.因为Y-=Y蕴涵∪{M:M∈M}是Y中稠密的线性流形,故存在非平凡元M0∈M和向量u,v∈M0使得Ru和Rv是线性无关的。又因为(0)+=(0)蕴涵∩{M:(0)<M∈M}=(0),于是存在非平凡元L∈M使得Ru,Rvue22cL.令YL=span{Ru,L}.由Hahn-Banach定理,存在使得g(Rv)≠0.则g∈L⊥且满足g(Ru)=0,g(Rv)≠0.容易验证由引理如果保序,则我们有因此由Φ的单射性得到A((xue3c1f)B=0,这蕴含A(xue3c1f)=0或者(xue3c1f)B=0.如果A(xue3c1f)=0,则0=Φ([A,xue3c1f])=[zue3c1g,R]=(zue3c1g)R≠0,矛盾;如果(xue3c1f)B=0,则0=Φ([xue3c1f,B])=[R,uue3c1h]=R(uue3c1h)≠0,矛盾。如果反序,则我们有因此这蕴含了B(xue3c1f)=0或(xue3c1f)A=0.通过和上面类似的论证,我们可以推出矛盾。因此,一定有证毕。下面我们给出定理1的证明。定理1的证明由引理7,引理5和的双射性,我们得到,对任意非平凡元因此,由引理6,存在环同构τＥ:F→F和映射γＥ:Eue3c1E⊥→F使得要么对所有的x∈E,f∈E⊥成立,其中CE:都是τ-线性双射;要么对所有的x∈E,f∈E⊥成立,其中都是τ-线性双射。容易验证,如果存在非平凡元E０∈N使得等式(4)成立,则等式(4)对任意非平凡元E∈N成立;如果存在非平凡元E０∈N使得等式(5)成立,则等式(5)对任意非平凡元E∈N成立。假设等式(4)对非平凡的元E∈N成立。则对任意N∈N,x∈E∩N,f∈E⊥∩N,我们有因此,对任意A∈AlgN,x∈N和f∈N⊥,由等式(6),我们有结合以上两个等式并且注意到I是无限秩的,可以得到对任意N∈N\{(0),X}以及x∈N,f∈N⊥,我们有成立。又注意到D是双射,所以存在标量h(A)使得对任意x∈∪{N∈N:N≠(0),X},有显然,h作为AlgN上的泛函是可加的。对任意A∈AlgN,定义Ψ(A)=Φ(A)-h(A)I.则由等式(7),对任意A,B∈AlgN,x∈∪{N∈N:N≠(0),X},我们有因为∪{N∈N:N≠(0),X}在X中稠密且C是双射,于是对任意A,B∈AlgN,有Ψ(AB)=Ψ(A)Ψ(B),也就是说,Ψ是环同构并且对任意A∈AlgN,Φ(A)=Ψ(A)+h(A)I.类似地,如果等式(5)成立,容易验证,存在环反同构Ψ:AlgN→AlgM及可加泛函h:AlgN→F,使得Φ(A)=-Ψ(A)+h(